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湖南省永州市2025届高三数学二模试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数，则( )
A. B. C. D.
3.已知非零向量，满足，且，则与的关系是( )
A. 垂直 B. 共线 C. 夹角为 D. 夹角为
4.已知函数是上的增函数，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.设，分别是椭圆的左、右焦点，过点作轴的垂线交于，两点，其中点在第一象限，且若是上的动点，则满足是直角三角形的点的个数为( )
A. B. C. D.
6.正三棱台的上、下底边长分别为，，该正三棱台内部有一个内切球与上、下底面和三个侧面都相切，则正三棱台的高为( )
A. B. C. D.
7.已知数列满足，则下列说法正确的是( )
A. 所有项恒大于等于
B. 若，则是单调递增数列
C. 若是常数列，则
D. 若，则是单调递增数列
8.在平面直角坐标系中，，，，其中，，，则当面积最小时，( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设样本空间含有等可能的样本点，且，，，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
10.斜率为的直线与双曲线的两条渐近线交于，两点，与双曲线交于，两点，是线段的中点，则下列说法正确的是( )
A. 是双曲线两条渐近线所构成的“”形图象的方程
B. 也是线段的中点
C. 若过双曲线的焦点，则直线的斜率是
D. 若过双曲线的焦点，点的坐标为，则
11.已知的定义域为非零有理数集，且满足下面三个性质：
；
；
当时，，
其中．
下列说法正确的是( )
A. 若，，则
B. 恰有两个整数解
C. 若，，则，，中至少有两个相等
D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则 ______．
13.用红、橙、黄、绿四种颜色给一些大小相同的正四面体模具上色，要求每个正四面体四个面颜色各不相同我们规定：如果两个已上色的四面体，可以通过旋转将其中一个变得与另一个完全相同，则认为它们用了同一种上色模式那么不同的上色模式共有______种
14.在平面直角坐标系中，射线：，：，半圆：现从点向上方区域的某方向发射一束光线，光线沿直线传播，但遇到射线，时会发生镜面反射设光线在发生反射前所在直线的斜率为，若光线始终与半圆没有交点，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，，，．
求的外接圆半径；
若为锐角三角形，求周长的取值范围．
16.本小题分
如图，正方体的棱长为，点，分别在线段，上，且，．
若，证明：；
若，点，分别在直线，上，且，，求的取值范围．
17.本小题分
箱子里有四张卡片，分别写有数字，，，，每次从箱子中随机抽取一张卡片，各卡片被抽到的概率均为，记录卡片上的数字，然后将卡片放回箱子重复这个操作，直到满足下列条件之一结束：
第一次抽取的卡片上写的数字是；
设为大于等于的整数，第次抽取的卡片上写的数字大于第次抽取的卡片上写的数字例如，当记录的数字依次为，，，时，这个操作在第次结束．
若操作进行了次仍未结束，求前四次抽取的情况总数；
求操作在第次结束的概率．
18.本小题分
已知函数．
设直线与曲线交于点，求点纵坐标的最小值；
取遍全体正实数时，曲线在坐标平面上扫过一片区域，该区域的下边界为函数，求的解析式；
证明：当时，对任意正实数，附：
19.本小题分
在直角坐标系中，椭圆：经过点，短半轴长为过点作直线交于，两点，直线交轴于点，直线交轴于点，记直线，的斜率分别为和．
求的标准方程；
证明是定值，并求出该定值；
设点，证明上存在异于其上下顶点的点，使得恒成立，并求出所有满足条件的点坐标．
参考答案
1.
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10.
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13.
14.
15.解：由可得，
故，由于，故，
由余弦定理得，
由于，所以，
，根据解得，
所以的外接圆半径为．
由知，，，，
由正弦定理有，
所以
，
因为为锐角三角形，所以，解得 ，
所以，则，
所以，则．
所以周长的取值范围为．

16.证明：连接，，当，
则是的中点，是的中点，
所以，
因为面，面，所以，
所以；
解：以点为原点，方向为，，轴正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，
，所以，
所以，，所以，
又，设直线的方向向量为，
则由得，
取，又，
所以
，
由得，
易知在单调递减，单调递增，
所以，所以．
17.解：由题意，前四次抽取的情况有：
，，，，，，，，
，，，，，，，共有种；
设操作在第次结束的概率为，操作在第次未结束的概率为，
当时，，当时，，
接下来我们讨论操作进行了次，但是并没有结束的情形，
抽取的数字结构如下所示：
，
分别设序列中的，，的个数为，，，可知，
利用隔板法，可以知道对应情形的数量，操作如下：
令，，，即，
一共有种情形，
各情形概率均为，所以有，
当时，，
经检验，其对依然成立，即．
18.解：时，，
令，
当且仅当时等号成立，
所以点纵坐标的最小值为；
，
令，
则，
当，即时，，在上单调递增，
；
当，即时，由，
在上单调递减，在上单调递增，
．
综上所述，．
证明：由第问可知恒成立，所以只需证明即可．
若，构造，
则，
因为，所以在上恒成立，在上单调递增，
所以，
即在上恒成立；
若，，
因为，所以，
构造，
则．
令，
则，
所以在单调递增，
而，所以恒成立，
在单调递增，．
因为，即，
，
所以，
而，即证在上恒成立．
19.解：因为椭圆经过点，短半轴长为，
所以，
解得，
则的标准方程为；
将椭圆向右平移个单位，再向下平移个单位得：，
即，
设直线平移后的直线方程为：，
因为直线过点，
所以，
此时，
即，
可得，
所以，，
则；
根据角平分线性质，可得，
设，直线的方程为，
令，
解得，
同理得，
因为，
所以，
对等式两边同时平方并整理得，
即，
可得，
易知轨迹是一个定圆，
联立，消去并整理得，
解得或舍去．
综上所述，椭圆上存在点或使得恒成立．
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