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江西省九江市2025届高三数学一模试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数，则( )
A. B. C. D.
3.已知角的终边在直线上，则( )
A. B. C. D.
4.新华社北京年月日电，中共中央党史和文献研究院编辑的习近平同志论教育，由中央文献出版社出版，在全国发行这部专题文集，收入习近平同志关于教育的重要文稿篇九江市教育局准备了个相关问题含问题到某校调研教职员工的学习情况，从该校随机抽取了名教师，每名教师相互独立地随机抽取个问题并作答，且每个问题被抽取的可能性相等记表示抽到问题的教师人数，则( )
A. B. C. D.
5.已知向量，满足，且，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
6.将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称，则的值可能是( )
A. B. C. D.
7.在棱长为的正方体中，点在正方体内包含边界运动若直线与所成角为，则动点所围成的图形的面积是( )
A. B. C. D.
8.定义在上的函数满足：
对任意，都有；
的图象关于直线对称；
，．
则下列说法正确的是( )
A. 是奇函数 B. 是偶函数
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某校高三年级第一次联考后，为分析该年级名学生的物理学习情况，通过分层抽样的方法对该年级的名学生的物理成绩进行统计，整理得到如图所示的频率分布直方图则( )
A.
B. 估计该年级学生物理成绩的均值为
C. 估计该年级学生物理成绩的中位数为
D. 估计该年级物理成绩在分及以上的学生人数为
10.已知函数，，则下列说法正确的是( )
A. 是偶函数 B. 有个零点
C. 的最大值为 D. 的最小值为
11.天文学家在研究某行星时，发现其运行轨道与图中曲线极其相似已知过坐标原点，且上的点到与两点的距离之积为常数，则下列说法正确的是( )
A.
B. 上点的纵坐标的最大值为
C. 若双曲线与交于点，则的面积为
D. 若直线与有三个交点，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数则 ______．
13.已知抛物线：，：，过点的直线与及自上而下依次交于，，，四点，则的最小值为______．
14.如图，有一个触屏感应灯，该灯共有个灯区，每个灯区都处于“点亮”或“熄灭”状态，触按其中一个灯区，将导致该灯区及相邻上、下或左、右相邻的灯区改变状态．假设起初所有灯区均处于“点亮”状态，若从中随机先后按下两个不同灯区，则灯区最终仍处于“点亮”状态的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知，．
求；
若，求的面积．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，平面，，分别为线段，的中点，．
求证：平面；
求二面角的余弦值．
17.本小题分
已知椭圆：的左右焦点为，，，，是椭圆上不同的三点，四边形是边长为的正方形．
求椭圆的标准方程；
在轴上是否存在一点，使得为等边三角形？若存在，求的长；若不存在，请说明理由．
18.本小题分
已知函数，曲线在处的切线经过点．
求；
若，判断的单调性；
当时，，求的取值范围．
19.本小题分
已知是由不全相同的正整数组成的有穷数列，其前项和为，，集合，中元素个数为，将中所有元素取出，并按从小到大排列，记为数列若，则称数列为数列．
若，，写出一个数列；
若是公比为偶数的等比数列，证明：为数列；
若数列是等差数列，求的最小正整数．
参考答案
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15解：因为，，
所以由余弦定理得：，
又因为所以；
由正弦定理得：，
所以，
由，得，解得或舍去，
所以．
16解：证明：在菱形中，，知为正三角形，
又为线段的中点，则，即，
平面，平面，
，又，，平面，
平面，又平面，
，，为线段的中点，
，又，，平面，
平面；
如图，分别以直线，，为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，
设为平面的法向量，
由得
令，则，，
即，
易知为平面的法向量，
，
由图可知二面角为锐二面角，
故其余弦值为．
17解：四边形是边长为的正方形，，
由对称性可知，，为短轴端点，
，，，
椭圆的标准方程为．
假设在轴上存在一点，满足条件．
由对称性，不妨设，设直线的方程为，
代入椭圆方程中，整理得，
，，
设线段中点为，则，，
线段的中垂线方程为，
为等边三角形，在线段的中垂线上，令，得，即，
，
又，，解得，
在轴上存在一点，使得为等边三角形，且．

18解：，
由题意可得，，切线斜率，
又切线经过点，
，
解得；
由知，，
令，则，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
，
在上单调递增；
由题意得对任意的成立，
当时，；
当时，原不等式等价于，
设，，
则，
由知，当时，恒成立，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
则，
故的取值范围是．
19解：若，则，，，，，
此时，，，，，，，
，
，，此时，
故满足条件的数列有：，，，或，，，，或，，，，，写一个即可．
证明：为等比数列，且，则公比，
为偶数，
为偶数，
，且恒为奇数此时，，，
而，故，
，
，
故为数列．
设数列的公差为，则，当时，
，
，
，
又，
，
的最小正整数为，
当，时，设的前项和为，则，
，
，
，
的最小正整数为，
综上所述，的最小正整数为．
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