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辽宁省名校联盟2025届高三数学调研试卷(五)
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，且，则( )
A. B. C. D.
3.已知函数且在区间上单调递增，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.已知，且，则( )
A. B. C. D.
5.已知复数，分别满足，，则的最大值为( )
A. B. C. D.
6.在直三棱柱中，，，，为棱的中点，则点到平面的距离为( )
A. B. C. D.
7.如图，正方形的边长为，取正方形各边的四等分点，得到第个正方形，再取正方形各边的四等分点，得到第个正方形，依此方法一直进行下去，若从第个正方形开始它的面积小于第个正方形面积的，则 参考数据：
A. B. C. D.
8.已知为双曲线的右顶点，为上一点，关于轴的对称点为，，，的面积为，则的焦距为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某寄宿制学校为调查该校学生一天内在食堂的消费情况，随机抽取了名学生的消费金额作为样本，得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是( )
A.
B. 这名学生消费金额的众数为
C. 这名学生消费金额的平均数为
D. 为了解学生消费金额较低的原因，从消费金额低于元的学生中用分层随机抽样的方法随机抽取人座谈，则应抽取消费金额在区间内的学生人
10.科学记数法是将一个正数表示成，，的计数方法，显然，其中叫做的首数，记为，叫做的尾数，记为，则( )
A. B.
C. D.
11.若函数的图象上存在无数个点，使得在这无数个点处的切线重合，则称为“共切线函数”，则下列函数中是“共切线函数”的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知圆锥的底面半径为，体积为，用平行于圆锥底面的平面截圆锥，若截得的圆台体积为，则该圆台的表面积为______．
13.若函数在区间内恰有两个零点，则的取值范围为______．
14.已知椭圆的右焦点为，，为上两个不同的点，为坐标原点，，则的离心率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列的前项和为，且满足，，记．
求证：是等差数列；
若，求证：．
16.本小题分
如图，在三棱锥中，侧面是边长为的等边三角形，底面是以为斜边的等腰直角三角形，，．
当时，求证：平面平面；
若直线与平面所成角的正弦值为，求的值．
17.本小题分
某商场开业期间为鼓励顾客消费，积极为顾客办理会员卡，办理了会员卡的顾客购物时能享受一定的优惠为统计顾客办理会员卡的情况，商场采用随机抽样的方法统计了名开业当天的顾客的办卡情况，得到如下列联表：
性别 办理会员卡 未办理会员卡 合计
男
女
合计
依据小概率值的独立性检验，能否认为办理会员卡与顾客的性别有关？
该商场给持有会员卡的顾客设置了“石头、剪刀、布”游戏环节，游戏中每名顾客胜、负、平的概率均为，商场根据游戏结果设置了两种奖励方案，持卡会员只能自主选择其中一种方案参加游戏，且只能参加一次游戏．
方案一：两名持有会员卡的顾客间进行一次游戏对决，每局比赛中胜者积分，败者积分，出现平局时双方各积分，出现连胜局时，胜者额外奖励分，先积满分者获胜，比赛结束，胜者奖励元，败者无奖励；三局比赛后，没有人积够分或同时积够分，比赛结束，游戏双方平分元奖励．
方案二：两名持有会员卡的顾客间进行一次游戏对决，一局比赛中胜者奖励元，败者无奖励，若出现平局，双方均无奖励比赛共进行三局，当出现连胜局，但未出现连胜局时，胜者额外奖励元；当出现连胜局时，胜者额外奖励元．
(ⅰ)顾客小李参加了方案一的游戏，求在小李获胜的情况下，比赛出现一局平局的概率；
(ⅱ)从节省资金的角度考虑，商场希望持有会员卡的顾客选择哪种奖励方案．
附：，其中．
18.本小题分
已知函数．
求的单调区间；
若在区间内有最小值，求的取值范围；
若关于的方程有两个不同的解，，求证：．
19.本小题分
抛物线：的焦点为，为上一点，的纵坐标为，点在轴上，轴，线段的中点为，且轴．
求的方程；
已知，，为上三个不同的点，点在第一象限．
(ⅰ)若点在原点，，，点的横坐标满足，求．
(ⅱ)在中，内角，，所对的边分别为，，，且满足，，的重心在轴上，求点的坐标．
参考答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15证明：已知数列的前项和为，且满足，，记，
由，得，
即，
因为，所以，
所以，
由，得，
整理得，
即，
由得，
所以是公差为的等差数列；
因为，所以，
即，
所以
，
则即可得证．
16解：证明：在三棱锥中，侧面是边长为的等边三角形，
底面是以为斜边的等腰直角三角形，，．
当时，由题意得，
，，．
又，，，平面，
平面，
平面，．
，为的中点，，
又，，平面．
平面．
平面平面平面．
设，分别为，的中点，连接，．
则，．
又平面，，
平面，
又平面，所以．
以为坐标原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
，
即，．
设平面的法向量为，
则
令，则．
设直线与平面所成角为，
则，，
整理得，解得或．
，．
17解：零假设为：办理会员卡与顾客的性别无关，
则，
依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，因此可以认为成立，即认为办理会员卡与顾客的性别无关；
记小李在第局获胜为事件，在第局打平为事件，小李获胜为事件，三局中出现一局平局为事件，
则
，
，
所以，
即在小李获胜的情况下，比赛出现一局平局的概率为；
(ⅱ)方案一中，一次游戏商场需支付奖金元，
设方案二中一名持卡会员一次游戏获得的奖金为随机变量，
由题意可知，的可能取值为，，，，，
，
，
，
，
，
所以的分布列为：
所以，
所以方案二中一次游戏商场需支付奖金为，
所以从节省资金的角度看，商场希望持有会员卡的顾客选择方案一．
18解：的定义域为，，
当时，，
所以的单调递减区间为，无单调递增区间；
当时，，随的变化情况如下表所示：
所以的单调递减区间为，单调递增区间为．
综上，当时，的单调递减区间为，无单调递增区间；
当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；
当时，，
所以在区间内单调递减，无最小值，不合题意，
当时，，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以在处取得最小值，
当时，，
所以在区间内单调递增，无最小值，不合题意，
综上的取值范围为；
证明：不妨设，
由题意得，消去得，
设，代入上式得，
，
下证，
即证，
设，则，
令，则，
所以在区间内单调递增，即，
所以在区间内单调递增，即，
所以，所以，
因为，，
所以．

19解：将代入，得，因此，
因此，所以，
因此：；
设，，那么，
由于，因此，
所以，
又因为的中点为，因此，，
根据，得，与联立可得．
又因为，那么，
令函数，那么导函数，
设方程的两根分别为，，
可得，，
因此函数在区间内单调递增，在区间内单调递减，
又因为，，即，
因此；
(ⅱ)根据，可得，
所以，所以，
所以，因此，
又因为，因此，因此，
因此，
所以，因此，
因此三角形为等腰三角形，
设重心，，，，的中点为，
那么根据，可得，，
那么，
根据，即，可知，
因此，所以，所以，
因此，
那么，
因此直线为，即，
联立直线和抛物线方程可得，化简得，
根据韦达定理可得，，
所以，
由，得，解得，
所以，
故点的坐标为．

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