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2025年湖南省普通高中学业水平合格性考试仿真(三)
数学试卷
一、单选题：本题共18小题，每小题5分，共90分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若是纯虚数，则实数的值是( )
A. B. C. D.
2.已知元素，且，则的值为( )
A. B. C. D.
3.不等式成立的一个必要不充分条件是( )
A. B. C. D.
4.下列命题中，是存在量词命题的是( )
A. 正方形的四条边相等
B. 有两个角是的三角形是等腰直角三角形
C. 正数的平方根不等于
D. 至少有一个正整数是偶数
5.在中，若，则的形状是( )
A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形
6.的值为( )
A. B. C. D.
7.如图，在正方体中，直线与的位置关系是( )
A. 平行 B. 相交 C. 异面但不垂直 D. 异面且垂直
8.不等式的解集为( )
A. B.
C. 或 D. 或
9.函数，的最小正周期是( )
A. B. C. D.
10.某同学从家里骑车一路匀速行驶到学校，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间，下列函数的图像最能符合上述情况的是( )
A. B.
C. D.
11.已知，则的值为( )
A. B. C. D.
12.甲校有名学生，乙校有名学生，丙校有名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层随机抽样法抽取一个容量为的样本，应在这三校分别抽取学生( )
A. 人，人，人 B. 人，人，人
C. 人，人，人 D. 人，人，人
13.函数的定义域为( )
A. B. C. D.
14.已知向量，，若，则实数的值为( )
A. B. C. D.
15.设，则的值为( )
A. B. C. D.
16.某袋中有个大小相同的球，其中有个红球，个白球，现从中任意取出个，则取出的球恰好是白球的概率为( )
A. B. C. D.
17.下列函数中，在区间上为增函数的是( )
A. B. C. D.
18.已知函数，若当时，的值域也是，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
19.在中，角、、所对应的边分别为、、，已知，则 ．
20.已知是函数的零点，则实数的值为 ．
21.已知函数在一个周期内的图像如图所示，则的值为 ．
22.如图，矩形中，，，分别是，的中点，现在沿把这个矩形折成一个直二面角如图，则在图中直线与平面所成的角的大小为 ．
三、解答题：本题共3小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
23.本小题分
某公司为了了解本公司职员的早餐费用情况，抽样调查了位职员的早餐日平均费用单位：元，得到如下图所示的频率分布直方图，图中标注的数字模糊不清．
试根据频率分布直方图求的值，并估计该公司职员早餐日平均费用的众数和平均数；
已知该公司有名职员，试估计该公司有多少职员早餐日平均费用不少于元？
24.本小题分
如图，底面是正方形的直棱柱中，，．
求直线与平面所成角的正切值；
求证：．
25.本小题分
已知函数．
求函数的定义域；
设，若函数在上有且仅有一个零点，求实数的取值范围；
设，是否存在正实数，使得函数在内的最小值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
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23.解：
众数为，
平均数
由频率分布直方图可知，平均费用不少于元的频率为：
试估计该公司有名职员早餐日平均费用不少于元．

24.解：平面，
为直线与平面所成的角，
在中，，
直线与平面所成角的正切值为．
证明：平面，平面，，
又四边形为正方形，则，
，平面，
平面，
平面，．

25.解函数．
由，即
函数的定义域为；
函数，
函数在上有且仅有一个零点
可得函数与函数在上有且仅有一个交点；
上，那么，
又是单调递增函数，
，则
故得实数的取值范围；
函数在内的最小值为，
设，令，
可得，当时，取等号；
此时，．
故存在函数在内的最小值为，此时的值为．
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