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2024-2025学年广东省江门市培英高级中学高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.函数的定义域是( )
A. B.
C. D.
2.在复平面内，复数满足，则复数的虚部为( )
A. B. C. D.
3.如图，是水平放置的的斜二测直观图，为等腰直角三角形，其中与重合，，则的面积是( )
A. B. C. D.
4.古希腊的数学家特埃特图斯，约前前通过如图来构造无理数，记，，则( )
A. B. C. D.
5.如图，点，，，，为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线平面的是( )
A. B. C. D.
6.某施工队要给一个正四棱锥形的屋顶铺设油毡进行防水，已知该四棱锥的高为，底面边长是，接缝处忽略不计，则需要油毡的面积为( )
A. B. C. D.
7.已知向量与的夹角为，若在方向上的投影向量为，则( )
A. B. C. D.
8.已知在锐角三角形中，角，，的对边分别为，若，则的取值范围为
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，在正方体中，，分别为棱的中点，则以下四个结论中，正确的有( )
A. 直线与是相交直线 B. 直线与是异面直线
C. 与平行 D. 直线与共面
10.欧拉公式其中为虚数单位，是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位．依据欧拉公式，下列选项正确的是( )
A. B. 为纯虚数
C. 复数的模长等于 D. 的共轭复数为
11.已知一圆锥的底面半径为，其侧面展开图是圆心角为的扇形，为底面圆的一条直径上的两个端点，则( )
A. 该圆锥的母线长为
B. 该圆锥的体积为
C. 从点经过圆锥的侧面到达点的最短距离为
D. 过该圆锥的顶点作圆锥的截面，则截面面积的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则
13.高中数学兴趣小组计划测量某大厦的高度，选取与底部在同一水平面内的两个基测点与现测得，，米，在点测得大厦顶的仰角，则该大厦高度 米精确到米．
参考数据：，．
14.如图，长方体的体积是，为的中点，则三棱锥的体积是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量满足，，．
求与的夹角；
若，，求．
16.本小题分
如图所示，在四棱锥中， 平面，，是的中点．
求证： ；
求证： 平面．
17.本小题分
中，内角，，的对边分别为，，已知，．
求角；
若边上的点满足，，求的面积．
18.本小题分
已知函数部分图象如图所示．
求和的值；
求函数在上的单调递增区间；
将向右平移个单位长度得到函数，已知函数在上存在零点，求实数的最小值和最大值．
19.本小题分
在平面直角坐标系中，对于非零向量，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道平行的充要条件为．
已知向量，求；
设向量的夹角为，证明：；
在中，为的中点，且，若，求．
参考答案
1.
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4.
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6.
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8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.．
15.【详解】因为，，，设，
所以，
所以，因为，
所以，即与的夹角为；
因为，
则，
故．

16.【详解】在四棱锥中， 平面，平面，
平面平面， ．
取的中点，连接，，是的中点，
，，
又由可得 ，且， ，，
四边形是平行四边形， ，
平面，平面，
平面．

17.【详解】在中，利用正弦定理可得：，
又，则，
则，
即，
因，则，则，
又，则．
因，则
两边平方得：，
又，则，
则，
在中，由余弦定理得，化简得
则，即，得或，
当时，，则；
当时，，，则．

18.【详解】由图象可知：，所以，则，
又，，得，
又，所以．
由知，
令，，
解得：，．
令，得，因，则，
令，得，因，则，
所以在上的单调递增区间为，．
由题意，，
则，
由函数在上存在零点，
则在上有解，
令，由，则，即，
则，
所以，即，
故最小值为，最大值为．

19.【详解】由，，
可得：
因为
，
且，，则，
所以．
因为为中点，
则，
可得，
即，可得，
又因为，可知点为的中点，则，
可得，
即
则，
，
，
可得，
所以．

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