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2024-2025学年广东省普宁市勤建学校高一下学期第二次调研考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.计算：( )
A. B. C. D.
2.如果表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是( )
A. B.
C. D.
3.如图，的斜二测直观图为等腰直角三角形，其中，则的面积为( )
A. B. C. D.
4.在中，为边上的中线，为的中点，则
A. B. C. D.
5.下列说法正确的是( )
A. 空间中两直线的位置关系有三种：平行、垂直和异面
B. 若空间中两直线没有公共点，则这两直线异面
C. 和两条异面直线都相交的两直线是异面直线
D. 若两直线分别是正方体的相邻两个面的对角线所在的直线，则这两直线可能相交，也可能异面
6.在中，，则的面积为( )
A. B. C. D.
7.如图，为了测量河对岸的塔高，某测量队选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与现测量得米，在点处测得塔顶的仰角分别为，则塔高( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
8.已知一个圆台内接于球圆台的上、下底面的圆周均在球面上若该圆台的上、下底面半径分别为和，且其表面积为，则球的体积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列结论不正确的是( )
A. 若，则
B. 若，，则
C. 若，，则，是异面直线
D. 若，，，则或，是异面直线
10.中，下列说法不正确的是( )
A.
B. 若，则为锐角三角形
C. 若，则
D. 若，则
11.如图，为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于，的点，，则下列结论正确的是( )
A. 圆锥的侧面积为
B. 三棱锥体积的最大值为
C. 的取值范围是
D. 若，为线段上的动点，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知为虚数单位，，若，则 ．
13.已知向量，，，若，，则 ．
14.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为，则这个球的表面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，．
求向量与的夹角的大小；
若向量满足，求的值．
16.本小题分
已知复数其中且为虚数单位，且为纯虚数．
求实数的值；
若，求复数的共轭复数．
17.本小题分
如图，在正三棱柱中，为棱的中点，为棱中点，．
证明：平面；
证明：平面平面．
18.本小题分
设的内角，，所对的边分别为，，且满足，．
求；
若为锐角三角形，求周长的取值范围；
若的内切圆半径，求的面积．
19.本小题分
如图，三棱锥各棱长均为，侧棱上的、、满足，，线段上的点满足平面．
在上，，求证：平面平面；
若，且，求的值；
求三棱锥体积的最大值．
参考答案
1.
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8.
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11.
12.
13.
14.．
15.【详解】因为，，则，
因为，故．
因为向量满足，
所以，解得，所以，故．

16.【详解】因为，所以，
是纯虚数，，解得，
又，；
，，
的共轭复数为．

17.【详解】连结交于，连结，
在正三棱柱中，且，
所以四边形是平行四边行，则为的中点，
因为为的中点，所以为的中位线，，
因为平面，平面，
所以平面；
在正三棱锥柱中，且，
，，所以四边形是正方形，所以，
因为分别是的中点，所以是的中位线，
所以，又因为，所以，
在正三棱柱中平面，平面，所以，
在正三角形中，为的中点，所以，
因为，平面，所以平面，
因为平面，所以，
因为平面，
所以平面，
因为平面，所以平面平面．

18.【详解】由，可得，
，
，
，又，则，
，又，
．
由，由正弦定理得，，
，
因为为锐角三角形，所以，
，则
所以的周长范围为．
由，
，即，
由余弦定理得，得，
，即，
解得或舍去，
所以．

19.【详解】如下图所示：
因为，平面，平面，所以平面，
又因为平面，，、平面，
所以平面平面．
过点在平面内作交于点，连接，
因为，平面，平面，所以平面，
又因为平面，，、平面，
所以平面平面．
因为平面平面，平面平面，所以，
因为为的中点，，则为的中点，
因为，且正三棱锥的棱长均为，
则，，，
所以，，
，
因为，所以，，则存在，使得，
即，
因为、不共线，则，解得．
综上所述，．
因为平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，
所以，
设点在平面上的射影为点，则为等边的中心，
由正弦定理可得，则，
所以，
因为，所以，点到平面的距离，
点到直线的距离为，
所以，，
所以，
，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故三棱锥体积的最大值为．

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