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2024-2025学年湖南省市县级高中教育教学联盟高二下学期五月联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知，则复数的虚部为( )
A. B. C. D.
3.若向量，，且，则( )
A. B. C. D.
4.的展开式中的系数为( )
A. B. C. D.
5.已知焦点在轴上的椭圆，上顶点为，左、右焦点分别为，，经过点的直线垂直平分线段，且交椭圆于，两点，的周长为，则椭圆的标准方程为( )
A. B. C. D.
6.已知等比数列的公比是，前项和为，，设甲：，乙：数列是递增数列，则甲是乙的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.已知函数，则下列说法正确的有( )
的图象关于点中心对称
的最小值为
当时，的所有极值点按从小到大依次记为，，，，则极值的和为．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
8.已知函数，，表示，的最小值，设函数，若有个零点，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知抛物线的准线为，焦点为，为抛物线上的动点，过点作的一条切线，为切点，过点作的垂线，垂足为，则( )
A. 准线与圆相切
B. 过点，的直线与抛物线相交的弦长为
C. 当，，三点共线时，
D. 满足的点有且仅有个
10.已知且，满足，则下列不等式恒成立的是( )
A. B.
C. D.
11.如图，在正四棱柱中，，，，分别为，的中点，是侧面上一动点含边界，则下列结论正确的是( )
A. 若满足，则点的轨迹为圆的一部分
B. 若，则点的轨迹为抛物线的一部分
C. 以点为圆心，为半径的球与正四棱柱的侧面的交线长度为
D. 以为直径的球面与正四棱柱的侧面的交线长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数列的前项和，则 ．
13.在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于直线对称，若，则 ．
14.一般地，如果是区间上的连续函数，并且，那么这个结论叫作微积分基本定理，又叫作牛顿莱布尼茨公式从几何上看，如果在区间上函数连续且恒有，那么定积分表示由直线，，和曲线所围成的曲边梯形的面积抛物线与轴围成的封闭图形的面积为 已知数列满足，的前项和为，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，其中，且C.
求角的大小
若，外接圆的半径为，求的面积．
16.本小题分
为了丰富学生的课余生活，增强团队协作能力和沟通能力，促进身心健康发展，某校将举行一次篮球赛某班准备组建一支人的篮球队参加比赛，其中甲、乙人已入选，现要从含丙、丁、戊的另外人中再选人参赛．
求丙、丁、戊人中入选的人数的分布列及期望
现甲、乙、丙、丁、戊人进行传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外个人中的任何人，求次传球后球在甲手中的概率．
17.本小题分
在矩形中，，，，分别为，的中点，如图将沿折起，使得点到达点的位置，如图，此时二面角的大小为．
证明：．
已知为的中点，为平面内的一个动点，满足且，两点在直线的异侧，求直线与直线所成角的余弦值的最大值．
18.本小题分
已知函数，
设函数，试讨论的单调性
若，的图象存在公切线与，的图象均相切的直线，求实数的取值范围
若存在不相等的，，使，，证明：．
19.本小题分
已知双曲线的左、右焦点分别为，，过右焦点的直线交的右支于，两点，且弦的长度最短为．
求的标准方程．
若，分别为，内切圆的半径，试问是否为定值若是，求出该定值若不是，请说明理由．
若与的左支交于点，求的范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为在中，，所以．
由，得，
得，即，
因为，所以，为内角，所以．
由外接圆的半径为，及正弦定理，得，
由余弦定理得，所以，由，得，
所以．
16.解：由题意可知的所有可能取值为，，，
则，，，
所以的分布列为：
故E．
设次传球后球在甲手中的概率为，则．
由题意可知，
变形可得，
则数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以．
17.证明：取的中点，连接，．，．
又，连接又，，又，
，又为的中点，，．
又，，平面，平面，
平面，．
解：过点作，垂足为由得平面，又平面，
平面平面又平面平面，平面，
平面．
，，为二面角的平面角，．
又，，又，．
在平面内，在以为圆心，为半径的圆上．
，两点在直线的异侧，点在弦所对的优弧上．
以，的方向分别为轴、轴的正方向，过点作的平行线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
设，，则，，，，，，
，，
，
其中，，
，，又，，
又，当或时，直线与直线所成角的余弦值取得最大值．
18.解：，
．
当时，，，在上单调递减
当时，解得，
，，，，
在上单调递减，在上单调递增；
解：设，的图象与它们公切线的切点坐标分别为，
由，，知，，
则的图象在点处的切线方程为，
的图象在点处的切线方程为．
这条直线相同，它们具有相同的斜率和纵截距，
，．
结合，有且．
设，则．
令，得令，得，
在上单调递增，在上单调递减，且．
作出的大致图象，如图所示．
的图象与直线有交点，
，解得或，
实数的取值范围为，
证明：不妨设．
存在，，使，，
，，
．
设，则，
在上单调递增，在上单调递减，且，的大致图象如图所示．
记，，则，
在上单调递增，，
又，，在上单调递减，
，即．
19.解：由已知得，， ，
又，，，
的标准方程为；
如图所示，设内切圆的圆心为，内切圆的圆心为，
圆与轴相切于点，
由易知，
点的横坐标即的横坐标，同理的横坐标也为，
，，三点共线且垂直于轴，平分，平分，
，
在中，，；
已知，设，，，，，
直线交双曲线的右支于，两点，，，
则即，
又，，
由，得，
将代入，化简得，
再将联立得，，
同理可得；
由题意，，，
，
，
又，，

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