资源简介

湖北省2025届高三年级五月适应性检测
数学试卷(押轴卷)
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.图中的阴影部分表示的集合为( )
A. B. C. D.
2.已知复数，则( )
A. B. C. D.
3.在平面直角坐标系中，设角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点， ，则( )
A. B. C. D.
4.如图，在平行四边形中， ，，为的中点，若 ，则( )
A. B. C. D.
5.数列的前项和为( )
A. B. C. D.
6.某地统计了辖区内从年至年这年的新能源汽车和纯电动汽车的销量单位：百辆，得到如下折线图：
现对年至年这年的数据进行分析，设新能源汽车的销量数据和纯电动汽车的销量数据的方差分别为 和 ，新能源汽车的销量数据和纯电动汽车的销量数据的年平均增长率分别为和，则( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
7.正三棱柱的条棱长均相等，且体积为．，，分别是棱，，上的点，其中，，，则几何体的体积为( )
A. B. C. D.
8.已知函数的定义域为，且满足下列性质：
，，；，，
则下列说法一定正确的为( )
A. 在上无最小值 B. 在 上单调递减
C. 在上有最小值 D. 在 上单调递增
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.使关于，的不等式成立的充分不必要条件是( )
A. 且 B. 且 C. 且 D. 且
10.函数 的图象可能是( )
A. B.
C. D.
11.在平面直角坐标系中，为坐标原点．已知曲线： ，点为曲线上的任意一点，下列结论正确的是( )
A. 曲线关于轴对称
B. 曲线围成的封闭图形的面积大于
C. 过原点的直线与曲线有且仅有两个交点
D. 点到原点的距离不超过
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知抛物线：，直线与交于，两点，为弦的中点，则直线的斜率为 ．
13.若函数 在区间 上单调，则的取值范围为 ．
14.甲乙两位同学一起玩掷骰子的游戏，骰子为均匀的正方体，且正方体的六个面上分别标注了点数，，，现甲乙两位同学轮流掷骰子，规定玩家完成一轮投掷的规则如下：
玩家开始投掷骰子，若玩家掷出的点数为，则获得分，且玩家继续掷骰子，本轮投掷继续；
若玩家掷出的点数小于，则获得相应点数的得分，此时将骰子交给对手投掷，该玩家完成了一轮投掷．
称甲乙两人各完成一轮投掷为完成了一轮游戏．则甲在三轮游戏中共得分的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数
若为的极值点，求；
当时，恒成立，求的取值范围．
16.本小题分
在三棱柱中，底面是正三角形，，．
求证：；
若，且，求直线与平面所成角的余弦值．
17.本小题分
设是坐标原点，双曲线： 的左、右焦点分别为，，离心率 ．
求双曲线的标准方程；
直线：交双曲线的右支于，两点，且关于轴的对称点为，的外心为，
(ⅰ)求外心的坐标用表示；
(ⅱ)求 的取值范围．
18.本小题分
盒子里有编号为，，，的个大小、形状、质地完全相同的小球，在盒子中连续有放回地取出两个小球，记为第次取出的小球的编号，
试计算比大的概率；
求的分布列和期望；
已知随机变量的期望具有线性可加性，即对于随机变量，，有，试分别计算，的期望．其中，表示，中的最小者，表示，中的最大者．
参考公式： ．
19.本小题分
已知集合，其中，集合定义运算，记为集合中元素的个数．
若，求的值；
若集合中的元素构成等差数列，且公差．
(ⅰ)当时，求的最小值；
(ⅱ)当时，求的最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：函数 ，求导得： ，
由题知 是极值点，故： ，
此时 ，且 ， ，函数单调递减， ， ，函数单调递增，所以 为 的极小值点， 满足题意；
原不等式 在 时恒成立，
整理得： ．
构造函数： ，
求导分析单调性： ，
故 在 单调递增，最小值 ，故 ．
16.证明：作平面，则，
因为，，
所以平面，
因为平面，
所以．
同理，
所以是底面三角形的垂心，
因为底面是正三角形，
所以是底面三角形的外心，即，
所以；
解：过，分别交，于，，连接，，
因为平面，所以，
又，，平面，故AC平面，
又平面，所以，
同理，
又，所以，
故AE，，可得，
所以，，，
由平面可知为直线与底面所成角，
设，则，，
因为，所以，所以，
所以．
设到平面的距离为，
因为，
所以，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为，
所以直线与平面所成角的余弦值为．
17.解：因为双曲线的离心率 ， ，所以 ，
因此 ，所以双曲线的方程为 ．
设 、 ，则 ．
因为 ，所以直线 的方程为： ，因此由 得 ，
所以 ．
因为直线 与双曲线的右支有两个不同交点，所以
即 ，即 ，解得 ．
设线段的中点为，则 ，因此线段的垂直平分线方程为： ．
因为 的外心是三边垂直平分线的交点，而 关于 轴的对称点为 ，
所以点是直线 与轴的交点，因此令 得 ，即 ．
(ⅱ)因为 ，所以 ．
由(ⅰ)知：
因此 ，
所以 ．
因为 ，所以 ，因此 ，即 的取值范围是 ．
18.解 样本总数为，因抽取有放回，与对称，
故
而，
代入得
当时，对应，概率为；
当 时，满足 的情况共有 种，
故概率为： ，
期望 ： ，
代入求和公式： ，
整理得：
由且，
结合期望线性可加性得：
联立解得： ，
．
19.解：集合，求的元素：
集合，
，交集，
得，
所以；
解：设的首项为，，，
所以
由于，，中的公共元素只有，即，
此时的最小，
此时，
则 ，
从而 ，
所以最小值为；
(ⅱ)集合中元素个数，
考虑的取值，可得中元素个数最多为个，
，中最多个元素，
因为中的元素为等差数列，要使最小，即最大，
由于是等差数列，中元素个数最多为个，
根据，
把，，代入
得：，
当时，，即的最小值为．
第1页，共1页

展开更多......

收起↑