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2024-2025学年广西梧州市高二下学期5月段考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知命题，则命题的否定为( )
A. B.
C. D.
2.已知向量，，若，则( )
A. B. C. D.
3.若椭圆的离心率为，则( )
A. B. C. D.
4.球的表面积增大为原来的倍，那么球的体积增大为原来的( )
A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍
5.设集合，若，则实数必满足( )
A. B. C. D.
6.如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每隔等可能地向上或向右移动一个单位，则质点移动次后位于的概率为( )
A. B. C. D.
7.“基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的学术大师浙江大学复旦大学武汉大学中山大学均有开设数学学科拔尖学生培养基地已知某班级有共位同学从中任选一所学校作为奋斗目标，每所学校至少有一位同学选择，则同学选择浙江大学的不同方法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
8.设函数，若恒成立，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列的前项和为，，，则( )
A. 数列是等比数列 B.
C. D. 数列的前项和为
10.已知，则下列结论正确的是( )
A. 的单调递增区间为
B. 在区间上的值域为
C. 若的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则
D. 若在区间上恰有两个零点，则的取值范围是
11.在棱长为的正方体中，是的中点，下列说法正确的是( )
A. 若是线段上的动点，则三棱锥的体积为定值
B. 沿正方体的表面从点到点的最短距离为
C. 若平面与正方体各个面所在的平面的夹角分别为，则
D. 三棱锥外接球的半径为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知等差数列的前项和为，，，则 ．
13.若函数与直线相切，则实数的值为 ．
14.祖暅，南北朝时期的伟大科学家，于世纪末提出了体积计算原理：“幂势既同，则积不容异”，这就是“祖暅原理”“势”即是高，“幂”是面积，意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等已知双曲线，若直线与在第一象限内与双曲线及其渐近线围成图形如图，则它绕轴旋转一周所得几何体的体积为 由双曲线和两直线围成的封闭图形绕轴旋转一周后得到几何体如图，则的体积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记的内角，，所对边分别为，，，面积为，且．
证明：
若，边上的高为，求．
16.本小题分
如图，在直三棱柱中，，，，为的中点，为的中点．

证明：平面；
若，求直线与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
已知抛物线的焦点为，点在直线上，过焦点作一条直线交于两点．
求抛物线的方程；
若直线与抛物线交于两点，求证：直线与的交点在一条定直线上．
18.本小题分
已知函数，．
Ⅰ讨论的单调性；
Ⅱ当时，恒成立，求的取值范围；
Ⅲ当时，设，证明：在上存在唯一的极小值点且．
参考数据：．
19.本小题分
一只猫和一只老鼠在两个房间内游走每经过分钟，猫和老鼠都可以选择进行一次移动猫从当前房间移动到另一房间的概率为，留在该房间的概率为若上一分钟猫和老鼠都在一个房间，那么下一分钟老鼠必定移动到另一个房间，否则老鼠从当前房间移动到另一房间或留在当前房间的概率均为已知在第分钟时，猫在号房间，老鼠在号房间设在第分钟时，猫和老鼠在号房间的概率分别为，．
求第分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为的概率
求证：，均为等比数列
在第几分钟时，老鼠在号房间的概率最大
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：证明：因为，又因为，
所以，
因为，所以，所以，
由正弦定理可得，
因为，
所以，
即，显然或等式不成立，
故，，
所以，
则，得证
当，由得，则，
则，解得
则，
所以，又因为边上的高为，
所以，所以，解得，
由正弦定理，得，
解得．
16.解：取中点，连接、，

因为，所以，
由于为的中点，为的中点，所以，且，
因为且，为的中点，所以，且，
所以，且，故四边形为平行四边形，所以，，
又因为平面，平面，所以，，
因为，，、平面，所以，平面，
因为，故平面．
解法：设直线与平面所成角为，点到平面的距离为，
则，

在中，由余弦定理可得，
可得，解得，即，
所以，，
在中，，，则，
过点在平面作垂直于的延长线于，易得，
因为平面，平面，则，
因为，，、平面，所以，平面，
由于，
则，
在中，，同理可得，
又因为，为的中点，所以，，且，
所以，，
又，即，所以，，
因此，，
因此，直线与平面所成角的正弦值为；
解法：在中，由余弦定理可得，
可得，解得，即，
如图，连接，

由，平面，平面，则，
又因为，，，，则四边形为正方形，
因为为的中点，，
由于，、平面，则平面，
如图，记，过点在平面内作，垂足为点，
连接，由于平面，平面，则，
又因为，、平面，则平面，
所以即为直线与平面所成角，
由于，则，
因为平面，平面，所以，，
所以，，则为的三等分点，
因为，则，
因为为的中点，则，
则，，
于是，即直线与平面所成角的正弦值为；
解法：因为平面，，
如图，以为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
在中，由余弦定理可得，
可得，解得，即，
所以，，
于是、、、、，

则，设平面的一个法向量为，，
，
于是，令，则，
设直线与平面所成角为，
那么，
即直线与平面所成角的正弦值为．

17.解：的焦点在轴上，为，
直线与轴的交点坐标为，则，即
所以抛物线为
令，，，不妨设，
设的方程为，，
联立与，得到，，
由，
则直线，直线，
两直线方程相减得到：，
因为，于是，
即，即，
即，于是，解得，
即直线与的交点在一条定直线上

18.解：Ⅰ，，
当时，恒成立，在上单调递增，
当时，令，得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
综上所述：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
Ⅱ当时，恒成立，
即恒成立，
令，
则，，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，即，
故的取值范围是；
Ⅲ证明：
当时，，，
令，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
又因为，
且，
所以存在唯一的，使得，
即，
当时，，即，单调递减，
当时，，即，单调递增，
所以是在上唯一的极小值点，
，，
由可知，得证．
19.解：第分钟时，猫在号房间，老鼠在号房间，
设为第分钟时，猫在号房间，老鼠在号房间的概率，则，，
，，
设第分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为，则，
所以第分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为的概率为；
证明：易知，，且由得，，
当时，猫在第分钟时位于号房间包含种情形：
上一分钟仍在号房间，继续保持在号房间的概率为；
上一分钟在号房间，转移到号房间的概率为，
则由全概率公式，，进而，
结合，故是首项为，公比为的等比数列，
即，注意到当时也满足题意，
因此，
老鼠第分钟在号房间包含种情形：
上一分钟描和老鼠都在号房间，老鼠转移到号房间的概率为；
上一分钟猫在号房间，老鼠在号房间，老鼠转移到号房间的概率为；
上一分钟猫在号房间，老鼠在号房间，老鼠转移到号房间的概率为，
故由全概率公式，，
即，
要证为等比数列，即证为等比数列，
而，
故，结合，
故为首项，公比为的等比数列，
即，注意到时也满足题意，
因此；
由，，
显然不是其最大值，设，
当为奇数时，，当且仅当时取等，故的最大值为；
当为偶数且时，；当时，，故最大值为，
因此的最大值为，即在第分钟时，老鼠在号房间概率最大．
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