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2024-2025学年四川省成都市石室成飞中学高二（下）5月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.双曲线的渐近线方程是( )
A. B. C. D.
2.数列是首项为且公差不为的等差数列，若，则( )
A. B. C. D.
3.已知的展开式中只有第项的二项式系数最大，则项的系数为( )
A. B. C. D.
4.记为等比数列的前项和，若，，则( )
A. B. C. D.
5.在某次研讨会中，甲、乙、丙、丁、戊、己位专家轮流发言，其中甲和乙不能连续发言，则这位专家的不同发言顺序共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
6.已知函数在上单调递减，则实数的最大值为( )
A. B. C. D.
7.已知正四棱锥的侧棱长为，当该棱锥的体积最大时，它的高为( )
A. B. C. D.
8.若，不等式恒成立其中是自然对数的底数，则实数的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列满足，数列的前项和为，则( )
A. B. 数列是等比数列
C. ，，构成等差数列 D. 数列前项和为
10.若，则( )
A.
B.
C.
D.
11.已知是定义在上的奇函数，，不恒为零且为偶函数，则( )
A. 为偶函数 B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知曲线在处的切线与直线平行，则实数的值为______．
13.将本不同的书分发给甲、乙、丙三个同学，每个同学至少得到本书，且甲同学只得到本书，则不同的分法总数为______．
14.设数列的前项和为，且，则数列的前项和为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列是首项为且公差不为的等差数列，为和的等比中项，记数列的前项和为．
求和；
设，求数列的前项的和．
16.本小题分
如图，在三棱柱中，平面平面，为的中点，，，．
证明：平面；
求平面与平面的夹角的余弦值．
17.本小题分
已知函数．
求函数的极值；
若不等式恒成立，且，求的最小值．
18.本小题分
已知，分别是椭圆的左右焦点，直线：与轴相交于点，与椭圆相交于不同的，两点，的面积为，且椭圆的短轴长与焦距相等．
求椭圆的方程和实数的取值范围；
若线段的垂直平分线与轴相交于点，且为直角三角形，求点的坐标和直线的方程．
19.本小题分
已知曲线与直线有且仅有两个不同的交点，，且其中是自然对数的底数
求实数的取值范围；
证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
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8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.因为为和的等比中项，
所以，
又因为数列是首项为且公差不为的等差数列，
则，
所以，
即，
；
因为，
所以数列的前项的和为：．
16.证明：因为为的中点，，所以，
则，，，
又，
所以，即，
因为，，，
所以，即，
又平面平面，平面平面，
平面，所以平面，
又平面，则，又，
所以平面；
解：由知，平面，
又平面，则，
又平面，平面，则，
所以，，两两垂直，以为坐标原点，
建立空间直角坐标系，如图所示：
因为，，所以，
则，，，，
所以的中点，
则，，
设平面的一个法向量为，
则由，，可得，
令，则，可得平面的一个法向量为，
不妨取平面的一个法向量为，
则，
所以平面与平面的夹角的余弦值为．
17.，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，函数取得极大值，无极小值．
不等式恒成立，即恒成立，
由于，则，设，
则，
设，则，在上单调递减，
又，，
存在，使，即．
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
．
又，则，由于恒成立，，且，
的最小值为．
18.由题意知，因为的面积为，
所以，
又椭圆的短轴长与焦距相等，所以，
则，椭圆的方程为：；
联立，整理得：，
则，解得：或，
则实数的取值范围为：；
设，，设线段的中点为，
由知：，，
则，，即，
设，由，
则，即，
因为为直角三角形，又，所以，即，
所以，，
整理为，
则：，
化简为 ，
由得，即，代入得，
整理得 ，又由得，
代入得：，
即，
解得：，满足，
当时，，点的坐标为，直线的方程为：，
当时，，点的坐标为，直线的方程为：，
综上，直线的方程为：．
19.由于函数与直线有且仅有两个不同的交点，
因此方程有且仅有两个不同的实数根，所以方程有且仅有两个不同的实数根．
令函数，那么导函数，又，根据，得，
因此时，导函数，单调递增；
时，导函数，单调递减，
当时，函数取得极小值，也是最小值，要使函数有两个零点，
那么，即，解得，
当时，得，那么函数在上有且只有一个零点；
当时，，
设函数，那么导函数，因此函数在上单调递增，
那么，因此，
那么函数在上有且只有一个零点，因此函数有且仅有两个零点，．
证明：根据第一问可知：，分别为的两个零点，设，
要证，即证，
由于，因此，
根据第一问知函数在上单调递增，因此只需证明，而，
因此只需证，令函数，且，
因此函数，，
导函数，
因此函数在上单调递减，，
所以在上恒成立，即，
综上所述：．
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