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2024-2025学年浙江省金华市高一下学期5月四校联考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数满足，则( )
A. B. C. D.
2.下列说法正确的是( )
A. 有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱
B. 有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C. 圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线
D. 棱台的侧棱都相等
3.设，是不同的直线，是两个不同的平面，给出下列说法，其中正确的是( )
A. 若 B. 若
C. 若 D. 若
4.已知，则的范围为( )
A. B. C. D.
5.已知函数，若，则实数 的取值范围为( )
A. B.
C. D.
6.在中，角，，所对的边分别为，，，，则的最大值为( )
A. B. C. D.
7.在直三棱柱中，点，，满足：，，，则下列说法正确的是( )
A. 三棱锥体积为定值
B. 三棱锥体积为定值
C. 当时，三棱柱被截面分成的上下两部分体积相等
D. 当时，三棱柱被截面分成的上下两部分体积相等
8.三棱锥中．设，，，二面角的平面角大小为，则一定成立的是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.从某小区抽取户居民用户进行月用电量调查，发现他们的月用电量都在之间，进行适当分组后每组为左闭右开的区间，画出频率分布直方图如图所示，以下选项正确的有( )
A.
B. 本组样本的众数为
C. 本组样本的第百分位数是
D. 用电量落在区间内的户数为
10.抽样调查得到个样本数据，记作，计算得平均数，方差，现去掉一个最大值，和一个最小值后，对新数据下列说法正确的是( )
A. 极差变大 B. 中位数不变 C. 方差变大 D. 平均数不变
11.勒洛四面体是德国机械学家勒洛首先研究发现的，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动如图甲，勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体如图乙所示，若正四面体的棱长为，则下列说法正确的是( )
A. 勒洛四面体被平面截得的截面面积是
B. 勒洛四面体内切球的半径是
C. 勒洛四面体的截面面积的最大值为
D. 勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知一个圆锥的高为，且轴截面为等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为 ．
13.三棱锥中，，，，，则三棱锥外接球的表面积为 ．
14.满足，则的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，满足．
求最小值；
若，求向量的坐标表示．
16.本小题分
已知函数．
若，求的值；
若，求函数的值域．
17.本小题分
已知三角形中，，，，为边上的高，为边上的中线，为的平分线，为边上的点．
求的长；
若，求的值；
18.本小题分
如图，在四棱锥中，侧面底面，底面为矩形，，为的中点，．
求证：；
若上存在点，使得平面，求的值
若与平面所成角的正弦值为，，求四棱锥的的体积．
19.本小题分
已知正三棱台，点，，分别在，，上，且，，，，
求过点、、的平面截正三棱台的截面周长；
求直线与平面所成的角的正弦值；
求二面角平面角的余弦值．
参考答案
1.
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14.
15.解：设和的夹角为，
由题意，得，
因为，
则，
所以，即最小值为；
设，
由，可得，
由，可得，
即，解得：或，
则或．
16.解
，其中，
由，可得；
其中，
由，
，又，
，
，即，
故的值域为
17.解由角平分线性质得：
则，
则；
由题意，，，
则，
则，
则，
又因为，，三点共线，则，
由可得：，
18.证明：连接，，又平面平面，平面平面，平面，平面，
，所以平面，平面，，又平面，平面，
，平面，平面，；
分别取，中点为，，连，，， ，平面，平面，又，平面，平面，
平面，
平面平面，平面，此时
由可知，又为矩形，且，
设，则记点到面的距离为，平面，，
设与平面成角，则
整理得：，解得：或，，即或
所以：或
19.解：延长，交于点，连接交于，连接则截面为，
过作，可知为中点，
则，
过作，则，
，
所以是的中点．
在中，，，，
则，
在中，，，，
则，
在中，，，，
则，
在等腰梯形中，可求得，
所以截面周长为；
延长侧棱交于点，则三棱锥为正四面体，
，
又 ，
设与平面成角，
则
由可知，分别是正四面体棱，的中点，可得，
又，，，
在中，到的距离，
由得：到面的距离，
设二面角为，
则 ，
由正四面体可知点在面的投影为上，
故二面角为钝角，
则

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