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2024-2025学年山东省枣庄八中高一（下）期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.把与复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，所得的向量对应的复数为( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，若，则( )
A. B. C. D.
3.下列说法正确的是( )
A. 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
B. 过空间内不同的三点，有且只有一个平面
C. 棱锥的所有侧面都是三角形
D. 用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台
4.已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，对于下列命题正确的是( )
A. ，，， B. ，
C. ， D. ，
5.如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，则该平面图形的高为( )
A.
B.
C.
D.
6.如图是古希腊数学家特埃特图斯用来构造无理数、、、的图形，，，，四边形的对角线相交于点，若，则( )
A.
B.
C.
D.
7.在中，若，则这个三角形是( )
A. 等腰三角形或直角三角形 B. 直角三角形
C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形
8.已知三棱锥的顶点都在球的球面上，底面是边长为的等边三角形若三棱锥的体积的最大值为，则球的表面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，是复数，，则下列命题中的真命题是( )
A. B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
10.在中，角，，所对的边分别为，，，且，若有唯一解，则的值可以是( )
A. B. C. D.
11.已知直三棱柱中，，，点分别为棱，，，的中点，是线段上包含端点的动点，则下列说法正确的是( )
A. 直三棱柱外接球的半径为
B. 三棱锥的体积与的位置无关
C. 若为的中点，则过，，三点的平面截三棱柱所得截面为等腰梯形
D. 一只虫子由表面从点爬到点的最近距离为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.______．
13.底面半径为的圆锥被平行于底面的平面所截，截去一个底面半径为，母线长为的圆锥，则所得圆台的侧面积为______．
14.在中，，过点的直线分别交直线、于点、，且，其中，，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，．
若，求的值；
若，求实数的值；
若与的夹角是钝角，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知的内角，，的对边分别为，，，且．
求；
如图，若点是边上一点，且，，求．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是正方形，点在棱上不与端点重合，，分别是，的中点．
证明：平面．
记平面平面，证明：．
18.本小题分
已知函数．
化简，并求的值；
在锐角中，角，，所对的边分别为，，：
若内角满足，求的值；
若内角满足，，求的取值范围．
19.本小题分
如图，设中角，，所对的边分别为，，，为边上的中线，已知，且，．
求的值；
求的面积；
设点，分别为边，上的动点含端点，线段交于，且的面积为面积的，求的取值范围．
参考答案
1.
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10.
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14.
15.解：因为向量，，且，
所以，解得，
所以．
因为，且，
所以，解得，
因为与的夹角是钝角，
则且与不共线．
即且，
所以且．
16.解：因为，
所以由正弦定理得，
所以，
所以．
所以由余弦定理得，
因为，所以．
因为，所以，
所以，
在中，由正弦定理得，
在中，由正弦定理得，
因为，
所以，
因为，所以，即，
所以，
所以．
17.证明：连接，
因为底面是正方形，所以是的中点，
又因为是的中点，所以，
因为平面，平面，
所以平面；
证明：因为，分别是，的中点，
所以，
因为平面，平面，
所以平面，
若平面平面，
又平面，
所以．
18.，
则；
，因为，故，
因为，
故，
所以，
；
(ⅱ)因为，
，所以，得，
由，
得，，
所以
，
又，得，
所以，
所以，
所以，
故的范围为．
19.解：由，
由正弦定理，可得，
由余弦定理，可得，
因为，所以，即；
由为边上中线，可得，
则，即，
由，可得，
所以，所以，
所以，
所以；
由，可得，，
因为点，分别为边，上的动点含端点，
所以设，
由的面积为面积的，
可得，
所以，则，
设，由为中线，可得，则，
由，，共线，可得，
所以，
由，可得，
由，可得，则．
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