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2024-2025学年江西省三新协同教研共同体高一下学期5月联考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足，其中为虚数单位，则在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知向量，，且，则( )
A. B. C. D.
3.已知角的终边过点，则( )
A. B. C. D.
4.在中，，是直线上的一点，若，则实数的值为( )
A. B. C. D.
5.已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是( )
A. B.
C. D.
6.若函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则( )
A. B. C. D.
7.方程的实数解的个数为( )
A. B. C. D.
8.设，，是函数与函数的图象连续相邻的三个交点，若是锐角三角形，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数的部分图象如图所示，则( )
A.
B. 将的图象向右平移个单位长度，得到的图象
C. 直线为图象的一条对称轴
D. 直线与的图象相交，存在两个交点的横坐标，，使得
10.任何一个复数都可以表示为，且可以表示为三角形式，代表复数的模，是以轴的非负半轴为始边，以所在的射线为终边的角著名数学家棣莫弗就此进行了深度探究，发现，该公式称为棣莫弗公式根据上面的知识，若复数满足，则可能的取值为( )
A. B.
C. D.
11.八卦阵是我国的文化瑰宝，其可近似视为正八边形，图是一个八卦阵示意图，图是从图中抽象出的几何图形的示意图已知正八边形的边长为，是正八边形的中心，是正八边形边上任意一点，则下列说法正确的是( )
A.
B. 在方向上的投影向量为
C. 的最大值为
D. 若函数，则函数的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，满足，，，则的值为 ．
13.已知为常数，且，复数在复平面内满足，则复数对应的点的集合所形成的图形的面积为 ．
14.在锐角中，角，，所对的边分别为，，已知，，则面积的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数满足，的虚部为．
求
若的实部为正数，，，在复平面内对应的点分别为，，，求．
16.本小题分
已知函数．
化简
已知，都是锐角，，，求的值．
17.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，．
若，的平分线交于点，且，求的值
若角，，满足，且，证明：该三角形是直角三角形．
18.本小题分
设函数．
求在上的最大值
若不等式在上恒成立，求的取值范围
若方程在上有个不相等的实数根，求的取值范围．
19.本小题分
“算两次”原理又称富比尼原理是一种重要的数学思想，其核心是通过对同一量采用两种不同的计算方式，利用结果的等价性构建等式来解决问题例如：如图甲，在中，为的中点，则，，两式相加得，因为为的中点，所以，于是请用“算两次”的方法解决下列问题．
如图乙，在四边形中，，分别为，的中点，证明：．
如图丙，在四边形中，，分别在边，上，且，，，，与的夹角为，求．
若在四边形中，，分别在边，上，且，，，，与的夹角为，求．
参考答案
1.
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10.
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13.
14.
15.设，则，
则
解得或
或．
的实部为正数，，，，
则，，，则，，
．
16.解：
；
因为角为锐角，且，所以．
因为，，所以，
又因为，所以，
所以
．
17.解：因为，所以，所以．
由，得，
所以，
所以．
由于，
因此，
所以，所以；
则，
所以，
所以，即，
即，
故或．
由，可得，所以，，
所以或．
由，可得，故A，
因此该三角形为直角三角形．
18.解：，
令，得
当，即时，．
当，即时，．
当，即时，．
综上可知，
若要，则需，当时，，
函数变为，，所求问题变为恒成立．
易知的图象是开口向下的抛物线的一部分，最小值一定在区间端点处取得，
所以有，解得，故的取值范围是．
方法一原方程可化为．
令，即，．
当时，在上一个对应两个不相等的实数解，
因此原题可转化为与的图象在上有两个不同的交点，
即
故的取值范围是．
方法二原方程可以化为，
可以看作与的图象在上有四个不同的交点，
则，
故的取值范围是．
19.解：在四边形中，，
在四边形中，，
由，得．
因为，分别为，的中点，所以，，
于是．
在四边形中，，
在四边形中，，
由，，得，，
由，得，
所以
．
在四边形中，，
在四边形中，，
由，，得，，
由，得．
故

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