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2024-2025学年江苏省常熟中学高二下学期5月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知随机变量，设随机变量，则( )
A. B. C. D.
2.若“”是“”的必要条件，则实数的最大值为( )
A. B. C. D.
3.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
4.已知，若，则( )
A. B. C. D.
5.的展开式中所有二次项即含，，的项的系数和为( )
A. B. C. D.
6.将一根长为的铁丝截成段，使其组成一个正三棱柱的框架铁丝长等于正三棱柱所有棱的长度之和，则该正三棱柱的体积最大为( )
A. B. C. D.
7.已知全集，集合，，是全集的三个子集，定义：表示集合中元素的个数，若，，则所有的有序子集列有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
8.( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列选项正确的是( )
A. 若正实数满足，则的最小值为
B. 函数的值域是
C. 若正实数满足，则的最大值为
D. 若正实数满足，则的最小值为
10.已知函数是的导函数，则( )
A. “”是“为奇函数”的充要条件
B. “”是“为增函数”的充要条件
C. 若不等式的解集为且，则的极小值为
D. 若是方程的两个不同的根，且，则或
11.已知函数，则下列说法正确的有( )
A. 若函数关于直线对称，则
B. 当时，函数在上单调递减
C. 当时，函数在有个极值点
D. 函数最多有个零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某一随机变量的分布列如下表，且，则 ．
13.若曲线在处的切线也是曲线的切线，则的最小值为 ．
14.若函数有两个零点，则实数的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
为激发学生注重学科核心素养的培养，某校数学教研组开展数学基本技能比赛，比赛采用自主报名参赛方式，全校共有名学生自主报名参赛，统计参赛成绩，参赛学生所得分数的分组区间为，，得到如下的频数统计表：
分数区间性别
男生名
女生名
若学生得分不低于分，则认为基本技能优秀，得分低于分，则认为基本技能良好，依据小概率值的独立性检验，分析该校学生的基本技能与性别是否有关？
为进一步调研男生和女生在基本技能上的差异，在参加数学基本技能比赛的名学生中，按性别比例分层抽样的方式随机抽取名学生进行问卷调研，然后再从这名学生中随机抽取名学生进行座谈调研，记取出的人中女生的人数为，求的分布列和数学期望．
附：
，．
16.本小题分
已知的展开式中，第项与第项的系数之比为．
求的值；
求展开式中二项式系数最大的项；
若，求的值．
17.本小题分
某学校校庆时统计连续天进入学校参加活动的校友数单位：千人如下：
日期 月日 月日 月日 月日 月日
第天
参观人数
由上表数据看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明保留小数点后两位；若，则认为与的线性相关性很强，并求出关于的线性回归方程；
校庆期间学校开放号门、号门和号门供校友出入，校友从号门、号门和号门进入学校的概率分别为、、，且出学校与进学校选择相同门的概率为，选择与入校不同两门的概率各为假设校友从号门、号门、号门出入学校互不影响，现有甲、乙、丙、丁名校友于月日回母校参加活动，设为人中从号门出学校的人数，求的分布列、期望及方差．
附：参考数据：，，，，．
参考公式：回归直线方程，其中，．
相关系数．
18.本小题分
已知集合，集合．
当时，求；
设全集，，．
求实数的值；
记集合，求中元素的个数．
19.本小题分
定义在上的可导函数，集合为正整数，其中称为的自和函数，称为的固着点已知．
若，，求的值及的固着点；
若，是的自和函数，且在上是严格增函数，求的最大值；
若，，且是的固着点，求的取值范围，并证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.根据题意得如下列联表：
男生 女生 合计
基本技能优秀
基本技能良好
合计
零假设：该校学生的基本技能与性别无关联．
，
依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为该校学生的基本技能与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于．
由题意知，随机抽取进行问卷调查的名学生中，女生名，男生名，
所以随机变量的可能取值有，，，
故，
，
，
故的分布列如下，
．
16.展开式的通项公式为，
因为第项与第项的系数之比为，所以，
即，解之得或舍，所以．
因为，所以展开式中二项式系数最大的项为．
由，令，所以．
17.依题意，，而，，，
则．
因为时线性相关程度高，所以与线性相关性很强，可以用线性回归模型拟合．
，，
因此，回归方程为．
记“甲从号门出学校”为事件，“甲从号门进学校”为事件，
“甲从号门进学校”为事件，“甲从号门进学校”为事件，
由题意可得，，，
，，
由全概率公式得：
，
同理乙、丙、丁从号门出学校的概率也为，
为人中从号门出学校的人数，则，
，，
，，
，
故的分布列为：
，．
18.由题意知，，
解得，
所以，
当时，，
设，则，，令，，
则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以，
可得，
所以．
因为，所以，可得，
因为且，
可得，
所以，解得
由可知在上单调递增，在上单调递减，
因为，，
而，
所以由的图象可知，有且只有两个实数，满足，
可得或，解得或，
所以方程有两个解，
即中元素的个数为．
19.由题得，所以，
因为，所以，解得，
所以，固着点．
由题得，则，
所以，因为是上的严格增函数，
所以在区间上恒成立，
由，得到，所以，
所以，因此的最大值是．
方法一由题得，，
所以，
因为，且是的固着点，所以在上有唯一的解，
记，则，所以在是严格减函数，
从而，又当时，，故的值域是，
所以，即，
记，则由上述可知是的严格减函数且，
，
因为，所以，所以
又，
记，则，
因为，所以，所以，
所以是上的严格增函数，
故，从而
由可知，，即，
又是的严格减函数，所以，故．
方法二
由题得，，所以，
因为且是的固着点，所以在上有唯一的解
求导得，
当时，，是上的严格减函数，
所以，所以方程无解；
当时，
(ⅰ)当时，在恒成立，故是上的严格增函数，
所以，所以方程无解；
(ⅱ)当时，如下表
严格减 极小值 严格增
可知在严格减，在严格增，
又，，当时，，
所以方程在无解，在有唯一解，满足题意的的取值范围，
因为是的唯一解，所以，
又，令，
则，所以是上的严格减函数，
所以，即，
又当时，，所以，
又在上有唯一的零点，则，
综上，，此时．

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