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2024-2025学年浙江省宁波市镇海中学高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数满足，则的实部与虚部之和为( )
A. B. C. D.
2.设是三个不同平面，且，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.若斜二测画法的直观图是边长为的正三角形，则原图形的面积为( )
A. B. C. D.
4.已知的方差为，则的方差为( )
A. B. C. D.
5.已知圆锥的高为，底面半径为，过圆锥任意两条母线所作的截面中，截面面积的最大值为( )
A. B. C. D.
6.如图，棱长为的正方体中，为棱中点，为棱中点，点在侧面上运动含边界，若平面，则点的轨迹长度为( )
A. B. C. D.
7.如图，已知满足，为中点，为线段上的动点，记将四边形沿着翻折成几何体，在翻折过程中，总存在某一个位置使得，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.体积为的正四棱锥的侧棱上分别有三点，且，则三棱锥的体积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知是复数，则下列结论正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则或
C. D.
10.亚运会期间，宁波市要选拔射击运动员参加比赛，已知射击标靶的环数是到环，若要求连续次射击均不小于环．下面是四位选手各自连续次的射击情况的数据特征，其中肯定能通过选拔的是( )
A. 甲选手：平均数为，众数为 B. 乙选手：平均数为，方差为
C. 丙选手：中位数为，众数为 D. 丁选手：中位数为，极差为
11.如图，正四面体中，是线段上的动点，是线段上的动点，记与平面的所成角为，与的夹角为，平面与平面的夹角为，则下列说法正确的是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.有一组数据：则这组数据的第百分位数为 ．
13.已知正四棱台的高为，上、下底面边长分别为和，若在它的内部有一个球，那么该球表面积的最大值为 ．
14.如图，在棱长为的正方体中，点在线段上运动，点在
线段上运动，点在底面运动含边界，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，已知圆台的轴截面为等腰梯形，满足，点为不包括端点上一点，为线段的中点，

证明：平面；
若圆台的体积为，求圆台的表面积．
16.本小题分
宁波市政府为了鼓励居民节约用电，计划调整居民生活用电收费方案，拟确定一个合理的月用电量标准千瓦时：月用电量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费．为了了解居民用电情况，通过抽样，获得了位居民每人的月均用电量千瓦时，将数据按照分成组，制成了如图所示的频率分布直方图．

求直方图中的值以及所有样本的平均用电量；
宁波市有万居民，估计全市居民中月均用电量不低于千瓦时的人数，并说明理由：
宁波市政府希望使的居民每月的用电量不超过标准千瓦时，估计的值保留整数，并说明理由．
17.本小题分
如图，已知四棱锥的底面为平行四边形，其中，
证明：；
求直线与平面的所成角的正弦值．
18.本小题分
如图，已知四边形满足，现将沿着翻折得到形成四棱锥，记二面角的平面角大小为．
若，证明：．
在线段上是否存在一点使得平面，若存在，求出；若不存在，请说明理由．
三棱锥的外接球球心为，二面角和的平面角大小分别为，求记，结果用表示．
19.本小题分
已知为虚数单位，定义的解称为次单位根或单位根，这个单位根分别为复数单位根在代数、分析、信号处理和几何学等领域都有广泛的应用．例如在平面几何中，记对应的复数为，将绕原点逆时针旋转得到，则对应的复数为此外，在数字信号处理中，单位根用于设计滤波器，以选择或抑制特定频率的示性信号．
方程在复数域上的两根为，将对应的向量逆时针旋转后得到，记对应的复数为，请求出结果用代数形式表示；
已知定义在整数集上的示性函数，在复平面上的正三角形顶点三点分别对应的复数为，若存在使得，则称为正三角形数．若为正三角形数，求；
一个圆环上系有个绳结，且圆环上每个绳结的位置都不相同，现有两种打结方式分别可以得到型绳结，每个绳结等可能地采用两种打结方式．记顺序相邻的个绳结中恰有，，，个型绳结的组数分别为，证明：是的倍数．
参考答案
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14.
15.【详解】

连接，，
因为四边形为等腰梯形，
所以，
因为，为中点，
所以，
所以四边形为平行四边形，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面，
又因为为的中点，
所以为三角形的中位线，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面，
又因为平面，平面，，
所以平面平面，
又因为平面，
所以平面．
设上底面圆半径为，则，，
上底面圆半径为，则，，
设圆台高为，体积为，
则，
解得，
在截面等腰梯形中，过作的垂线，垂足为，如图，

则，
所以圆台母线长，
所以圆台的表面积．

16.【详解】由频率和为可得解得，
样本的平均用电量为：千瓦．
由直方图可得用电量不低于千瓦的频率为，
故全市居民中月均用电量不低于千瓦的人数为万人．
由直方图得前组的频率之和为，
前组的频率之和为，
故第百分位数在中，故，
故，故千瓦．

17.【详解】
因为，
由余弦定理可得：，
所以，即，
所以，又，可得：，
又，为平面内两条相交直线，
所以平面，又在平面内，
所以，又，为平面内两条相交直线，
所以平面，在平面内，
所以，又，为平面内两条相交直线，
所以平面，在平面，
所以；
由平面，在平面内，
所以，
又，
所以，
则，所以，
所以，
设到平面的距离为，
由等体积法：，
可得，
解得：，
又，在平面内，在平面外，
所以平面，
所以到平面的距离为，
所以直线与平面的所成角的正弦值为

18.【详解】若，则平面平面，
在平面内过作，垂足为，连接，
因为平面平面，平面平面，
平面，故平面，而平面，故．
在直角中，，，故，
而，故在直角中，，
所以，
而，故．
存在且满足，使得平面，证明如下：
取中，由可得，连接，由旋转不变性可得，
而且平面，故，
而平面，平面，故平面，
而且，故，同理可得平面，
而平面，故平面平面，
而平面，故平面．
由旋转过程中形成四棱锥，故，
若，取的中点分别为，连接，
因为为三棱锥的外接球球心，故平面，平面，
因为平面，故，而为中位线，故，
故，因，平面，
故平面，而平面，故，
故为二面角的平面角，故，
同理可证：，，
在直角三角形中，，同理，
故在直角三角形中有，
故即，
且，
故．
当时，此时重合，且，
满足，
当，此时且在平面的下方，
同理可得，
综上，．

19.【详解】对于，它的两个根为，
不妨设，
从而；
由题意不妨设正的边长为，它的三个顶点分别为，
则，
若存在使得，
即若存在使得，
注意到，从而有，
对两边同时乘以，可得；
对两边同时乘以，可得，
观察发现具有轮换对称性，从而地位一样，
故，
又因为，
所以，
当时，
设，
此时；
当时，
设，
此时；
当时，
设，
此时；
综上所述，；
为了方便起见，记顺序相邻的个绳结中恰有，，，个型绳结的组数分别为，
故只需证明是五的倍数，
所以，
设圆环上总共有个型绳结，由于每个型绳结属于个不同的顺序相邻的个绳结组，
故所有顺序相邻的个绳结组中绳结的总数为，其中表示顺序相邻的个绳结中全是绳结的绳结组的组数，
所以，也就是说是的倍数，
又因为也是的倍数，
从而是的倍数，命题得证．

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