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四川省绵阳市2025届高三数学二诊试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，则( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，则集合中元素的个数为( )
A. B. C. D. 不确定
3.直三棱柱中，，，则与所成的角的大小为( )
A. B. C. D.
4.若直线：与直线：平行，则这两条直线间的距离为( )
A. B. C. D.
5.已知等比数列的前项和为，若，则公比( )
A. B. C. D.
6.已知过点的直线与抛物线交于点，两点，若，的纵坐标分别为，，则( )
A. B. C. D.
7.已知正四棱台中，，可在该正四棱台中放入的最大球的体积为，则点到平面的距离为( )
A. B. C. D.
8.已知是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，若函数的值域为，则函数的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于函数，，则( )
A. 与的图象有相同的对称轴
B. 与有相同的最小正周期
C. 将图象向右平移个单位，可得到图象
D. 图象与图象在上只有一个交点
10.设函数，则下列说法正确的是( )
A. 一定存在单调递减区间
B. 存在，，使得没有最值
C. 若既有极大值，又有极小值，则
D. 令，，当时，
11.已知圆：，双曲线：的左，右焦点分别为，，为双曲线右支上的一点，直线的斜率恰好为该双曲线的离心率，且为直角三角形，则( )
A. 的值唯一 B.
C. D. 的渐近线与共有个公共点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，则 ．
13.已知，，则 ．
14.在几何学的世界里，阿基米德体以其独特的形状和美丽的对称性吸引了无数数学爱好者和科学家，它是一种半正多面体，其中每个面都是正多边形，且各个面的边数不全相同如图，棱长为的半正多面体是将一个棱长为的正四面体切掉个顶点所在的小正四面体后所剩余的部分，已知，，，为该半正多面体的四个顶点，点为其表面上的动点，且平面，则点的轨迹长度为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知内角，，的对边分别为，，，且．
若，求；
若，，求．
16.本小题分
已知函数．
若时，求曲线在处的切线方程；
若时，在区间上的最小值为，求实数的值．
17.本小题分
已知数列是公差大于的等差数列，数列的前项和为．
求数列的通项公式；
设．
试写出，，的值；
求数列的前项和．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，是边长为的等边三角形，，点为的中点，且，．
求证：；
若二面角的平面角的余弦值为，求三棱锥的体积；
求直线与平面所成角的正弦值的最大值．
19.本小题分
如图，已知面积为的矩形，与坐标轴的交点是椭圆：的四个顶点，且该椭圆的离心率为．
求椭圆的标准方程；
为坐标原点，过下顶点的直线与轴相交于点不同于，与直线相交于点，与椭圆相交于点，直线与直线相交于点．
证明：；
设线段的中点为为椭圆上的两点，且直线，与椭圆都仅有一个公共点，，垂足为探究：是否存在定点，使得为定值若存在，求点的坐标以及此定值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15解：已知，由正弦定理可得，
因为，所以，此时，
在直角中，，所以，
那么，移项可得，
根据正切函数的定义，因为，且是三角形内角，所以，从而得出；
已知，，且，所以，
根据余弦定理，将代入可得，
化简可得，
将，代入，得到，
即，因为，所以．
16解：当时，且，
所以，
故切线方程为，即；
，
由，存在，使得，即，
当时，，此时单调递减；
当时，，此时单调递增，
故，
，
故在单调递减，则，
故．
17解：设的公差为，
令，得，故即，
令，得，故，即，
由于，则解得，
故数列的通项公式为；
当，故，
时，，
所以；
由题意可知：，
当时，，则，
当时，，则，，
当时，，则，，
所以
，
因此．
18解：
证明：如图，取的中点，延长交于点，是边长为的等边三角形，则，
在中，已知，且满足，
根据勾股定理，， 则为中点，
又为的中点，则 ，，则，
又平面，，则平面，
平面，所以；
由可知平面，
又因为平面，所以平面平面，
以为坐标原点建立空间直角坐标系，
为的中点，且，可设点，
已知，，
设平面的法向量为，由，不妨令，
则平面的一个法向量为，
又平面的一个法向量为，
根据向量夹角公式
又因为，则，解得，
因为为的中点，所以点到平面的距离为，
在中，满足，
所以的面积为，
根据三棱锥体积公式，三棱锥的体积；
因，则直线与平面所成角即为直线与平面所成角，
设该角为，已知，则，
根据线面角的正弦值公式，
，
因为，故，
根据基本不等式得，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为，
即直线与平面所成角正弦值的最大值为．

19解：由题意可得，解得，
故椭圆方程为；
设，则，故，
，
设直线的斜率分别为，
则，
故，
证明：由于，则，
直线的方程为令则，故
所以
直线的方程为令则，故，
所以，
，
，
故，即；
存在定点，使得为定值，理由如下：
设，
当过椭圆上点的有斜率时，设直线：，
联立与椭圆方程，可得，
由于直线与椭圆只有一个公共点，故，
化简得，
所以，代入到可得，
所以，
从而直线：，即
当过的直线斜率不存在且与椭圆只有一个交点时，：也满足，
同理可得当过且与椭圆只有一个交点的直线方程为，
由于两直线均经过点，故，
故直线方程为：，
由可知的方程为令则，故
又，
则的中点即，
直线方程为，
即，
令，解得，
故直线恒过点，又，
故在以为直径的圆上，即，使得为定值．

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