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2024-2025学年北京市东城区第二中学朝阳学校高一下学期期中考试数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，共50分。
1.在复平面内，复数为虚数单位对应的点所在的象限是( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.向量，在正方形网格中的位置如图所示，则( )
A. B. C. D.
3.已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题中正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
4.的内角，，的对边分别为，，，若，则为 ．
A. 等腰直角三角形 B. 等腰三角形或直角三角形
C. 直角三角形 D. 等边三角形
5.已知圆锥的轴截面是一个边长为的等边三角形，则该圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
6.设，是两个平面，，是两条直线，若，，则“”是“，”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.如图，在平行四边形中，是的中点，与交于点，设，，则( )
A. B. C. D.
8.已知，，，设与的夹角为，则( )
A. B. C. D.
9.如图，三棱锥中，均为正三角形，为直角三角形，斜边为，为的中点，则直线所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
10.如图，一个棱长分米的正方体形封闭容器中盛有升的水，若将该容器任意放置均不能使水平面呈三角形，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共6小题，共30分。
11.已知向量，的夹角为，且，，则 ．
12.若复数满足：，其中为虚数单位，则 ．
13.已知一个正方体的个顶点都在一个球面上，则球的表面积与这个正方体的全面积之比为 ．
14.如图所示，已知三棱柱的所有棱长均为，且底面，则三棱锥的体积为 ．
15.如图所示，在四边形中，已知，与以为直径的半圆相切于点，且，若，则 ；此时 ．
16.如图，在单位正方体中，点是线段上的动点，给出以下四个命题：
异面直线与直线所成角的大小为定值；
二面角的大小为定值；
若是对角线上一点，则长度的最小值为；
若是线段上一动点，则直线与直线不可能平行．
其中真命题有_____．
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.已知复数为虚数单位．
若，求的值；
若为实数，求的值．
若在复平面上对应的点在第一象限，求的取值范围．
18.已知向量，，．
若点，，共线，求实数的值；
若为直角三角形，求实数的值．
19.在中，角，，所对的边分别为，，已知．
求的值：
若，的周长为，求的面积．
20.如图，已知平面平面，四边形是正方形，，点，分别是，的中点．
若点为线段中点，求证：平面；
求证：平面；
若，从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使四棱锥存在，求二面角的余弦值．
条件：；
条件：；
条件：；
注：如果选择条件不能使四棱锥存在得零分．
21.对于三维向量，定义“变换”：，其中，，，记，．
若，求及；
证明：对于任意，经过若干次变换后，必存在，使；
已知，，将再经过次变换后，最小，求的最小值．
参考答案
1.
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15.
16.
17.因为，所以．
因为为实数，
所以，解得．
因为且，
所以，
因为在复平面上对应的点在第一象限，
所以，解得，故

18.解：因为，，，
所以，
因为、、三点共线，所以，所以，解得
若为直角，则，所以，解得
若为直角，则，所以，解得
若为直角，则，所以，即，因为，所以方程无解；
综上可得，当或时为直角三角形

19.因为，
所以由正弦定理可得，
由余弦定理得，
所以，得；
因为，，，
所以，，
所以，
即，由正弦定理得，
因为的周长为，即，
由知，
联立解得，，
所以的面积为．

20.连接，连接交于点，连接，
因为点为的中点，为中点，所以，
又四边形是正方形，
所以四边形为矩形，
即为的中点，又为的中点，所以，
又平面，平面，
所以平面；
由，为的中点，得，
又因为四边形是正方形，所以，
又平面平面，平面平面，
所以平面，又平面，
所以，又，平面，
所以平面；
条件：；
由四边形为正方形，得，又，平面，
所以平面，又平面，，又，
所以为二面角的平面角，
由有平面，又，所以平面，
又平面，所以，又因为，
所以在中，，所以，
所以二面角的余弦值为；
条件：；
由有平面，平面，所以，
在中，矛盾，所以不存在；
条件：；
又，所以为等边三角形，
取的中点为，的中点为，连接，则，即，
由为等边三角形，为的中点，
所以，又又平面平面，平面平面，
所以平面，又平面，所以，
又，，平面，所以平面，平面，
所以，又，
所以为二面角的平面角，
又，，所以，，
在中，，
所以，
所以二面角的余弦值为．

21.已知，根据“变换”规则，其中，，，可得：
根据，可得；
根据，可得．
设，
假设对任意，，则，，均不为．
经过一次“变换”后，．
所以，即
又因为，所以．
所以，这与矛盾，故假设不正确．
综上，对于任意，经过若干次变换后，必存在，使．
设，因为，所以有或．
当时，可得，三式相加得．
又因为，将代入可得，解得，．
当时，同理可得，，于是
设的三个分量为，，这三个数．
当时，的三个分量为，，这三个数，所以．
当时，的三个分量为，，，则的三个分量为，，，的三个分量为，，，所以．
因为，所以由可得．
因为，所以任意的三个分量始终为偶数，且都有一个分量等于．
所以的三个分量只能是，，三个数，的三个分量只能是，，三个数．
所以当时，；当时，
则的最小值为．

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