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云南省昭通市2025届高三数学一诊试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量，是单位向量，且，则为( )
A. B. C. D.
4.一组数据按从小到大的顺序排列为，，，，，，若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的第百分位数是( )
A. B. C. D.
5.直线：与圆：的公共点的个数为( )
A. B. C. D. 成
6.若函数，满足，若函数存在零点，则( )
A. B. C. D.
7.如图所示，一个正四棱台的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧面的面积为，则该正四棱台的高为( )
A. B. C. D.
8.已知函数在处取得极值，则( )
A. B. 是的极大值点
C. D. 的最大值为
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数的部分图象
如图所示，则下列说法正确的是( )
A. 的最小正周期为 B.
C. 是函数的一个对称中心 D. 在区间的最小值为
10.已知，，，动点满足与的斜率之积为，动点的轨迹记为，过点的直线交于，两点，则下列说法正确的是( )
A. 的轨迹方程为
B. 的最大值为
C. 的最小值为
D. 过点的直线垂直交曲线于，，则的周长为
11.函数的定义域为，在区间上单调递增，且满足，函数为奇函数，下列结论正确的是注( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.数列满足为正整数，且与的等差中项是，则首项 ．
13.已知，则 ______．
14.如图，算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，果下五珠，每珠作数一、算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠，例如，在十位档拨一颗上珠和一颗下珠，个位档拨一颗上珠，则表示数字若在个、十、百、千、万位档中随机选择一档拨一颗下珠，再随机选择两个档位各拨一颗上珠，则可能出现的数字个数有______个
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角，，所对应的边分别为，，，已知，
若，求的面积；
若，求的周长．
16.本小题分
已知函数．
若，求函数的单调区间；
若对于任意，都有成立求的取值范围．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，，分别为，的中点．
求证：平面；
若，，，求直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
为提升大学生环保意识，率固树立和践行绿水青山就是金山银山的理念，某生物多样性保护与绿色发展基金会举办了“年大学生环保知识竞赛”，为了了解大学生对相关知识的掌握情况，随机抽取名大学生的竞赛成绩单位：分，并以此绘制了如图的频率分布直方图．
从竞赛成绩在内的学生中随机抽取名学生，用表示这名学生中恰有名学生竞赛成绩在的概率，其中，，，，以样本的频率估计概率．
从这名学生中任取一人，求这个学生的竞赛成绩在的概率；
当最大时，求．
若学生中男生人，其成绩平均数记为，记方差为，女生为人，其成绩平均数为，记方差为，把总体样本数据的平均数记为，方差记为，证明：．
19.本小题分
从双曲线的一个焦点出发的光线，经过双曲线的反射后，反射光线是散开的，反射光线的反向延长线过另一个焦点，它们就好像是从另一个焦点射出的一样，双曲线的这一光学性质也被人们广范应用如图，已知双曲线：，为坐标原点，，分别为左、右焦点，，分别为左、右顶点，由其光学性质知，由发出的光线经双曲线上一点反射后，反射光线的反向延长线过点，连接交双曲线于，也是一个反射点，连接交双曲线于，则也是一个反射点，再连接，交双曲线于，则也是一个反射点，，由各反射点连线得到折线设第个反射点为求直线的斜率；
证明：当为偶数时，直线与直线的斜率之积为定值；
当为奇数时，过点向轴作垂线，垂足为，记与面积的比值为，求．
参考答案
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15.解：由余弦定理得，
则，解得，则，
则；
因为，由正弦定理得，
又，解得，，
由，可得，
故或，则或，
由正弦定理得：，
若，则，，
故；
若，则，，
故．
16.解：若，
则，
，
令，可得或；
令，可得，
所以函数的单调增区间为和，单调减区间为．
因为对于任意，都有成立，
所以对于任意，都有成立，
即对于任意，，
因为，所以对于任意，，
设，其中，
则，
因为，所以，
当时，，因此在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以，即，
故的取值范围为．
17.解：证明：取中点，连接，，
在中，，分别为，的中点，
，，
在菱形中，，，
，，四边形为平行四边形，
，
平面，平面，
平面．
平面，，平面，
，，
，，
在菱形中，，
为中点，，
以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，

在正中，，，，，
，，，
，，，
设平面的法向量为，
则，取，得，
设直线与平面所成角为，
则直线与平面所成角的正弦值为：
，．
18.解：记事件为抽取的任一学生的竞赛成绩在内，
记事件为抽取的任一学生的竞赛成绩在内，
从这名学生中任取一人，
这名学生的竞赛成绩在内的概率为．
用表示这名学生中抽取的学生的成绩在的人数，
经分析服从二项分布，，
由，得
，化简得，，
，化简得，
解得，
又因为，所以即当时，最大；
证明：根据方差的定义，记男生的成绩为，，，
记女生的成绩为，，，，则总体的方差为：
，，
由，
同理，，
则，同理，
．
19.解：因为，，
联立，
解得或舍去，
则，
已知，则；
证明：当为偶数时，取连续个反射点，，，
则直线的方程为与双曲线交于点，
联立，消去得，
由韦达定理得，
两式相除，得，
可得，
故，
将代入直线的方程，
得，
所以双曲线与直线的另一个交点为，
同理，双曲线与直线的另一个交点为，
故，
即，
所以当为偶数时，直线与直线的斜率之积为定值；
当为奇数时，点在第二象限，设，
则，
由小题的结论知，，即，
所以，
可得，
两式相除，得，
即，
又因为，
故数列是首项为，公比为的等比数列，
可得，
将此式代入前面，得，
所以为奇数．
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