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陕西省汉中市汉台区2025届高三数学二模试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数满足，则在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.年全民健身运动的主题“全民健身与奥运同行”，为了满足群众健身需求，某健身房近几年陆续购买了几台型跑步机，该型号跑步机已投入使用的时间单位：年与当年所需要支出的维修费用单位：千元有如下统计资料：
根据表中的数据可得到线性回归方程为，则( )
A. 与的样本相关系数
B.
C. 表中维修费用的第百分位数为
D. 该型跑步机已投入使用的时间为年时，当年所需要支出的维修费用一定是万元
4.向量，，且，则( )
A. B. C. D.
5.若是第二象限角，，则( )
A. B. C. D.
6.已知等比数列满足，，记为其前项和，则( )
A. B. C. D.
7.已知直线过抛物线：的焦点，且与抛物线交于，两点，则以线段为直径的圆的面积为( )
A. B. C. D.
8.若满足，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，则( )
A. B.
C. ， D. ，
10.掷一枚质量均匀的骰子，记事件：掷出的点数为偶数；事件：掷出的点数大于则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D.
11.棱长为的正方体，是正方形内包括边界一点，下列结论正确的有( )
A. 三棱锥的体积为定值
B. 若点在线段上，则异面直线与所成角为定值
C. 若点在线段上，则的最小值为
D. 若，则点轨迹的长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线：与：平行，
则与间的距离为 ．
13.图中平行四边形有______个用数字作答．
14.已知，函数，若，使得关于的不等式成立，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，，，分别是角的对边，已知．
若，求实数的值；
若，求面积的最大值．
16.本小题分
设数列的前项和为，若，．
证明：数列是等差数列；
求．
17.本小题分
已知函数．
求曲线在点处的切线方程；
设函数，求在区间上的最大值和最小值．
18.本小题分
如图，在三棱柱中，平面，，，，分别为，，，的中点，，．
求证：平面；
求二面角的余弦值；
证明：直线与平面相交．
19.本小题分
已知椭圆的长轴长为，离心率为．
求椭圆的方程；
若椭圆上点处的切线方程是，
过直线：上一点引的两条切线，切点分别是、，求证：直线恒过定点；
是否存在实数，使得，若存在，求出的值，若不存在，说明理由．
参考答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15解：由及，可得，
又由，可得，
则由余弦定理，可得，
解得，即实数的值为；
因为，
根据余弦定理得，
所以，即，
当且仅当时等式成立，
故，
当且仅当等号成立，
即所求面积的最大值是．
16证明：，
当时，，
两式相减得，
又
，
故，且，
所以数列是以为首项，公差为的等差数列．
解：由知，
所以．
17解：因为函数，所以，
所以导函数，那么，
所以函数在处的切线方程为，即．
因为
所以导函数，
令，则在上恒成立，且仅在处等号成立，
所以函数在上单调递减，
所以，
所以导函数且仅在处等号成立，
所以函数在上单调递减，
所以，．
18解：证明：，分别是，的中点，
，
平面，
平面，
又平面，
，
，是的中点，
，
又平面，平面，
平面；
由可知，，，平面，
又平面，，
以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，
，，
设平面的法向量为，
则，即，令，可得，
又，，
且，平面，平面，
平面，
为平面的一个法向量，
，，
由图形可知，二面角为钝二面角，
二面角的余弦值为；
证明：，，
，
，
与不垂直，
与平面不平行，
又平面，
与平面相交．

19解：由题意可知：，
所以，
所以，
所以椭圆的方程为；
证明：设，，
，
由题设可知：，
又因为，经过点，
所以，
所以，均在直线上，
即：，
由，解得，
所以直线过定点；
设实数存在，因为，
所以，
当直线斜率不存在时，此时：，
由，解得，
所以，
所以，
当直线斜率存在时，
，
联立，
可得，
所以，
所以，
综上可知，存在满足条件．
第1页，共1页

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