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2024-2025学年上海市长宁区延安中学高一（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共4小题，每小题4分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列函数中是奇函数的是( )
A. B. C. D.
2.为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点( )
A. 向左平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向右平移个单位
3.在中，“”是“为锐角三角形”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.三角函数是刻画周期现象最典型的数学模型关于三角函数周期性给出两个结论：
函数是周期函数；
函数是周期函数．
则下列判断正确的是( )
A. 都正确 B. 都错误 C. 正确，错误 D. 错误，正确
二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
5.已知角的终边过点，则的值为______．
6.弧度是第______象限角．
7.函数的最小正周期 ．
8.已知是第四象限角，且，则 ______．
9.已知，则 ______．
10.函数的单调增区间是______．
11.已知且，则 ______．
12.在中，：：：：，则 ______．
13.如图，货轮在海上以的速度沿着南偏东的方向航行，货轮在处观测到灯塔在其南偏东的方向上，航行半小时到达点，此时灯塔在其北偏东的方向上，则点与灯塔的距离为______．
14.函数，的值域是______．
15.直线与函数图像的相邻的三个交点从左自右依次为、、，若，则 ______．
16.已知、满足，则 ______．
三、解答题：本题共5小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
求函数的最小正周期、最大值，并求出取得最大值时所有的值．
18.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，若．
求的大小；
若，，求的面积．
19.本小题分
证明三倍角公式；
同学试着将代入第小题中的公式，得到：
，又由诱导公式可知，所以．
若已知五倍角正弦公式对任意恒成立，试推导用表示的五倍角余弦公式．
20.本小题分
如图，某学校足球场长米，宽米，球门宽米，球门位于底线中央中点与底线中点重合是球场边线的中点，是底线上一点，且米，球员甲沿方向带球突进．
求的值；
若甲准备在线段上某一点处起脚射门，试问点距离底线多远时，对球门的张角最大？结果精确到米
21.本小题分
对于函数，，如果存在一个非零常数，使得当取其定义域中的任意值时，有，且成立，则称函数是“类周期函数”，这个非零常数叫做函数的一个“类周期”．
证明函数是“类周期函数”；
证明函数不是“类周期函数”；
已知函数其中，是“类周期函数”，证明：“”是“是的一个类周期”的必要非充分条件．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.二
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.解：由于，
函数的最小正周期，函数的最大值为，
当，即，时取得最大值．
18.因为，
由正弦定理可得，
即，
在中，，
所以，
因为，
所以；
由知，，因为，，
由余弦定理，得，
即，得，
所以的面积．
19.证明：
，得证；
由题意，可得，
因为，，
所以．
20.由题意，，
可得，，
可得，，
可得，，
可得；
设点距离底线米，过点作，垂足为，，
则，
可得，，
，，
所以
，
当时，即时，等号成立，
此时取得最大值，
又因为函数在上严格增，
所以对应的取得最大值，
所以当点距离底线米时，对球门的张角最大．
21.证明：取，因为，所以，
所以，
所以函数是“类周期函数”，是其一个“类周期”；
假设函数是“类周期函数”，
则存在非零常数，使得对任意都成立，
取，则可得，所以，显然不成立，
所以函数不是“类周期函数”；
函数，是“类周期函数”，
则存在非零常数，使得，对任意都成立．
取，则，所以，
对于函数，则有，所以，
所以，
对于，取，则，
所以，
所以函数是“类周期函数”，
对于，取，则，
所以，
所以也是“类周期函数”，
不妨设，取，所以，
则，
，
不恒成立，则不是的“类周期”，
“”不是“是的一个类周期”的充分条件；
假设是的一个“类周期”，且，设，
则其中，
所以对于任意正整数，都有，
，而的值域为，矛盾，
所以假设不成立，必有，
所以“”是“是的一个类周期”的必要条件，
即是是的一个类周期的必要非充分条件．
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