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2024-2025学年湖北省荆州市松滋市贺炳炎中学高二（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，，则等于( )
A. B. C. D.
2.下列求导数的运算中正确的是( )
A. B.
C. D.
3.已知随机变量服从二项分布若，则( )
A. B. C. D.
4.的展开式中的系数为( )
A. B. C. D.
5.现有四所学校，每所学校出名教师参加学科比武大赛，现有名教师得奖，获奖教师中恰有名教师来自同一学校的有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
6.已知函数在上单调递增，则实数的最小值是( )
A. B. C. D.
7.已知条试题中有条选择题，甲无放回地依次从中抽取条题，乙有放回地依次从中抽取条题，甲、乙每次均抽取一条试题，抽出的条题中选择题的条数分别为，，，的期望分别为，，方差分别为，，则( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
8.已知实数，满足，则的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的有( )
A. 若随机变量的数学期望，则
B. 若随机变量的方差，则
C. 将一枚硬币抛掷次，记正面向上的次数为，则服从二项分布
D. 从男女共名学生中随机选取名学生，记选出女生的人数为，则服从超几何分布
10.下列说法中正确的是( )
A. 将个相同的小球放入个不同的盒子中，要求不出现空盒，共有种放法
B. 被除后的余数为
C. 若，则
D. 个朋友聚会，见面后每两个人握手一次，一共握手次
11.已知函数，则下列结论正确的是( )
A. 函数与轴有两个不同的交点
B. 函数既存在最大值又存在最小值
C. 若当时，，则的最大值为
D. 若方程有个实根，则
三、填空题：本题共3小题，共15分。
12.在在展开式中，不含的所有项的系数和为______用数值作答．
13.现有张卡片，分别写上数字，，，，，，从这张卡片中随机抽取张，记所抽取卡片上数字的最小值为，则 ， ．
14.已知当，不等式恒成立，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在二项式的展开式中，第项和第项的系数比为．
求的值及展开式中的常数项是第几项；
展开式中系数最大的项是第几项？
16.本小题分
某学校实行自主招生，参加自主招生的学生从个试题中随机挑选出个进行作答，至少答对个才能通过初试已知甲、乙两人参加初试，在这个试题中甲能答对个，乙能答对每个试题的概率为，且甲、乙两人是否答对每个试题互不影响．
试通过概率计算，分析甲、乙两人谁通过自主招生初试的可能性更大；
若答对一题得分，答错或不答得分，记乙答题的得分为，求的分布列及数学期望和方差．
17.本小题分
某校组织“一带一路”答题抽奖活动，凡答对一道题目可抽奖一次设置甲、乙、丙三个抽奖箱，每次从其中一个抽奖箱中抽取一张奖券已知甲箱每次抽取中奖的概率为，乙箱和丙箱每次抽取中奖的概率均为，中奖与否互不影响．
已知一位同学答对了三道题目，有两种抽奖方案供选择：
方案一：从甲、乙、丙中各抽取一次，中奖三次获得价值元的学习用品，中奖两次获得价值元的学习用品，其他情况没有奖励．
方案二：从甲中抽取三次，中奖三次获得价值元的学习用品，中奖两次获得价值元的学习用品，其他情况没有奖励；
通过计算获得学习用品价值的期望，判断该同学选择哪个方案比较合适？
若一位同学答对了一道题目他等可能的选择甲、乙、丙三个抽奖箱中的一个抽奖已知该同学抽取中奖，求该同学选择乙抽奖箱的概率．
18.本小题分
已知函数．
当时，求的单调区间；
讨论的单调性；
当时，证明．
19.本小题分
已知函数，．
求函数在点点处的切线方程；
当时，求函数的极值点和极值；
当时，恒成立，求的取值范围．
参考答案
1.
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4.
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10.
11.
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13.
14.
15.解：展开式的通项公式为，，，，，
则第项和第项的系数分别为，
所以，解得，所以通项公式为，
令，解得，所以常数项为第项；
设第项的系数最大，则，解得，
又，，，，所以或，
即系数最大的项是第项和第项．
16.解：甲在个试题中甲能答对个，
甲通过自主招生初试的概率，
又乙能答对每个试题的概率为，
乙通过自主招生初试的概率，
，
甲通过自主招生初试的可能性更大．
由题意可知，乙答对题的个数的可能取值为，，，，，，
且，
故的分布列为：


，
．
17.解：若选择方案一，设该同学获得学习用品的价值为元，
由题意可知，的所有可能取值为，，，
则，，，
所以；
若选择方案二，设该同学获得学习用品的价值为元，
由题意可知，的所有可能取值为，，，
则，，，
所以，
因为，
所以，
故选择方案一比较合适；
设“该同学抽取中奖”为事件，“选择甲、乙、丙抽奖箱”的事件分别记为，，，
则，，，
所以，
故．
18.解：当时，，
则，
令，则，
当时，；当时，，
的单调递增区间为，单调递减区间为．
由，
得，
当时，，，在上恒成立，
在上单调递增；
当时，令，解得，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减；
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
证明：由知，；
要证，只需证，即证；
设，则，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，；
又，，即．
19.解：由题，所以，
所以切线方程为：
由题时，，所以
所以；，
所以在单增，在单减，所以在取得极大值．
所以函数的极大值，函数无极小值
，
令，
，令，
若，，在递增，
在递增，，从而，不符合题意
若，当，，在递增，
从而，以下论证同一样，所以不符合题意
若，在恒成立，
在递减，，
从而在递减，，，
综上所述，的取值范围是．
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