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2024-2025学年北京市石景山区九年级下学期中考二模
数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图所示的几何体，其主视图为( )
A. B. C. D.
2.根据公开资料，我国载人航天测控系统的时间同步精度为秒微妙级时间同步，确保指令和数据的精确．请将用科学记数法表示应为( )
A. B. C. D.
3.如图，直线，直线与交于点，过点作直线的垂线交直线于点若，则的度数为( )
A. B. C. D.
4.正十边形的内角和度数为( )
A. B. C. D.
5.圆心角为，且半径为的扇形的弧长为
A. B. C. D.
6.关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.不透明的袋子中有两个红球和一个黑球，三个球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个球，则两次摸到不同颜色球的概率是( )
A. B. C. D.
8.在正方形中，点，，，分别为边，，，上的动点不与顶点重合，与相交于点下面四个结论中，
如果，则；
如果，则；
如果为的垂直平分线，则；
如果与相互垂直且平分，则；
所有正确结论的序号是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ．
10.分解因式： ．
11.已知：，其中为正整数，则的值为 ．
12.如图，为的弦，，，半径于点，则的长为 ．
13.在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，当时，的取值范围是 ．
14.某药物研究小组对甲、乙两组各位病人服用某种药物后的康复时间单位：天进行了调查，记录如下：
甲组：，，，，，
乙组：，，，，，
若甲、乙两组病人康复时间的方差相同，则符合条件的的值可以为 写出一个即可
15.如图，在中，于点，平分，于点，于点若，则的长为 ．
16.某工厂根据现有条件可选择，，三种产品中的一种、两种或三种进行生产，每种产品生产一个分别需要的钢材单位：吨、工时单位：小时、获得利润单位：万元如下表所示：
项目种类 所需钢材吨 工时小时 利润万元
现有钢材吨，可安排工时小时，工厂利润最大时，需生产种产品 个；
若生产一个产品所需工时由小时缩减到小时，现有钢材吨，可安排工时小时，则工厂能获得的最大利润为 万元．
三、解答题：本题共12小题，共102分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算：．
18.本小题分
解不等式组：．
19.本小题分
已知，求代数式的值．
20.本小题分
如图，在中，，于点，为的中点，作点关于点的对称点，连接，，．
求证：四边形是矩形；
若，，求的长．
21.本小题分
某科技公司正在研发两款神经形态计算机，一款是基于传统半导体工艺的型计算机，另一款是基于新兴材料的型计算机．在一次图像识别测试任务中，型计算机处理张图像需要的时间比型计算机处理同样数量的图像多分钟．已知两款计算机处理图像的速度恒定，型计算机处理图像的速度是型计算机的倍．现有张图像要紧急处理，若使用型计算机，判断能否在分钟内处理完，并说明理由．
22.本小题分
在平面直角坐标系中，函数的图象过点和点．
求，的值；
当时，对于的每一个值，函数的值都小于的值且大于，求的取值范围．
23.本小题分
为了解某年级名学生，两门课程的学习情况，从中随机抽取名学生进行测试，获得了他们的成绩百分制，并对数据成绩进行整理描述和分析．下面给出了部分信息．
．课程成绩的频数分布直方图如下数据分成组：，，，，：
．课程成绩在这一组的是：

．，两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下：
课程 平均数 中位数 众数
根据以上信息，回答下列问题：
写出表中的值；
在此次测试中，学生甲的课程成绩为分，课程成绩为分，这名学生成绩排名更靠前的课程是__________填“”或“”；
在此次测试中，学生乙的课程成绩为分，课程成绩为分，下面有两个推断：
学生乙这两门课程的总成绩一定高于这名学生两门课程总成绩的平均数；
若按这两门课程的总成绩对这名学生由高到低排序，该名学生一定排在前名；
其中所有正确推断的序号是__________；
假设该年级名学生都参加此次测试，估计课程成绩不低于分的学生有__________人．
24.本小题分
如图，四边形内接于，．
求证：；
作直径，交于点，连接，交于点若，，求的长．
25.本小题分
乒乓球被誉为中国国球，不仅承载着民族自豪感，更成为展现中国体育精神的文化符号．发球机成为乒乓球爱好者的热门训练器．如图，是乒乓球台的示意图，乒乓球台长为，球网高发球器采用“直发式”模式，球从发球机出口到第一次接触球台的运行轨迹近似为抛物线的一部分．
某次训练，发球机从球台边缘点正上方的高度处发球即的长为，乒乓球到球台的竖直高度记为单位：，乒乓球运行的水平距离记为单位：，测得几组数据如下：
水平距离
竖直高度
根据以上数据，解决下列问题：
当乒乓球第一次落在对面球台上时，球到起始点的水平距离是______，表格中的值为______；
求出满足条件的函数表达式；
若发球机的发球高度增加，其他所有条件均不变，则乒乓球从发球机出口发出后______落到对面球台上填“能”或“不能”．
26.本小题分
在平面直角坐标系中，已知，，，是抛物线上的四个点，且任意两点都不重合．
直接写出抛物线与轴的交点坐标可用含的代数式表示；
将抛物线在点，之间的部分含，所有点的纵坐标的最小值记为，并将抛物线在，之间的部分含，所有点的纵坐标的最小值记为，若，求的取值范围．
27.本小题分
如图，在中，，，是边上一点不与点，重合，线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．
求的度数．
如图，连接，是中点，是中点，连接，，用等式表示线段与的数量关系，并证明．
28.本小题分
在平面直角坐标系中，对于图形，点给出如下定义：图形向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到图形，若图形与图形有且只有一个公共点，称点为图形的“限定点”．
已知点，，
在点，，中，的“限定点”是____．
点在直线上，且点为的“限定点”，则点的坐标为____．
的圆心在轴上，半径为，若上存在点，使得点为的“限定点”，则点的横坐标的取值范围为____．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.或写出一个即可
15.
16.
17.解：原式
．
18.解：原不等式组为
解不等式，得．
解不等式，得．
原不等式组的解集为．
19.解：

，
．
原式．
20.证明：点关于点的对称点为点，
必过点且．
为的中点，
．
四边形是平行四边形．
于，
．
四边形是矩形．
四边形是矩形，
，，．
在中，．
设，则，．
，．
．
在中，．
21.解：使用型计算机，能在分钟内处理完，理由如下：
设型计算机处理图像的速度是张分钟，则型计算机处理图像的速度是张分钟．
由题意可知，．
解得．
经检验：是原方程的解且符合实际意义．
所以．
因为，，
所以使用型计算机，能在分钟内处理完张图像．
22.解：把和代入到中得
解得；
解：由得函数的解析式为
在中，，
在中，随增大而减小，
当时，对于的每一个值，函数的值都大于，
当时，，
；
当时，解得，
当时，对于的每一个值，函数的值都小于的值，
，
，
综上所述，．
23.解：课程总人数为，
中位数为第、个数据的平均数，而第、个数据均在这一组，
中位数在这一组，
这一组的是：，，，，，，，前三组共个数据，
课程的中位数为，即；
该学生的成绩大于课程的中位数，而小于课程的中位数，
这名学生成绩排名更靠前的课程是，
故答案为：．
，
学生乙这两门课程的总成绩一定高于这名学生两门课程总成绩的平均数；故正确；
学生乙的课程成绩为分，低于课程的最高分，课程成绩为分，低于课程的最高分，
若按这两门课程的总成绩对这名学生由高到低排序，该名学生不一定排在前名；
故错误，
故选：
由题意可得，人，
即估计课程成绩不低于分的学生有人．

24.证明：四边形内接于，，
，．
．
；
解：依题意，连接，，过点作于点．
，
．
是直径，
．
，，
，．
，，
，．
在中，，
，，
，．
，
是等边三角形．
，
，
在中，，
，．
．
25.解：当乒乓球的竖直高度为时，水平距离为，
当乒乓球第一次落在对面球台上时，球到起始点的水平距离是；
当和当时的函数值相同，
对称轴为直线，
当时的函数值与当的函数值相同，
；
解：设，
把代入中得，解得，
满足条件的函数表达式为；
解：当发球机的发球高度增加时，则此时抛物线解析式为，
在中，当时，解得或，
，
乒乓球从发球机出口发出后能落到对面球台上．
26.解：令，即，
解得：，
抛物线与轴的交点坐标为，；
解：抛物线的对称轴为直线．
由题意，点在点的左侧，点与关于对称轴对称，．
，，，四点中，任意两点不重合，
且且且．
，
当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小．
当时，
，
．
．
由知，不符合题意．
当时，点在对称轴的左侧．
点关于直线的对称点为．
，
．
且．
．
综上所述，的取值范围是且且且．
27.解：在上取点，使得，
线段绕点顺时针旋转得到线段，
，．
，
，
，
，
，
，
，
；
解：．
证明：延长与交于点，连接，，，
，，是中点，
，，，
，
，
，
，
，，
是中点，
，
，
，，
，
，，
，
又，
，
，，
，
为等腰直角三角形，
，
，
即．

28.解：当是的“限定点”时，
当时，则平移后点的对应点坐标为，即，
当时，则平移后点的对应点坐标为，即，
当时，则平移后点的对应点坐标为，即，
当时，则平移后点的对应点坐标为，即，
综上所述，平移后点的对应点即为点，
，，
，
是以为直角顶点的等腰直角三角形，
由平移的性质可得平移后的对应图形是以点为直角顶点的等腰直角三角形，
和有且只有一个交点，
的某一个顶点在的边上或的某一个顶点在的边上，
如图所示，当点在线段上时，则点在线段上，；
当点在线段上时，则点在线段上，；
当点在线段上时，则点在线段上；
当点在线段上时，则点在线段上；
当点在线段上时，则点在线段上；
点在线段上时，则点在线段上；
综上所述，点在六边形的边上，
在点，，中，只有在六边形的边上，
在点，，中，的“限定点”是；
解：点在直线上，且点为的“限定点”，
由可得点即为直线与六边形的交点，
在中，当时，，当时，，
点的坐标为或．
解：如图所示，当恰好经过点时，则，
；
如图所示，当与恰好相切时，设切点为，连接，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
；
如图所示，当与恰好相切时，同理可得，
，
；
如图所示，当恰好经过点时，则时，解得；
上存在点，使得点为的“限定点”，
与六边形有交点，
当或时，与六边形有交点，
点的横坐标的取值范围为或．
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