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2024-2025学年海南省海口市海南中学高一（下）期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数满足，则( )
A. B. C. D.
2.若是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是( )
A. B.
C. D.
3.已知向量，，若，则实数( )
A. B. C. D.
4.下列命题中为真命题的是( )
A. 圆柱的侧面展开图是一个正方形
B. 用一个平面去截圆锥，圆锥底面和截面之间的部分为圆台
C. 有两个面互相平行，其余各面都是四边形的多面体是棱柱
D. 球体是旋转体的一种类型
5.已知，是两个单位向量，且向量在向量上的投影向量为，则向量，的夹角( )
A. B. C. D.
6.已知复数满足，则最大值为( )
A. B. C. D.
7.在中，内角，，所对的边分别为，，，且，若是的中点，，，则( )
A. B. C. D.
8.已知向量，，满足，，，，，则的最大值等于( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，为复数，有以下四个命题，其中真命题的序号是( )
A. 若，则 B. 若则
C. 若，则 D. 若，则
10.已知的内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则为锐角三角形
C. 若，则为等腰三角形
D. 若，，的三角形有两解，则的取值范围为
11.如图，圆锥底面圆的圆心为，是圆的一条直径，与底面所成角的正弦值为，，是母线的中点，是母线上一动点，则下列说法正确的是( )
A. 圆锥的母线长为
B. 圆锥的表面积为
C. 一只蚂蚁沿圆锥的侧面上的曲线从点爬到点处，在蚂蚁所爬的最短路径中，这只蚂蚁离圆锥的顶点的最短距离是
D. 在圆锥内放置一个可以绕着中心任意旋转的正方体，则该正方体的体积的最大值是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，的夹角为，且，，则 ______．
13.已知水平放置的四边形按斜二测画法画出的直观图如图所示，其中，，，，则四边形的面积为______．
14.已知圆台上底面的半径为，下底面的半径为，高为，圆台上、下底面的圆周都在同一个球面上，则该球的体积是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，内角，，所对的边分别为，，且．
求角的大小；
若，且的面积为，求的周长．
16.本小题分
在正方体中，棱长，，，分别是，，的中点．
直线交于点，直线交平面于点，求证：，，三点共线．
求三棱锥的体积．
17.本小题分
如图，观测站在目标的南偏西方向，经过处有一条南偏东走向的公路，在处观测到与相距的处有一人正沿此公路向处行走，走到达处，此时测得，相距．
求；
求，之间的距离．
18.本小题分
如图所示，已知点是平行四边形所在平面外一点，，，分别为，，的中点，平面平面．
判断直线与的位置关系并证明；
求证：平面；
直线上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出点的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入的，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐被数学家接受形如的数称为复数的代数形式，而任何一个复数都可以表示成的形式，即其中为复数的模，叫做复数的辐角，我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作复数叫做复数的三角形式由复数的三角形式可得出，若，，则其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角，再把它的模变为原来的倍
请根据所学知识，回答下列问题：
试将写成三角形式辐角取主值．
类比高中函数的定义，引入虚数单位，自变量为复数的函数称之为复变函数已知复变函数，，．
当时，解关于的方程；
当时，若存在实部不为，且虚部大于的复数和实数，使得成立，复数在复平面上对应的点为，点，以为边作等边，且在的上方，求线段的最大值．
参考答案
1.
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3.
4.
5.
6.
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8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为，
由正弦定理得，整理得，
所以，
且，故；
，
，
由得，
又由余弦定理得，，
解得，
的周长为．
16.证明：，
，，
则平面，平面
又，
平面，
又平面，
平面平面，
平面，
平面，平面，
点在直线上，则，，三点共线．
解：，
又，
．
17.解：根据题意，在中，，，，
在中，由余弦定理得，
结合，可得；
由，得，
由题意知，
在中，由正弦定理得，所以，
由余弦定理，
可得，整理得，解得或舍去．
所以，即、之间的距离为．
18.解：，证明如下：
依题意，，平面，平面，
则平面，
又平面平面，平面，
所以；
证明：取中点，连接，，
在中，，
在 中，，
则，，
即四边形为平行四边形，
因此，
又平面，平面，
所以平面；
当为中点时，平面平面，证明如下：
取的中点为，连接，，
在中，，平面，平面，
则平面，同理可证，平面，
又，平面，，
所以平面平面．

19.解：由于，得；
由题意得，整理得，；
设，
则
．
存在实数，使得成立，为实数，则，
，，，
当时，，符合题意，
点的轨迹为单位圆的一部分．
设，，所表示的复数为，
所表示的复数为，则，
，
，
则
，
当，即时，取得最大值．
故线段的最大值为．
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