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2024-2025学年天津市滨海新区大港一中高一（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共14小题，每小题5分，共70分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数是虚数单位，则( )
A. B. C. D.
2.已知非零向量、，且，，，则一定共线的三点是
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
3.已知，是互不重合的直线，，是互不重合的平面，下列命题正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，，则
C. 若，，则 D. 若，，，则
4.已知复数为虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
5.满足条件的三角形的个数是( )
A. 个 B. 个 C. 无数个 D. 不存在
6.若水平放置的四边形按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中，，，，则原四边形的面积为( )
A.
B.
C.
D.
7.如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半径为的半球形的冰淇淋，若冰淇淋融化后正好盛满杯子，则杯子的高( )
A.
B.
C.
D.
8.已知非零向量，满足与夹角的余弦值为，若，则实数( )
A. B. C. D.
9.在中，“”是“”的( )
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件
10.如图所示，在平行六面体中，，，，是的中点，点是上的点，且：：用表示向量的结果是( )
A.
B.
C.
D.
11.为测量两塔塔尖之间的距离，某同学建立了如图所示的几何模型若平面，平面，，，，，，则塔尖之间的距离为( )
A. B. C. D.
12.已知非零向量、满足，且，则的形状是( )
A. 三边均不相等的三角形 B. 直角三角形
C. 等腰非等边三角形 D. 等边三角形
13.如图，在平面四边形中，，，，
若点为边上的动点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
14.已知正方体的棱长为，的中点为，过，，的平面把正方体分成两部分，则较小部分的体积为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共6小题，共30分。
15.已知，其中，，则______．
16.在四面体中，，，分别是，的中点，若，则异面直线与的夹角为______．
17.已知向量，；；向量在向量上的投影向量是；是向量的单位向量，则以上命题正确的有______个
18.已知在中，角，，的对边分别为，，，，，的面积等于，则外接圆的面积为______．
19.如图是某机械零件的几何结构，该几何体是由两个相同的直四棱柱组合而成的，且前后、左右、上下均对称，每个四棱柱的底面都是边长为的正方形，高为，且两个四棱柱的侧棱互相垂直．则这个几何体有 个面，其体积为 ．
20.在棱长为的正四面体中，点满足，点满足，当、最短时，______．
三、解答题：本题共4小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.本小题分
已知为虚数单位，，复数．
Ⅰ若是实数，求的值；
Ⅱ若是纯虚数，求的值；
Ⅲ若复数与在复平面上对应的向量分别为，且的夹角为钝角，求的取值范围．
22.本小题分
如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求证：平面；
Ⅲ求直线与平面所成角的大小．
23.本小题分
在中，角、、的对边分别为，，，已知．
Ⅰ求的值；
Ⅱ若，求的值，．
24.本小题分
已知在四棱锥中，侧面平面，，，，，分别是，的中点，
Ⅰ证明：平面；
Ⅱ求平面与平面的夹角的余弦值；
Ⅲ求的中点到平面的距离．
参考答案
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19.
20.
21.Ⅰ复数，
若是实数，则，解得或；
Ⅱ若是纯虚数，则，解得；
Ⅲ复数与在复平面上对应的向量分别为，
则，，
的夹角为钝角，
，解得或且．
的取值范围为
22.Ⅰ证明：连接，设，连接，
由题意可得为的中点，而为的中点，
所以，
而平面，平面，
所以平面；
Ⅱ证明：因为侧棱底面，
可得平面平面，平面平面，
又因为，为的中点，所以，
平面，
所以平面；
Ⅲ解：由Ⅱ可得为直线与平面所成角，
可得，
因为，，
所以，，
所以，
又因为，
可得．
23.在中，由，整理得，
又由余弦定理，可得；
由及可得，
又由正弦定理及，可得，
故，
因为，
所以为锐角，
所以，，，
则
．
24.Ⅰ证明：连接交于，
因为，，为的中点，所以为的中点，
而为的中点，所以，
平面，平面，所以平面；
Ⅱ解：因为侧面平面，，为的中点，可得，侧面平面，
平面，所以平面，
以为坐标原点，以，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
，可得，，，，，
所以，
可得，，
设平面的法向量为，
则，即，
令，可得，平面的法向量为，
可得，，，
所以，，设平面与平面的夹角为，
则，，
即平面与平面的夹角的余弦值为；
Ⅲ解：因为为的中点，可得，则，
由Ⅰ可得平面的法向量，
可得点到平面的距离为．
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