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2024-2025学年广东省广州市禺山高级中学高一（下）期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则
A. B. C. D.
2.计算：的值为( )
A. B. C. D.
3.已知，，则( )
A. B. C. D.
4.已知函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则等于( )
A. B. C. D.
5.在中，点满足，则( )
A. B.
C. D.
6.若的面积为，，，则边的长度等于( )
A. B. C. D.
7.如图，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，则( )
A.
B.
C.
D. 平面
8.已知是所在平面内一定点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的( )
A. 内心 B. 垂心 C. 外心 D. 重心
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设复数满足其中是虚数单位，则下列说法正确的是( )
A. 的虚部为 B. 在复平面内对应的点位于第四象限
C. D.
10.已知函数，则下列结论中正确的是( )
A. 最小值是 B. 是奇函数
C. 在上单调递减 D. 在上单调递增
11.在中，角，，的对边分别是，，，若，，则( )
A. 面积的最大值为 B. 周长的最大值为
C. 的取值范围为 D. 的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，是水平放置的的直观图，，，则的面积是______．
13.已知平面向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为______．
14.一个圆锥母线长为，侧面积，则这个圆锥的外接球体积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知平面向量，．
Ⅰ若，求；
Ⅱ若，求与所成夹角的余弦值．
16.本小题分
在中，．
Ⅰ求的值；
Ⅱ若，，求的值．
17.本小题分
在中，内角，，所对的边分别为，，已知．
Ⅰ证明：；
Ⅱ若，求的值．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，，，，分别是和的中点
证明：；
证明：平面平面
19.本小题分
双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数历史上著名的“悬链线问题”与之相关其中双曲正弦函数：，双曲余弦函数；是自然对数的底数，．
求的值；
证明：两角和的双曲余弦公式；
若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
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10.
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14.
15.解：Ⅰ平面向量，
若，则，
解得；
Ⅱ若，则，
即，
解得，
，
与所成夹角的余弦值为
．
16.解：Ⅰ在中，，
由余弦定理，
．
Ⅱ由Ⅰ知，，
．
，
，
又，
．
17.解：Ⅰ证明：，
，
，
，
由，，
，
，或，
化为，或舍去．
．
Ⅱ解：，．
，．
．
18.证明：平面，
平面，，
又，，
，平面，
平面．
平面，
，为的中点，，
又，四边形为平行四边形，
，
，分别是和的中点，，
，，
平面平面．
19.
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