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2024-2025学年安徽省高一下学期5月联考
数学试卷(E)
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知向量，，若，则实数( )
A. B. C. D.
3.如图，是水平放置的用斜二测画法画出的直观图，其中，则的面积是( )
A. B. C. D.
4.某圆锥的体积为，底面半径为，则该圆锥的侧面展开图所对应的扇形的圆心角为( )
A. B. C. D.
5.已知正三棱锥的底面是边长为的等边三角形，侧棱，点是棱的中点，点是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
6.在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，则( )
A. B. C. D.
7.如图，正方形和正方形的边长均为，且它们所在的平面互相垂直，点在线段上运动，点在正方形内运动，，且始终保持，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.对任意两个非零向量，，定义新运算：，，表示向量，的夹角若非零向量，满足，向量，的夹角，且是整数，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.现有一组样本数据，，，，，，，，，则这组数据的( )
A. 众数为 B. 中位数为 C. 极差为 D. 分位数为
10.已知中，角、、的对边分别为，，，，则下列说法正确的是( )
A.
B.
C. 若是直角三角形，则
D. 若是锐角三角形，是线段上一点，则的最小值为
11.如图，正方体的棱长为，，分别是棱，上的点不包括端点，且，则下列说法正确的是( )
A. 正方体的外接球的表面积为
B. 若平面与平面的交线为，则
C. 若平面与平面所成的二面角为，的面积为，则
D. 若，则平面截正方体所得截面的面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某班有男生人，女生人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从该班抽出一个容量为的样本，如果样本按比例分配，则女生应抽取 人
13.已知向量，，若向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围为 ．
14.如图，已知正四棱锥的棱长均为，，分别是，的中点，是所在平面内的一点，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数是关于的方程的一个根，复数．
求
若复数为纯虚数，求．
16.本小题分
为传承“五四”精神，弘扬学校文化，增强同学们对校史校情的了解与认同，激发爱校荣校情怀，某高校在“五四”青年节举办“传承五四薪火竞答青春华章”校史知识竞赛共有名学生参加校史知识竞赛，其中男生名，女生名，成绩均在内，将名男生的竞赛成绩进行统计，分成六组，分别为，，，，，，并作出如图所示的频率分布直方图．
求图中的值
根据频率分布直方图，估计这名男生校史知识竞赛成绩的平均数同一组中的数据用该区间的中点值作代表
已知这名男生成绩的方差为，名女生成绩的平均数和方差分别为和，估计这名学生成绩的平均数和方差．
17.本小题分
在面积为的锐角中，内角，，所对的边分别为，，，．
求
若，为外接圆的圆心，记和的面积分别为，，求的最大值．
18.本小题分
如图，在中，是的中点，是的中点，过点的直线与边，分别相交于点，设，．
若，求的值
求的最小值
若是边长为的等边三角形，求的最小值．
19.本小题分
如图，在三棱柱中，底面是边长为的等边三角形，，．
证明：平面
求二面角的正弦值
若点是棱上的动点包括端点，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由题知，
整理得，
则解得
所以，
．
由知，，
因为复数为纯虚数，
所以解得，
所以，
所以
16.解：由题知：，解得．
平均数为：分．
设男生成绩的平均数，方差，女生成绩的平均数，方差，
总体成绩的平均数为，方差为，
则，
，
所以总体成绩的平均数和方差分别为和．
17.解：由及，得，
又，所以，
所以，
由余弦定理得，
因为，所以．
设外接圆的半径为，
则，且，即．
因为，，
所以，
，
所以，
因为为锐角三角形，
所以解得，
所以，
令，
则，
所以当时，取得最大值．

18.解：因为是中点，
所以，
因为是中点，
所以，
又，所以，，
所以
由知，
又，，三点共线，所以，，均为正数，
所以，
当且仅当时取等号，可得，时取等号；
，
，
因为，，
所以，
所以
，
，
则
，
由知，即．
又，
所以，解得当且仅当时取等号，
所以
．
因为，
所以当时，取到最小值，
最小值为．

19.证明：在中，，，，所以，所以，
在中，，，，所以，所以，
又，平面，，所以平面．
解：如图，连接，取的中点，连接，，．
因为平面，平面平面，平面，所以，
因为，，所以，
因为，，是的中点，所以，，
所以是二面角的平面角．
在等边中，，，所以，
在中，因为，，所以，
在平行四边形中，，
所以，，
在中，，
所以，
故二面角的正弦值为．
解：如图，过点作，交的延长线于点．
因为，，，，平面，所以平面D.
因为平面，所以．
又，，，平面， 所以平面，
，
所以．
因为，平面，平面，所以平面C.
又因为点在棱上，所以点到平面的距离为，
所以直线与平面所成角的正弦值为，
当时，最短，为，
可得直线与平面所成角的正弦值的最大值为，
当点与重合时，最长，为，
可得直线与平面所成角的正弦值的最小值为，
故直线与平面所成角的正弦值的取值范围为

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