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2024-2025学年广东省广州南方学院番禺区附中高一（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则的子集个数为( )
A. B. C. D.
2.已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
3.若向量，，且，则( )
A. B. C. D.
4.若函数是定义在上的奇函数，当时，，则等于( )
A. B. C. D.
5.的三个内角，，所对的边分别为，，，若，，，则( )
A. B. C. D.
6.已知平面向量，满足，且，，则向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
7.如图，在中，，为上一点，且，若，，，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
8.葫芦摆件作为中国传统工艺品，深受人们喜爱，它们常被视为吉祥物，象征福禄、多子多福如图所示的葫芦摆件从上到下可近似看作由一个圆柱与两个完整的球组成的几何体，若上、中、下三个几何体的高度之比为：：，且总高度为，则下面球的体积与上面球的体积之差约为
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.以下说法正确的是( )
A. 两个相等向量的模相等 B. 平行向量方向相同
C. 若和都是单位向量，则 D. 平行向量一定是共线向量
10.已知复数，，则( )
A. B.
C. D. 在复平面内对应的点位于第四象限
11.已知四面体的所有棱长均为，，分别为棱，的中点，为棱上异于，的动点下列结论正确的是( )
A. 若点为线段上的动点，则无论点与如何运动，直线与直线都是异面直线
B. 线段的长度为
C. 异面直线和所成的角为
D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.一个物体在大小为的力的作用下产生大小为的位移，且力与的夹角为，则力所做的功______J.
13.如图，在直三棱柱中，，，点是线段上靠近的三等分点，则直线与所成角的余弦值为______．
14.已知用斜二测画法画出的直观图是边长为的正如图，则中边长与的边长相等的边上的高为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知平面向量．
若，求实数的值；
若与的夹角为，求实数的值．
16.本小题分
在中，已知，，．
求；
如为的中点，求的长．
17.本小题分
如，在直三棱柱中，底面是正三角形，，边上的中点为．
求四棱锥的体积；
求三棱柱截去三棱锥后所得几何体的表面积．
18.本小题分
已知函数的周期为．
求的值及函数的单调递增区间；
若，求的最大值和最小值以及取得最值时相应的值．
19.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，已知．
求角的大小；
若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围．
参考答案
1.
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10.
11.
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13.
14.
15.解：由，可得，
因为，
所以，
解得；
因为，，
所以，
故，
解得．
16.解：因为，且，，
根据正弦定理可得，即，
解得；
在中，，且，
故C；
由可知，，
可得．
因为为的中点，所以，
在中，由余弦定理可得，
从而．
17.解：设边上的中点为，连接，，
又面面，面面，
则平面，即为四棱锥的高，
，
四棱锥的体积为．
由题意得，，
，
，，
，
，
三棱柱截去三棱锥后所得几何体的表面积为．
18.；
由于函数的最小正周期为，所以，
故，
令，解得，
故函数的单调递增区间为．
由，则，所以，
所以当，即时，；
所以当，即时，．
19.因为，
所以由正弦定理可得：，
所以，
因为，所以，所以，
又因为，所以；
因为为锐角三角形，所以，
在中，由正弦定理，
得，
所以
，
因为，所以，所以，
所以，所以，
所以，
故周长的取值范围为．
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