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2024-2025学年江苏省南京市第二十九中学高二下学期5月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则的虚部为( )
A. B. C. D.
2.已知圆锥的底面周长为，侧面积为，则该圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
3.欧拉公式由瑞士数学家欧拉发现，其将自然对数的底数，虚数单位与三角函数，联系在一起，被誉为“数学的天桥”根据以上内容，可知在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4.已知，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.若是的边上的一点不包含端点，且，则的最小值是( )
A. B. C. D.
6.已知，若向量与向量互相垂直，则( )
A. B. C. D.
7.古代数学家刘徽编撰的重差是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础现根据刘徽的重差测量一个球体建筑物的高度，已知点是球体建筑物与水平地面的接触点切点，地面上，两点与点在同一条直线上，且在点的同侧若在，处分别测得球体建筑物的最大仰角为和，且，则根据测得的球体高度可计算出球体建筑物的体积为( )
A. B. C. D.
8.定义有序实数对的“跟随函数”为记有序数对的“跟随函数”为，若函数，，若直线与有且仅有四个不同的交点时，实数的取值范围( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 在中，若，则
B. 在中，若，，且该三角形有两解，则的取值范围为
C. 若向量，，则在上的投影向量的坐标为
D. 在中，若，则是等腰三角形
10.设复数在复平面内对应的点为，下列说法正确的是( )
A.
B. 若，且，则
C. 若，则的最大值为
D. 若，则点的集合所构成图形的面积为
11.如图，在长方形中，，，，分别为，的中点，连接，，分别交于点，，将沿直线折起到的位置，如图，则下列说法正确的是( )
A. 在翻折的过程中，恒有平面
B. 若为直线上一点，则点到直线的最短距离为
C. 当二面角的大小为时，
D. 当平面平面时，三棱锥外接球的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知是关于的方程的一个根，则 ．
13.已知，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 ．
14.在锐角中，三内角的对边分别为，且，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
当实数取什么值时，复数分别满足下列条件？
为实数；
为纯虚数；
在复平面内对应的点位于第四象限．
16.本小题分
在中，．
求；
若的面积为，的平分线与边交于点，求的长．
17.本小题分
如图，在直三棱柱中，为的中点在中，内角、、的对边分别为、、，若的面积为．
求；
求证：平面；
求三棱锥的体积．
18.本小题分
如图，为的中线的中点，过点的直线分别交两边于点，记，设．
试用向量表示；
判断是否是定值，若是，求出该定值，若不是，说明理由；
设的面积为的面积为，求的取值范围．
19.本小题分
已知，，分别为三个内角，，的对边，满足，．
求；
在中，若，是的中点，，设与相交于点求的值；
若为锐角三角形，且外接圆圆心为，求和面积之差的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.且
14.
15因为为实数，则，解得或．
因为为纯虚数，则，解得．
因为复数在复平面内对应的点为，
所以，由，得到或，
由，得到，所以
16.解：在中，可得，
所以，
且，
因为，可得，
所以，
又因为，所以，
因为，可得，解得，
又因为，可得，所以．
解：由的面积为，可得，所以，
因为，且，可得为锐角，所以，
又由，
所以，
由正弦定理，可得，即，
联立方程组，可得，
因为，可得，
又因为的平分线与边交于点，设，
因为，所以，
即．
17.．
所以．
又由，可得，所以．
连接，设，连接，

在直三棱柱中，四边形为平行四边形，则为的中点，
又因为为的中点，则，因为平面平面，
因此平面．
因为平面，则点到平面的距离等于点到平面的距离，
所以．
在中，为的中点，，
所以．
因此．
18.为的中点，为的中点，
．
三点共线，，又，
由知，
而不共线，所以，解得
所以为定值．
，
由知，即
则
令且，所以
因为当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，
且，有最小值，最大值，
故．
19.由正弦定理得，则，即，
又，则，
则，
即．
方法一：
以，为基底，设，，则，，；
所以；
，
；
则．
方法二：
以点为坐标原点，为轴，过垂直于的直线为轴，建立直角坐标系，如下图：
易知，，，，，
则，；
可得
设外接圆半径为，则，且，
即，如下图所示：
因为，
所以，
所以，
由，解得，
所以，
令，
则，
所以当时，取得最大值．

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