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四川省资阳市2025届高三数学模拟试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合，集合，则等于( )
A. B. C. D.
2.已知复数，则( )
A. B. C. D.
3.函数的最小正周期和最大值分别为( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
4.若直线与双曲线：的一条渐近线平行，则实数的值为( )
A. B. C. D.
5.如图，将底面半径为高为的圆锥截去体积为的锥尖，剩余圆台的侧面积为( )
A.
B.
C.
D.
6.渐进式延迟退休方案是指采取较缓而稳妥的方式逐步延长退休年龄对于男职工，新方案将延迟法定退休年龄每个月延迟个月，逐步将男职工的法定退休年龄从原六十周岁延迟至六十三周岁如果男职工延迟法定退休年龄部分对照表如下表所示：
出生时间 年月月 年月月 年月月 年月月
改革后法定退休年龄 岁
个月 岁
个月 岁
个月 岁
个月
那么年月出生的男职工退休年龄为( )
A. 岁个月 B. 岁个月 C. 岁个月 D. 岁
7.设的内角，，的对边分别为，，，且，若角的内角平分线，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知，定义运算@：@，其中是函数的导数若@，设实数，若对任意，恒成立，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.给定两个不共线的空间向量与，定义叉乘运算：规定：为同时与，垂直的向量；，，三个向量构成右手系如图；如图，在长方体中，
则下列结论正确的是( )
A.
B.
C.
D.
10.周髀算经中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为、，其中小正方形的面积为，大正方形面积为，则下列说法正确的是( )
A. 每一个直角三角形的面积为
B.
C.
D.
11.如图，某工艺品是一个多面体，，，点，，，，两两互相垂直，且，位于平面的异侧，则下列命题正确的有( )
A. 异面直线与所成角的余弦值为
B. 当点为的中点时，线段的最小值为
C. 工艺品的体积为
D. 工艺品可以完全内置于表面积为的球内
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数其中为自然对数的底数的反函数为，则 ______．
13.数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美在平面直角坐标系中，曲线：就是一条形状优美的曲线，曲线围成的图形的周长是为______；若是曲线上任意一点，的最小值为______．
14.九宫格的起源可以追溯到远古神话中的洛书，洛书上的图案正好对应着从到九个数字，并且纵向、横向、斜向三条线上的三个数字的和这个和叫做幻和都等于，即现代数学中的三阶幻方根据洛书记载：“以五居中，五方皆为阳数，四隅为阴数”，其意思为：九宫格中位于居中位置，四个顶角为偶数，其余位置为奇数如图所示，若随机填写一组幻和等于的九宫格数据，记事件“”，则的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某消费者协会为了解年当地某市网购消费情况，随机抽取了人，对其年全年网购消费金额单位：千元进行了统计，所统计的金额均在区间内，并按，，，分成组，制成如图所示的频率分布直方图．
求图中的值，并估计居民网购消费金额的中位数；
若将全年网购消费金额在千元及以上者称为网购迷，结合图表数据，补全下面的列联表，并判断能否依据小概率值的独立性检验认为样本数据中网购迷与性别有关．
男 女 合计
网购迷
非网购迷
合计
附，其中．
16.本小题分
已知函数且，当时，．
求实数的值；
若为的极小值，求实数的取值范围．
17.本小题分
如图，已知正四棱锥的体积为，高为．
求平面与平面的夹角的余弦值；
现有一蚂蚁从点处等可能地沿各条棱向底面匀速移动，已知该蚂蚁每秒移动个单位，求秒后该蚂蚁与点的距离的分布列及期望．
18.本小题分
已知正项数列满足，，记，．
证明是等差数列；
求数列的通项公式；
证明．
19.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，，经过点且倾斜角为的直线与椭圆交于，两点其中点在轴上方连接，将平面沿轴向上折叠，使二面角为直二面角，折叠后，在新图形中对应点记为，．
当时，
求三棱锥的外接球的表面积；
求三棱锥的体积最大值；
是否存在，使得折叠后的周长为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1
2
3
4
5
6
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8
9
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13
14
15解：根据频率分布直方图所有小矩形的面积为，
可得，
解得，
直方图中从左到右组的频率分别为，，，，，，
可得网购金额的中位数位于区间内，
设中位数为，
则，解得，
故居民网购消费金额的中位数为元．
根据频率分布直方图得样本中网购迷的人数为，
列联表如下：
男 女 合计
网购迷
非网购迷
合计
零假设为：网购迷与性别无关
，
依据小概率值的独立性检验，有充分证据推断不成立，
即可以依据小概率值的独立性检验认为样本数据中网购迷与性别有关．
16解：当时，，
因为，且，
所以的最小值为
所以
解，即，
若，，
当，，单调递减；当，，单调递增，
所以时，取得极小值，也是最小值，即，
所以；
由知，
因为，
所以函数为偶函数，时，，
若，则，令，
则，当且仅当时取等号，
所以在上单调递增
所以，在上单调递增，
根据偶函数的对称性可得，在上单调递减，
故为极小值，故符合题意．
若，令，
，
令，解得，所以
因为，，
当时，，在上单调递减，
所以在上均小于，
所以在上单调递减，而，故不合题意，
综上，的取值范围为．
17解：设底面边长为，
此时，
解得，
连结交于点，作，垂足为点，连结，
因为平面，平面，
所以，
因为，，，平面，
所以平面，
因为平面，
所以，
因为，且，，平面，
所以平面，
因为平面，
所以，
所以为二面角的平面角，
因为，，
所以，
则是等边三角形，，
所以，
此时，
则平面与平面的夹角的余弦值为；
易知蚂蚁从点沿，，，的概率均为，
秒后蚂蚁移动了个单位，侧棱长为，
所以若沿移动，蚂蚁到达点，
若沿，蚂蚁到达点，
若沿，蚂蚁到达点，
若沿蚂蚁到达点，
因为，，
所以得所有可能取值为，，，
所以；；，
则的分布列为：
故E．
18解：证明：因为，
所以，即，即，
所以数列为等差数列；
设等差数列的公差为，
因为，所以，则，
所以，
所以，
则，解得，所以；
证明：因为，
所以，
又因为．
19解：当倾斜角为时，为等边三角形，边长为，
外接圆半径，
假设，则，
外接圆半径，
三棱锥外接球半径为，
三棱锥的外接球的表面积为
设直线方程为，，，，，
联立，
得，
，
，
平面平面，
，
．
如图建系，翻折前原先，
翻折后，，，
，
由，，
，
，
，
联立，
，，
存在，使得．
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