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2024-2025学年江西省三新协同教研共同体高二下学期5月联考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知椭圆的方程为，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
2.下列函数求导正确的是( )
A. B.
C. D.
3.已知函数的导函数的图象如图所示，则( )
A. 在上单调递减 B. 在处取得极小值
C. 有个极值点 D. 有极大值，没有极小值
4.已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成的角为( )
A. B. C. 或 D. 或
6.已知数列为等比数列，且，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.在一次交流活动中，有名男同学包含甲和名女同学共名同学排成一行，则男同学甲的右侧可不相邻没有其他男同学的排法种数为( )
A. B. C. D.
8.在某人工智能的语音识别系统开发中，每次测试语音识别成功的概率受环境条件安静或嘈杂的影响已知在嘈杂环境下，语音识别成功的概率为，某天在嘈杂环境下进行了次测试试验，若测试结果为语音识别成功，则记分，否则记分，且每次测试成功与否相互独立记这次测试试验的总得分为，则当取得最大值时，实数的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.等差数列的前项和为，，，则下列说法正确的是( )
A.
B.
C. 当时，取得最大值
D. 若，则数列的前项和
10.已知，，有，则( )
A. B. C. D.
11.已知等比数列的公比为，且，则下列命题正确的是( )
A. 若为单调递增数列，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则且
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数列是公比不为的等比数列，且，则 写出满足上述条件的一个值即可
13.已知函数在处取得极大值，则实数的值为 ．
14.已知函数，且关于的不等式在上恒成立，则整数的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数的图象在点处的切线方程为．
求实数的值
当时，求函数的极值．
16.本小题分
设等差数列的前项和为，，从，，这三个条件中任选两个作为已知条件，解答下面的问题．
求数列的通项公式及前项和
若数列满足，求数列的前项和．
17.本小题分
已知双曲线的焦距为，右顶点为，点在双曲线的渐近线上．
求双曲线的方程
过点作斜率为的直线与双曲线交于，两点，若的面积为，求实数的值．
18.本小题分
已知函数．
求函数的单调区间．
设函数有两个极值点，．
(ⅰ)求实数的取值范围
(ⅱ)证明：．
19.本小题分
已知数列、，其中，将数列中与数列相同的项去掉，剩下的项按照原来的顺序排列构成新数列，称数列为数列与数列的差数列设，用表示不超过的最大整数，例如，，函数被称为高斯函数．
若，求的值
若，请写出数列的一个通项公式并说明理由请用高斯函数表示
已知，，求的值．
参考答案
1.
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4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为，有，，
所以切线方程为，即，
所以，得，故实数的值为．
由可知，有，
当时，令，得或，
当变化时，和的变化情况如下表：
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以当时，有极大值，
极小值．
16.解：设数列的公差为，
选，由已知得解得
数列的通项公式为，
．
选，由已知得解得
数列的通项公式为，
．
选，由已知得解得
数列的通项公式为，
．
由知，
数列的前项和．
17.解：由题意可知，双曲线，则，
又因为渐近线经过点，所以，
由方程和解得，，
所以双曲线的方程为．
由题意可设直线的方程为，
联立方程可得，
则，得且．
设直线与双曲线交于，两点，
有
则
，
所以，即，
解得或或，
所以实数或或．
18.由题意知函数的定义域为，
且，令，有．
当，即时，，此时函数的单调递增区间为，无单调递减区间．
当，即或时，有，解得，．
若，有，则由得或，由得
若，有，则恒成立，此时函数的单调递增区间为，无单调递减区间．
综上所述，当时，函数的单调递增区间为和，
单调递减区间为
当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间．
因为，所以，
令，得，则与的图象有两个不同的交点，
令，则，而在上单调递增，在上单调递减，
又，，当时，，
所以要使与的图象有两个不同的交点，则需，解得．
假设，则，因为，所以，
由于在上单调递减，所以，又因为，所以
设，令，则需证在上恒成立．
当时，，
所以在上单调递增，所以当时，，故假设成立．
19.解：由数列的定义可知，在数列的前项中去掉与数列相同的项，，，，，可得，
因为，所以的值为．
当，时，数列为，，，，，，，，，，，，，当时，，由，得为常数，且，
其中为常数，且，
因此为常数，且，所以数列的通项公式为为常数，且．
因为对任意且，都有，
则，
所以，即数列单调递减，则．
又因为，，
所以对任意的，都有．
由数列单调递减，且，可得，，
则当时，，即，当时，，即．
故
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