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2024-2025学年黑龙江省哈尔滨四中高一（下）期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
2.在复平面内，对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.若向量与共线，则实数( )
A. B. C. D.
4.在中，已知，，，则符合条件的三角形个数是( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
5.已知为不共线的非零向量，，，，则( )
A. ，，三点共线 B. ，、三点共线
C. ，，三点共线 D. ，，三点共线
6.将一个棱长为的正方体铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的最大零件的表面积为( )
A. B. C. D.
7.已知向量与，则函数的周期为( )
A. B. C. D.
8.在中，为边上任意一点，为中点，且满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共24分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列两个向量，能作为平面中一组基底的是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
10.设复数，则下列命题结论正确的是( )
A. 的虚部为 B. 在复平面内对应的点在第四象限
C. D. 是方程的根
11.在中，、、分别是边、、中点，下列说法正确的是( )
A.
B.
C. 若，则
D. 若，则为等边三角形
12.在中内角、、所对的边长分别为、、，则下列命题中真命题的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知为虚数单位，，，若，则 ______．
14.如图，等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，斜边，则原图形的面积是______．
15.如图，在海面上有两个观测点，，点在的正北方向，距离为，在某天：观察到某航船在处，此时测得，分钟后该船行驶至处，此时测得，，，，则该船行驶的距离为______．
16.哪吒的玉虚宫，形态由九宫八卦阵演变而来，设计灵感来源于汉代，内饰充满了中国文化符号我校高一数学实践小组将玉虚宫轮廓抽象为正八边形，结合向量知识进行主题探究活动如图，正八边形，边长为，点为线段上的动点，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
设复数，．
在复平面内，复数对应的点在实轴上，求；
若是纯虚数，求实数的值．
18.本小题分
已知、、为的三内角，且其对边分别为、、，若．
求；
若，，求的面积．
19.本小题分
已知向量，，若，，，夹角为．
求；
当为何值时，向量与向量互相垂直？
20.本小题分
已知锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，向量，，．
求；
求的取值范围．
21.本小题分
如图所示，设，是平面内相交成角的两条数轴，分别是与，轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为．
若，求的模长；
若，有同学认为“”的充要条件是“”，你认为是否正确？若正确，请给出证明，若不正确，请说明理由；
设，若对恒成立，求的最大值．
参考答案
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13.
14.
15.
16.
17.；
．
18.解：，
由正弦定理可得：，
可得，
可得，即，
，
，
，
．
由，，由余弦定理得，
，即有，
，
的面积．
19.已知向量，，，，，夹角为．
则，
则；
已知向量与向量互相垂直，
则，
即，
即．
20.解：因为，，且，
所以，
即
，
因为为锐角三角形，所以，，所以，
则有，即，所以；
由正弦定理可得：
，
因为为锐角三角形，所以，解得，
所以，则，所以．
21.由题意，是与轴和轴同向的单位向量，
因为，则，又，
则
，
则的模长为；
若，
“”的充要条件是“”不正确，理由如下：
因为，则，
若，则，
又，
则，
所以“”的充要条件是“”，
故“”的充要条件是“”是不正确的；
由，
可得，
则，
，
，
由，两边平方可得，
所以，
即对恒成立，
又因为，
所以，
解得，
因为，所以满足题意，
则，
又因为，所以，
所以的最大值为．
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