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2024-2025学年黑龙江省哈尔滨师大附中高一（下）期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设复数满足，则的虚部为( )
A. B. C. D.
2.已知，表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
3.已知，，，则向量在方向上的投影向量为( )
A. B. C. D.
4.如图，的斜二测直观图为等腰直角三角形，其中，则的面积为( )
A.
B.
C.
D.
5.若为所在平面内任一点，且满足，则的形状为( )
A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形
6.在某个位置测得某山峰仰角为，对着山峰在地面上前进后测得仰角为，继续在地面上前进以后测得山峰的仰角为，则该山峰的高度为( )
A. B. C. D.
7.在三棱锥中，，，，点在平面上投影为，则三棱锥的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
8.如图，透明塑科制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器底面一边于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面五个命题：
有水的部分始终呈棱柱形；
没有水的部分始终呈棱柱形；
如图所示的四边形的面积为定值；
棱始终与水面所在平面平行；
当容器倾斜如图所示时，是定值其中所有正确命题的序号是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于，下列说法错误的是( )
A. 若，则
B. 若，则是等腰三角形
C. 若，，，则符合条件的有两个
D. 若，，则锐角周长的取值范围为
10.如图，正方体的棱长为，是侧面上的一个动点含边界，点在棱上，且，则下列结论正确的有( )
A. 沿正方体的表面从点到点的最短距离为
B. 保持与垂直时，点的运动轨迹长度为
C. 若保持，则点的运动轨迹长度为
D. 平面被正方体截得截面为等腰梯形
11.如图，为边长为的等边三角形以的中点为圆心，为半径作一个半圆，点为此半圆弧上的一个动点，则下列说法正确的是( )
A.
B.
C. 的最大值为
D. 若，则的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在正方体中，直线与所成的角是______．
13.中，，则 ______．
14.如图，圆锥的底面直径和高均是，过的中点作平行于面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的体积______；表面积为______．
四、解答题：本题共6小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知正方体的棱长为，，分别为，的中点，求异面直线与所成角．
16.本小题分
已知向量．
若，求及的值；
若与平行，求实数的值；
若与的夹角为，求实数的值．
17.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知．
求；
若，的面积为，求．
18.本小题分
如图，已知矩形，过点作平面，再过点作交于点，过点作交于点．
求证：；
若平面交于点，求证：平面．
19.本小题分
已知，角，，所对的边分别为，，，且，．
求角；
求的最大值，并求出此时的周长．
20.本小题分
如图所示，已知点是平行四边形所在平面外一点，，分别为，，的中点，平面平面．
判断直线与的位置关系并证明；
求证：平面；
在棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出点的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.或
14.
15.解：取中点，连接，，，
因为是中点，所以且，
所以四边形为平行四边形，故A，
所以异面直线与所成角即为直线与所成角，
由题意知，，
故在 中，由余弦定理得，
所以异面直线与所成角为．
16.解：当时，，结合，可得．
因为，所以；
根据，可得，
若与平行，则，解得；
根据题意，，，
若与的夹角为，则，
即，整理得，解得．
17.解：因为．
所以，
因为，所以，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以，因为，
所以，所以，解得；
由可知，
因为，的面积，解得，
由余弦定理可得，
所以．
18.证明：因为平面，平面，所以，
又因为，，
所以平面，
而平面，所以，
因为，，
所以平面，
因为平面，可得，
因为，，
所以平面，
因为平面，
所以；
因为平面，平面，所以，，
且，所以平面，
平面，
所以，
由可得平面，平面，
所以，又因为，，平面，
所以平面．
19.已知，角，，所对的边分别为，，，且，．
则，
即，
又，
即，
又，
则；
由正弦定理及，可得：，，
则
，其中，，
又，
则当，即时，取最大值，
此时，，
则此时的周长为．
20.解：直线与是平行关系，
证明如下：
在平行四边形中，可得，
因为平面，平面，
所以平面，
因为平面平面，平面，
所以；
证明：取的中点，连接，，
因为，分别为，的中点，
可得，，，，
所以，，
所以四边形为平行四边形，所以，
平面，平面，
所以平面；
解：棱上存在点，使得平面平面，
取的中点，连接，，，
，分别为，的中点，可得，，，
所以与相交，
，平面，，平面，，平面，
可得平面平面，
所以为的中点满足条件．
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