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2024-2025学年安徽省县中联盟高二下学期5月联考
数学试卷(A)
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.研究两个分类变量之间的关系时，作出零假设并计算得，则( )
A. 有的把握认为不成立 B. 有的把握认为成立
C. 有的把握认为成立 D. 有的把握认为不成立
2.已知为等差数列的前项和，若，，则的公差( )
A. B. C. D.
3.若函数在上的最大值为，则( )
A. B. C. D.
4.展开式中的系数为( )
A. B. C. D.
5.抛掷两枚质地均匀的骰子，一枚红色，一枚蓝色记事件“红骰子的点数小于蓝骰子的点数”，事件“两枚骰子的点数之和是”，则( )
A. B. C. D.
6.若一个三位数各数位上的数字之和为，称这样的三位数为“十全十美数”，则在所有的三位数中“十全十美数”共有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
7.现有甲、乙、丙、丁支球队进行足球比赛，首先采用抽签的方法将支球队分成组进行比赛，获胜的支球队进入决赛，失败的淘汰，然后再进行一场决赛决出最后的冠军假设乙，丙，丁这支球队互相对决时彼此间的获胜概率均为，甲与其他队对决时，获胜的概率均为，每场对决没有平局，且结果相互独立，则乙队获得冠军的概率为( )
A. B. C. D.
8.“斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现，数列中的一系列数字常被人们称之为神奇数具体数列为，，，，，，，即从该数列的第三项开始，每一项等于前两项之和已知数列为“斐波那契”数列，为数列的前项和，若，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知随机变量X~N(100,100),则（）(参考数值:随机变量X~N(,),则P(-< X<+)=0.6826,P(-2< X<+2) =0.9544, P(-3 < X<+3)=0.9974)
A. E(X)=100 B. D(X)=10
C. P(X90)=0.8413 D. P(X120)=0.9987
10.设是公比为的无穷等比数列的前项和，则下列说法正确的是( )
A. 对任意正整数，数列，，是等比数列
B. 对任意正整数，
C. 若，，则
D. 若，且，，成等差数列，则
11.若函数的两个极值点分别为，，且，则( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.名老师和名获奖同学排成一排照相，若老师不站两端，则不同的站法种数为 ．
13.已知是函数图象上任意一点，则到直线的距离的最小值为 ．
14.五一长假期间，铁路部门迎来客流量高峰某高铁站进站口并排有个安检入口，假设每个人在进站时选择每个安检入口的概率都是，现有三男三女共六位乘客先后通过安检入口进站，则每个安检入口通过的男乘客人数与女乘客人数均相等的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某同学为了研究两个变量与的相关关系，收集到如下表格的组数据：
从表格中的组数据中随机抽取组，记与相等的组数为随机变量，求的分布列与期望
根据上表提供的数据，求经验回归直线方程．
参考公式：，．
16.本小题分
已知是数列的前项和，，．
求的通项公式
求数列的前项和．
17.本小题分
如图，在菱形中，，，是线段的中点，将沿折起到的位置．
若，证明：平面平面
若二面角是，求点到平面的距离．
18.本小题分
已知直线经过抛物线的焦点且与相交于点与，为的准线上一点．
若，证明：点的纵坐标为
若，求的方程
若，，的斜率分别为，，，证明：，，成等差数列．
19.本小题分
已知函数，其导函数为．
讨论的单调性
求的极值点个数
求所有极值点的乘积．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.AC
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由题意可得的所有可能取值为，，
，，，
的分布列为：
．
由题意可得，，
则，
所以，
所以．
16.解：因为，所以，
当时，，
得：
所以，
所以，所以．
因为，所以是以为首项，为公差的等差数列，
所以．
因为，
所以，
，
两式相减，得，
，
所以．
17.证明：在中，由余弦定理，得
，
所以，所以．
将沿折起后，必有．
又，与相交，平面，平面，所以平面．
又平面，所以平面平面．
解：由知，
所以分别以直线，为轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，．
由知平面，所以为二面角的平面角，则，
又平面，所以平面平面，所以
设平面的一个法向量，，，
则即令，则．
又，所以点到平面的距离．
18.证明：设点，在的准线上的射影分别为，，线段的中点为，因为，
所以
所以是梯形的中位线，所以，所以点的纵坐标为．
解：由题意得，由得，
所以，则，，
由得，解得
所以直线的斜率为，则的方程为，即．
证明：设，的方程为联立整理得，
显然，，，
因为，，，
所以
，
又，即所以，，成等差数列．
19.解：或，
所以，令，
则，
所以在，上单调递增．
因为，，
所以，使，
当时，，函数单调递减当时，，函数单调递增，所以在上有一个极小值点．
因为，，
所以，使，
当时，，函数单调递减当时，，函数单调递增，所以在上有一个极小值点，
所以在其定义域上存在两个极值点．
由知，是函数的零点，所以，
所以，
所以
因为，所以，且在，上各存在一个零点，，
所以，即，所有极值点的乘积为．
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