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湖南省长沙市2025届高三下学期最后一卷
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数，则( )
A. B. C. D.
3.已知等比数列的各项均为正数，且当时有，则数列的前项和为( )
A. B. C. D.
4.已知某个群体中对某活动持满意态度的人数比例为，从该群体中随机抽取人，设这人中持满意态度的人数为，随机变量，则( )
A. B. C. D.
5.已知，，且，则( )
A. B. C. D.
6.已知，分别为椭圆的左、右焦点，为的上顶点，直线与交于另一点，且，则的离心率为( )
A. B. C. D.
7.已知点，，定义，两点间的曼哈顿距离，欧氏距离在平面直角坐标系中，已知点，点满足，点满足，则的最大值为( )
A. B. C. D.
8.已知函数和的定义域均为，且为偶函数，为奇函数，若，均有，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，为三个随机事件，且，，则下列结论正确的是( )
A. 若，则
B.
C. 若，互斥，则
D. 若，则
10.已知函数，则( )
A. 是周期函数 B. 的最小值是
C. 的图象有对称轴 D. 的图象有对称中心
11.已知数列的前项和为，，且，则下列结论正确的是( )
A. 若是递增数列，且，，成等差数列，则
B. 若，且是递增数列，是递减数列，则
C. 若，则存在数列，使得当时，
D. 若，则存在数列，使得当时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.过点，且在轴、轴上的截距的绝对值相等的直线共有 条
13.已知向量，，，则当，取得最大值时， ．
14.在空间直角坐标系中，点，，，已知若点在平面内，则，则在三棱锥内部不包括表面的整点横、纵、竖坐标均为整数的点的个数为 用数字作答
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，菱形的对角线，交于点，且，，为的中点，平面，且现沿将翻折至的位置，使得平面平面，且点和在平面的同侧．
Ⅰ证明：平面
Ⅱ求直线和平面所成角的正弦值．
16.本小题分
某公司是从事无人机特种装备的研发、制造与技术服务的综合型科技创新企业该公司生产的甲、乙两种无人机性能都很好，但对操控人员的水平要求较高已知在单位时间内，甲、乙两种无人机操作成功的概率分别为和，假设每次操作成功与否相互独立．
Ⅰ该公司分别收集了甲种无人机在个不同地点测试的两项指标，，数据如下表所示：
地点 地点 地点 地点 地点
试求与之间的相关系数，并利用说明与的线性相关程度若，则线性相关程度较高，否则线性相关程度不高
Ⅱ操作员连续进行两次无人机的操作，在初次操作时，随机选择这两种无人机中的一种，若初次操作成功，则第二次继续使用该种无人机，若初次操作不成功，则第二次使用另一种无人机进行操作，求操作成功的次数的数学期望．
附：，．
17.本小题分
如图，动圆与半圆相切内切或外切，也与轴相切．
Ⅰ求动圆圆心的轨迹方程．
Ⅱ直线的斜率为，且与Ⅰ中所得的轨迹由左至右分别交于点，，，，是否存在满足若存在，求出的方程若不存在，请说明理由．
18.本小题分
若对于函数的定义域内的任意非零实数，，恒有，则称为区间上的“理想”函数已知函数，，，
Ⅰ若的图象在点处的切线经过坐标原点，求．
Ⅱ若是定义在上的“理想”函数，且，
(ⅰ)求的取值范围
(ⅱ)若当取最大值时，是定义在上的“理想”函数，求的取值范围．
19.本小题分
设是由个实数组成的行列的数表，其中每个数的绝对值均不大于，且所有数的和为记为的第行各数之和，，为的第列各数之和，，并记为，，，，，，，中的最小值．
表
表
Ⅰ设数表如表所示，求的值
Ⅱ设数表如表所示，求的最大值
Ⅲ给定正整数，对于所有的行列数表，求的最大值．
参考答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15解：Ⅰ证明，，
又平面平面，平面平面，
平面，又平面，．
又平面，平面，
平面．
Ⅱ由题及Ⅰ可知，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，，，
设平面的法向量为，则
令，可得
设直线和平面所成的角为，
则，
即直线和平面所成角的正弦值为．
16解：Ⅰ，，
，，
，
相关系数，
因为，所以与具有较强的线性相关关系．
Ⅱ设操作成功的次数为，则的所有可能取值为，，．
，
，
，
所以．
17解：Ⅰ设动圆圆心为，作轴于点．
若动圆与半圆外切，则，，
两边平方得，化简得．
若动圆与半圆内切，则，，
两边平方得，化简得．
综上，当动圆与半圆外切时，动圆圆心的轨迹方程为
当动圆与半圆内切时，动圆圆心的轨迹方程为．
Ⅱ假设满足题意的存在，可设的方程为．
依题意，可得与曲线交于，两点，与曲线交于，两点．
由与
消去整理得
与．
设，，，，
则，，，．
因为，，且，
所以，
即，
得，解得．
将代入方程，得，．
因为函数的定义域为，
所以假设不成立，即不存在满足题意的直线．
18Ⅰ由题可知，则，
又，所以的图象在点处的切线方程为，将代入，得．
Ⅱ由题可知．
当时，恒成立在上单调递减，又，故时，恒有，符合题意．
当时，，故存在，使得在上单调递增，
则，又，
故当，时，，不符合题意．
综上，实数的取值范围为．
由题可知，
令，，
则，
令，则，
因为当时，，当时，，
故即在上单调递减，在上单调递增，且当时，，．
当时，恒成立，在上单调递增，又，
故在上恒小于，在上恒大于，又且，
故在上，恒有，符合题意
当时，，必存在，使得，
则在上单调递减，在上单调递增，且，
当时，，
故存在，使得．
故在上恒小于，在上恒大于，
则当，时，，不符合题意．
综上，的取值范围为．
19解：Ⅰ由题可知，，，，
，．
Ⅱ先用反证法证明
若，则，同理可知，．
由题可知所有数的和为，即，，与题目条件矛盾，
易知当，时，，符合题意，的最大值为
Ⅲ对于给定的正整数，任给数表如下：
任意改变的行次序或列次序，或把中的每个数均换成它的相反数，记所得数表为，则．
所以不妨设，且，
由的定义知，，
又因为，
所以
．
所以．
例如对于下面的数表
则．
综上可知，的最大值为．
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