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2024-2025学年河南省商丘市九师联盟高二下学期期中联考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知离散型随机变量的分布列为，则( )
A. B. C. D.
2.某校文艺部有名学生，其中高一、高二年级各名，从这名学生中随机选名组织校文艺汇演，要求这名学生来自不同年级，则不同的选择方法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
3.函数的单调递增区间为( )
A. B. C. D.
4.若某地未来连续天每天下雨的概率均为，则这天中只有天下雨的概率为( )
A. B. C. D.
5.篮球中三分球的投篮位置为三分线以外，若从分投篮区域投篮命中计分，没有命中得分已知某篮球运动员三分球命中的概率为，设其投三分球一次的得分为，则( )
A. B. C. D.
6.由，，，，，所组成的无重复数字的位数中偶数的个数为( )
A. B. C. D.
7.随着大数据时代的到来，越来越多的网络平台开始使用推荐系统来给用户提供更加个性化的服务某公司在研发平台软件的推荐系统时发现，当收集的数据量为万条时，平台软件收入为元已知每收集万条数据，公司需要花费成本元，当该软件获得最高收益时，收集的数据量应为( )
A. 万条 B. 万条 C. 万条 D. 万条
8.已知定义域为的函数满足，且，则不等式的解集是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设离散型随机变量的分布列为
若，则( )
A. B. C. D.
10.下列关于的二项展开式，说法正确的是( )
A. 展开式共有项 B. 展开式的二项式系数之和为
C. 展开式的常数项为 D. 展开式的第项的二项式系数最大
11.已知，则( )
A. 曲线关于点对称
B. 是函数的极大值点
C. 当时，
D. 不等式的解集为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的值为 ．
13.已知随机变量服从正态分布，且，则 ．
14.若，则的值被除的余数为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
高二班的个男生，个女生含学生甲、乙在寒假期间参加社会实践活动用数字作答下列问题
社会实践活动有项不同的工作，要求每个人只能做一项工作，每项工作都有人去做，求不同的分配方案的种数；
活动后人排成一排拍照，求甲不在中间，乙不在排头的排法种数．
16.本小题分
某校高二年级的全体学生都参加了体质健康测试，已知测试成绩满分为分，规定测试成绩在区间内为“体质优秀”，在内为“体质良好”，在内为“体质合格”，在内为“体质不合格”现从这个年级中随机抽取名学生，测试成绩如下：
学生编号
测试成绩
若该校高二年级有名学生，将样本频率视为概率，试求在高二年级学生中任意抽取人，此人是“体质优秀”学生的概率．
若从这名学生中随机抽取人，记为抽取的人中“体质良好”的学生人数，求的分布列与数学期望．
17.本小题分
已知函数的图象在点处的切线与直线平行．
求的值；
求函数在区间上的极值与最值．
18.本小题分
“茶文化”在中国源远流长，近年来由于人们对健康饮品的追求，购买包装茶饮料的消费者日趋增多，调查数据显示，包装茶饮料的消费者中男性占比，男性与女性购买包装茶饮料的单价不超过元的概率分别为．
从购买包装茶饮料的消费者中随机抽取名消费者，求该消费者购买包装茶饮料的单价不超过元的概率；
若名消费者购买了单价不超过元的包装茶饮料，求该消费者是女性的概率结果用分数表示
19.本小题分
若对且，函数，满足：，则称函数是函数在区间上的级控制函数．
判断函数是否是函数在区间上的级控制函数，并说明理由；
若函数是函数在区间上的级控制函数，求实数的取值范围；
若函数是函数在区间上的级控制函数，且函数在区间上存在两个零点，求证．
参考答案
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15.解：个人做项不同的工作，要求每个人只能做一项工作，每项工作都有人去做，不同的分配方案总数为种；
方法一：甲不在中间，乙不在排头的排法可以分两类：
甲在排头，其他人随机排，则有种排法；
甲不在排头也不在中间，甲有个位置可以选择，乙不在排头，有个位置可以选择，其他人随机排，则有种排法；
综上所述，甲不在中间，乙不在排头的排法种数共有种；
方法二：人随机排有种排法，
其中甲在中间，其他人随机排，有种排法，
乙在排头，其他人随机排，有种排法，
甲在中间，乙在排头，其他人随机排，有种排法．
综上所述，甲不在中间，乙不在排头的排法种数共有种

16.【详解】由抽取的名学生中，测试成绩“体质优秀”的共有人，此时“体质优秀”的频率为，
将样本频率视为概率，则在高二年级学生中任意抽取人，此人是“体质优秀”学生的概率为；
从这名学生中随机抽取人，记为抽取的人中“体质良好”的学生人数，
因为这名学生中“体质良好”的学生人数为人，则的所有可能取值为，
，
，
，
即的分布列为
．

17.解：由，得，
所以．
因为函数的图象在点处的切线与直线平行，
所以，即，解得．
由，得，
令，解得，或 ，
当变化时，的变化情况如下表所示：
单调递减 单调递增 单调递减
因此，当时，有极小值，且极小值为，当时，有极大值，且极大值为 ，
又，所以函数在区间上的最大值为，最小值为．

18.解：设该消费者购买包装茶饮料的单价不超过元为事件，
从购买包装茶饮料的消费者中随机抽取名消费者为男性为事件，
，
所以；
设从购买包装茶饮料的消费者中随机抽取名消费者为女性为事件，
，
则．

19.解：函数是函数在区间上的级控制数，
理由如下：因为，且，所以，
所以，即成立，
所以函数是函数在区间上的级控制函数．
由函数是函数在区间上的级控制函数，
得，又因为，由指数函数性质得在上单调递增，
所以，即恒成立，
令，所以当，且时，恒成立，
故在上恒成立．因为，所以在上恒成立，
则恒成立，即，由指数函数性质在上单调递增，
故，则，由题意得，所以，
综上，可以得到实数的取值范围是．
因为函数在区间上存在两个零点，
所以我们不妨设，且，
因为函数是函数在区间上的级控制函数，
所以，
即，
可以得到，
要证，即证，
即证，即证，
令，构造，
所以，
所以在上单调递增，
所以，即时，，
即成立，所以得证．

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