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2024-2025学年云南省楚雄彝族自治州高二下学期5月期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，两所大学分别有，个自己感兴趣的专业，若这名同学只能从这些专业中选择个，则他不同的选择种数为( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.过点且与直线垂直的直线的方程是( )
A. B.
C. D.
4.有名男生和名女生去影院观影，他们买了同一排相连的个座位，若名女生必须相邻，则不同的坐法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
5.已知圆与圆的交点为，则直线的方程为( )
A. B. C. D.
6.已知，则的最小值是( )
A. B. C. D.
7.已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.某校提供了个兴趣小组供学生选择，现有名学生选择参加兴趣小组，若这名学生每人选择一个兴趣小组且每个兴趣小组都有人选，则这名学生不同的选择方法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知双曲线，则( )
A. 双曲线的实轴长为 B. 双曲线的虚轴长为
C. 双曲线的离心率为 D. 双曲线的渐近线的斜率为
10.下列关于的二项展开式，说法正确的是( )
A. 展开式共有项 B. 展开式的二项式系数之和为
C. 展开式的常数项为 D. 展开式的第项的二项式系数最大
11.将个数排成行列的一个数阵，如：




该数阵第一列的个数从上到下构成以为公差的等差数列，每一行的个数从左到右构成以为公比的等比数列其中已知，，记这个数的和为，则下列说法正确的有( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，则 ．
13.曲线在点处的切线方程为 ．
14.已知函数在定义域内单调递增，则实数的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，，，．
求；
求的面积．
16.本小题分
已知四棱锥的底面为直角梯形，，，底面，且，是的中点．
证明：平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
已知等差数列满足成等比数列．
求数列的通项公式；
若，求数列的前项和．
18.本小题分
已知椭圆的离心率为，点在椭圆上．
求椭圆的方程；
已知椭圆的右顶点为，过作直线与椭圆交于另一点，且，求直线的方程．
19.本小题分
已知函数为自然对数的底数，，函数的极值点为．
求的值；
证明：对；
已知数列的前项和，证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.．
14.
15.解：由正弦定理，得，
所以．
由余弦定理，，
所以，
所以，解得或舍，
所以，
故的面积为．

16.解：证明：取的中点为，连接、，
因为、分别是、的中点，
所以且，
又且，
所以且，
所以四边形是平行四边形，
所以，
又平面，平面，
所以平面．
因为，底面，所以两两互相垂直，以为坐标原点，以分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系如图所示，
则，
则，
设平面的一个法向量为，
所以
即，令，则，
设直线与平面所成角为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为．

17.解：因为数列为等差数列，
则，即，
又因为成等比数列，
则，
联立方程，解得或
又，则，所以公差，
故数列的通项公式；
由可得：，
所以．

18.解：
由题可知，其中，
所以，
又点在椭圆上，
所以，即，
解得，
所以椭圆的方程为；
由椭圆的方程为，得，
所以，
设，其中
因为，
所以，
又点在椭圆上，
所以，
联立方程组
得，
解得或舍，
当时，，
即或 ，
所以当的坐标为时，
直线的方程为，
当的坐标为时，
直线的方程为，
综上，直线的方程为或．


19.解：由，得，
因为函数的极值点为，所以，解得 ，
若，当时，单调递减；当时，单调递增．所以是函数的极值点，
综上所述，．
令，则 ，
因为函数，在上单调递增，，
所以，使得 ，
当时，单调递减；
当时，单调递增．
所以的极小值为，也是的最小值，
由，得，且，
所以，
当且仅当时等号成立，但，所以等号不成立，即 ，
所以，即．
证明：当时，，
当时，，满足上式，
所以 ，
由知对，即，
取，则，所以，即 ，
所以．

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