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2024-2025学年河北省唐县第一中学高一下学期5月期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数的共轭复数在复平面内对应的点位( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知，，则“向量，共线”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件
3.已知正方体，过点且以为法向量的平面为，则截该正方体所得截面的形状为( )
A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形
4.已知甲、乙两个医疗团队同时独立破解某一医学难题，甲独立攻克该难题的概率为甲、乙中恰有一个团队攻克该难题的概率为，则该难题被攻克的概率为( )
A. B. C. D.
5.双曲线的左、右焦点分别为过作其中一条渐近线的垂线，垂足为已知，直线的斜率为，则双曲线的方程为( )
A. B. C. D.
6.已知点，点在圆上运动，则线段中点的轨迹方程是( )
A. B.
C. D.
7.若是等差数列，表示的前项和，，则中最小的项是( )
A. B. C. D.
8.已知双曲线，点的坐标为，若上的任意一点都满足，则的离心率取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图是函数的部分图象，则( )
A. B. C. D.
10.已知数列满足，的前项和为，则( )
A. B. 数列是等比数列
C. ，，构成等差数列 D. 数列前项和为
11.设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，为的准线，则( )
A. B.
C. 以为直径的圆与相切 D. 为等腰三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是 ．
13.设数列满足则数列的前项和为 ．
14.将数据，，，排成如图的三角形数阵，第一行一个，第二行两个，，最下面一行有个，则数阵中所有数据的和为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
近年来，我国超重和肥胖率呈快速上升趋势，儿童和青少年的肥胖问题尤为突出超重和肥胖与多种慢性疾病密切相关，严重威胁公共健康青少年时期是培养健康饮食和运动习惯的关键阶段，早期干预能够有效预防肥胖问题今年“两会”期间，国家卫健委宣布从年起实施“体重管理年”三年计划，旨在通过系统性措施改善青少年健康状况，降低肥胖率体重指数体重身高，青少年的理想范围参考值为：男生岁：；女生岁：；某城市对名高中生的体重指数进行了调查，的分组区间为、、、、、、，调查结果的频率分布直方图如图所示．

求频率分布直方图中的值及高中生的平均数及中位数；
在为、、的三组学生中，用分层抽样的方法抽取名学生，则在的学生中应抽取多少名？
在条件下，在为和的两组学生中任取名学生，求这名学生来自同一组学生的概率．
16.本小题分
在锐角中，内角、、的对边分别为、、，已知．
求；
若，，，求的面积．
17.本小题分
在四棱锥中，底面是正方形，若．
证明：平面平面；
求二面角的平面角的余弦值．
18.本小题分
已知点，分别为椭圆：的左顶点和右焦点椭圆的左顶点，右焦点，直线过点且交椭圆于，两点，设直线，的斜率分别为，．
求椭圆的离心率；
是否存在直线，使得，若存在，求出直线的方程；不存在，说明理由．
19.本小题分
已知数列满足，．
Ⅰ证明是等比数列，并求的通项公式；
Ⅱ证明：．
参考答案
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14.
15.由频率分布直方图面积和为可得，
解得，
高中生的平均数为，
因为前三组的频率之和为，
所以中位数在组，
设中位数为，则，解得，
所以中位数为．
、、的频率之比为，
共抽名，则的学生中应抽取名
由可知，抽人，设人分别为
则抽取人，人分别为，
设事件表示抽取的名学生来自同一组学生，
总情况数有
种，
名学生来自同一组学生的情况由种，
则．

16.解：由及正弦定理可得，
即，
即，
即，
因为为锐角，故，可得，由正弦定理得，故．
因为，则，故，
所以，
即，即，
由余弦定理可得，即，
联立可得，，故，
因此，．

17.解：证明：取的中点，连接，，
，
，
，
，
，，
，
，
又，平面，
平面，
平面，
平面平面；
由知平面平面，
又，平面，平面平面，
平面，平面，
，
过作于点，连接，
，
，，
，
则为所求二面角的平面角，
由，
，
，
所以二面角的平面角的余弦值为．
18.由椭圆方程可知，，，，
，，
故椭圆的率心率．
如图，
假设存在直线，满足．
当直线斜率不存在时，，不合题意，舍去；
当直线斜率存在时，设直线的方程为，
联立，化简得．
由题意易知恒成立．
设直线与椭圆的两个交点为，，
根据韦达定理得，，
则
，
，即直线：，化简得．
综上可知，存在直线：，满足．

19.证明：Ⅰ
，
，
数列是以首项为，公比为的等比数列；
，即；
Ⅱ由Ⅰ知，
当时，，，
当时，成立，
当时，．
对时，．
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