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2024-2025学年河南省部分学校高一下学期5月阶段性测试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列说法中正确的是( )
A. 棱柱的所有面都是四边形 B. 棱柱的侧面一定是平行四边形
C. 棱柱的侧棱不全相等 D. 各条棱长都相等的棱柱一定是正方体
2.已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
3.某圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积是( )
A. B. C. D.
4.已知向量，，，，则实数( )
A. B. C. D.
5.如图，在正四棱锥中，为底面的中心若，，则绕旋转一周形成的几何体的体积为( )
A. B. C. D.
6.已知的面积为，为所在平面内一点，且，则的面积为( )
A. B. C. D.
7.如图，在正方体中，，为正方形内含边界一动点，是棱的中点，且，则点的轨迹的长度为( )
A. B. C. D.
8.教材中关于数量积有如下性质“，当且仅当时等号成立”，应用该结论可以解决某些函数最值问题，则函数的最大值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，则下列结论正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. D.
10.已知，为两个不同的平面，，为两条不同的直线，则下列结论正确的是( )
A. 若，，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
11.如图，在正方体中，是底面的中心，是所在棱的中点，，为顶点，则满足的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数，且为纯虚数，则实数 ．
13.在中，，，为边上的动点，则 ．
14.已知四棱锥的体积为，底面为矩形，，，，则该四棱锥外接球表面积的最小值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数．
Ⅰ求
Ⅱ设，在复平面内对应的点分别为，，求向量在向量上的投影向量的坐标为坐标原点．
16.本小题分
如图，在锐角中，，，，．
Ⅰ求的面积
Ⅱ求．
17.本小题分
如图，在三棱锥中，，，是的中点，点，分别在线段，上，且，．
Ⅰ求证：平面
Ⅱ求异面直线与所成角的大小．
18.本小题分
如图，在正三棱台中，．
Ⅰ求证：
Ⅱ求正三棱台的体积
Ⅲ求正三棱台内能容纳的最大球的体积．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，侧面是边长为的等边三角形，点，，，在同一个圆的圆周上，且，，平面平面．
Ⅰ求证：平面平面
Ⅱ求三棱锥的体积
Ⅲ求二面角的正弦值．
参考答案
1.
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13.
14.
15.解：Ⅰ．
Ⅱ由Ⅰ可得，，即，，
所以，，
所以向量在向量上的投影向量的坐标为
16.解：Ⅰ设．
在中，由余弦定理，得，
即，
即，解得或，
当时，得，这与是锐角三角形相矛盾，舍去．
当时，满足题意，故BC，
又，
易得，，
所以．
Ⅱ由Ⅰ知，
在中，由余弦定理，得
，即．
在中，由正弦定理，得，即，
解得．
17.解：Ⅰ如图，在线段上取一点，使得，连接．
由已知得，且．
在线段上取一点，使得，连接，．
由已知得，且，
所以，且，因此四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，
所以平面．
Ⅱ由，，不妨设，则．
延长，交于点，如图，则即为异面直线与所成的角．
由知，，
所以为等边三角形，即，
从而，即异面直线与所成角的大小为
18.解：延长，，交于点，如图因为，
所以三棱锥是所有棱长均为的正三棱锥．
设在底面内的射影为，则为底面的中心．
连接，，则，，
又，，平面，
所以平面，又平面，
所以，即，又，所以．
Ⅱ设底面的中心为，连接，．
易知，则，
则正三棱台的高，
所以．
Ⅲ如图，设正三棱台的上底面的中心为，
的中点为，的中点为，
连接，，，，则当球最大时，其球心在线段上
易知，，正三棱台的高，斜高，
因为，所以球最大时球面与正三棱台的上、下底面及侧面均相切，
此时球的半径，体积

19.Ⅰ证明：取的中点，连接，如图，
因为为等边三角形，
所以，
又平面平面，且平面平面，平面，
所以平面，
又平面，
所以．
因为点，，，在同一个圆的圆周上，，
所以，
即，又，，平面，
故AD平面，
又平面，故平面平面
Ⅱ解：在中，，
在中，，
又由Ⅰ知平面，
故．
Ⅲ解：设的中点为，连接，则过点作直线交于点，
由Ⅰ可知，平面，
所以平面，
过点作交于点，连接，
则，即为二面角的平面角，
如图在底面中，过点作交的延长线于点，如图，
则四边形是矩形，
不妨设，，，，则有
解得负值舍去，所以为的中点，．
于是在中，，，所以，
则，故二面角的正弦值为．
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