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【深圳市中考数学备考指南】专题18有关线段长度图形面积或者三角函数值的计算（易2）
1．如图，在⊙O中，OA=1，∠C=60°，则图中阴影部分的面积为　 　
2．（2024八下·富锦期末）如图，将矩形折叠，使点和点重合，折痕为、与交于点．若，，则的长为　 　．
3．如图，正方形ABCD的边长为4，点E、F分别从点A、点D以相同速度同时出发，点E从点A向点D运动，点F从点D向点C运动，点E运动到D点时，E、F停止运动．连接BE、AF相交于点G，连接CG．当线段DG最小时，△BCG的面积S为　 　.
4．如图，在边长为8的等边三角形ABC中，点E是中线AD的中点，点F在AB边上，点G在AC边上，则由线段DG、GE、EF、FD围成的图形周长最小值等于　 　.
5．如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，CD为AB边上中线，BE⊥CD于点E，连接AE交BC于点F，若EF＝2，则CF＝　 　.
6．（2023·深圳模拟）如图，正方形的对角线上有一点，且，点在的延长线上，连接，过点作，交的延长线于点，连接并延长，交的延长线于点，若，，则线段的长是　 　．
7．如图，正方形ABCD中，，点在BC上运动（不与B，~C重合），过点作，交CD于点，则CQ的最大值为　 　．
8．如图，已知是面积为的等边三角形，与DE相交于点F，则的面积等于　 　（结果保留号）．
9．如图，△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，点D在直线BC上运动，连接AD，在AD的右侧作△ADE∽△ABC，点F为AC中点，连接EF，则EF的最小值为　 　．
10．（2024·五莲模拟）如图，在扇形AOB中，正方形CDEF的顶点C是的中点，点D在OB上，点E在OB的延长线上，当正方形CDEF的边长为时，则阴影部分的面积为　 　．
11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．翻折∠C，使点C落在斜边上某一点D处，折痕为EF（点E、F分别在边AC、BC上）．若△CEF与△ABC相似，则AD的长为　 　．
12．如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，P为线段BC上的一动点，且和B，C不重合，连接PA，过点P作PE⊥PA交CD于E，将△PEC沿PE翻折到平面内，使点C恰好落在AD边上的点F，则BP长为　 　.
13．（2024九下·渠县期中）如图，已知点，点B为直线上的一动点，点，于点C，连接．若直线与x轴正半轴所夹的锐角为α，那么当的值最大时，n的值为　 　．
14．如图，在平行四边形ABCD中，△ABD是等边三角形，BD=20，且两个顶点B、D分别在x轴，y轴上滑动，连接OC，则OC的最小值是__.
答案解析部分
1．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；圆周角定理；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：
过点O，作于点，
由题得
故答案为：
【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，过点O，作于点，根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据，结合扇形面积及三角形面积即可求出答案.
2．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠的性质得：，，
四边形是矩形，
，
∵，
（），
，
，，
，
，
∴，
，
．
故答案为：．
【分析】根据折叠性质可得，，再根据矩形性质可得，则，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据勾股定理可得AB，再根据边之间的关系可得BC，再根据勾股定理可得AC，再根据矩形性质即可求出答案.
3．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；勾股定理；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，设AB的中点为点P，连接PD，
∵点G是以点P为圆心AB为直径的圆弧上一点，
∴当点G在PD上时，DG有最小值，
在Rt△ADP中，AP＝AB＝2，AD＝4，
根据勾股定理得，PD，
∴DG的最小值为-2
过点G作BC的垂线与AD相交于点M，与BC相交于N，
∴GM∥PA，
∴△DMG∽△DAP，
∴△BCG的高
故答案为：
【分析】设AB的中点为点P，连接PD，当点G在PD上时，DG有最小值，根据勾股定理可得PD，则DG的最小值为-2，过点G作BC的垂线与AD相交于点M，与BC相交于N，根据相似三角形判定定理可得△DMG∽△DAP，则，代值计算可得，再根据三角形面积即可求出答案.
4．【答案】12
【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，作点D关于直线AB、直线AC的对称点M、N，连接EM、EN交AB、AC于点F、点G，连接EK．
∵FE+FD＝FM+EF＝EM，
根据两点之间线段最短，可知此时FE+FD最短，同理GE+GD最短．即此时DG、GE、EF、FD围成的图形周长最小
∵△ABC是等边三角形，点E是中线AD的中点，
∴AD⊥BD，∠B＝60°，∠BDK＝∠BAD＝30°，∠ADK＝60°，
∴AD＝2DK，
∴DE＝DK，
∴△EDK是等边三角形，
∴∠EKD＝∠KED＝60°，
∵KM＝KD＝DE＝EK，
∴∠M＝∠KEM＝30°，
∴∠MED＝90°，同理∠NED＝90°，
∴M、E、N共线，MN∥BC，
∵AE＝ED，
∴AF＝FB，AG＝GC，
，
∴DG、GE、EF、FD围成的图形周长最小值为12．
故答案为：12
【分析】作点D关于直线AB、直线AC的对称点M、N，连接EM、EN交AB、AC于点F、点G，连接EK，根据两点之间线段最短，可知此时FE+FD最短，同理GE+GD最短．即此时DG、GE、EF、FD围成的图形周长最小，再根据等边三角形性质可得AD⊥BD，∠B＝60°，∠BDK＝∠BAD＝30°，∠ADK＝60°，则DE＝DK，再根据等边三角形判定定理可得△EDK是等边三角形，则∠EKD＝∠KED＝60°，再根据角之间的关系可得∠MED＝90°，同理∠NED＝90°，则M、E、N共线，MN∥BC，再根据边之间的关系即可求出答案.，
5．【答案】
【知识点】勾股定理；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形的中位线定理；已知正切值求边长
【解析】【解答】解：如图，取AF的中点G，连接DG，
∵CD为AB边上中线，
∴DG∥CB，DG＝BF，
∵BE⊥CD，
∴∠ABC＝∠BED＝90°，
∴∠BCD+∠BDE＝∠DBE+∠BDE＝90°，
∴∠DBE＝∠BCD，
∴tan∠DBE＝tan∠BCD，
，
∴CE＝2BE＝4DE，
∵DG∥BC，
，
∴CF＝4DG＝2BF，
，
∴AB＝3BF，
∵EF＝4EG，
∴在Rt△ABF中，根据勾股定理，得
BF2+AB2＝AF2，
解得BF（负值舍去），
故答案为：
【分析】取AF的中点G，连接DG，根据三角形中位线性质可得DG∥CB，DG＝BF，再根据角之间的关系可得∠DBE＝∠BCD，则tan∠DBE＝tan∠BCD，由正切定义可得，则CE＝2BE＝4DE，再根据平行线分线段成比例定理可得，则CF＝4DG＝2BF，即AB＝3BF，再根据边之间的关系可得，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
6．【答案】
【知识点】正方形的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，作FH⊥PE于H．
∵四边形ABCD是正方形，AB=5，
∴AC=5，∠ACD=∠FCH=∠ECG=45°，
∵∠FHC=90°，CF=2，
∴CH=HF=，
∵CE=4AE，
∴CE=4，AE=，
∴EH=5，
在Rt△EFH中，，
∵∠GEF=∠GCF=90°，
∴E，G，F，C四点共圆，
∴∠EFG=∠ECG=45°，
∴∠ECF=∠EFP=135°，
∵∠CEF=∠FEP，
∴△CEF∽△FEP，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】作FH⊥PE于H．根据正方形性质可得AC=5，∠ACD=∠FCH=∠ECG=45°，再根据边之间的关系可得EH=5，根据勾股定理可得，根据圆内接四边形性质可得E，G，F，C四点共圆，由相似三角形判定定理可得△CEF∽△FEP，则，代值计算即可求出答案.
7．【答案】4
【知识点】相似三角形的判定；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵∠BEP+∠BPE=90°，∠QPC+∠BPE=90°，
∴∠BEP=∠CPQ．
又∠B=∠C=90°，
∴△BPE∽△CQP，
，
设CQ=y，BP=x，则CP=12 x，
，化简得，整理得，
所以当x=6时，y有最大值为4．
故答案为：4
【分析】根据角之间的关系可得∠BEP=∠CPQ，再根据相似三角形判定定理可得△BPE∽△CQP，则，设CQ=y，BP=x，则CP=12 x，代入等式，化简可得，结合二次函数性质即可求出答案.
8．【答案】
【知识点】三角形的面积；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：设△ABC的边长为a，则
∴，解得：a=AB=2
∵，
∴AD=1
在△AEF中，∠E=60°，∠EAF=∠DAB=45°，AD=AE=1，
过点F作FH⊥AE于点H，设FH=x，则AH=x，
∴，解得：
∴
故答案为：
【分析】设△ABC的边长为a，则，根据三角形面积建立方程，解方程可得a=AB=2，再根据相似三角形性质可得AD=1，过点F作FH⊥AE于点H，设FH=x，则AH=x，，根据题意建立方程，解方程可得，再根据三角形面积即可求出答案.
9．【答案】
【知识点】相似三角形的判定；解直角三角形；三角形-动点问题；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：作射线CE，设AC交DE于点J，过点A作AH⊥BC于点H．
在Rt△ABH中，
∵∠ACB＝45°
∴
∴
∵△ADE∽△ABC
∴∠JCD=∠AEJ，∠ABC=∠ADE=60°
∵∠AJD=∠DJC
∴△AJE∽△DJC
∴
∴
∵∠AJD=∠EJC
∴△AJD∽△EJC
∴∠ADJ=∠ACE=60°
∴点E的运动轨迹为射线CE
∴当EF⊥CE时，EF的值最小，此时
故答案为：
【分析】作射线CE，设AC交DE于点J，过点A作AH⊥BC于点H，解直角三角形可得，则，再根据相似三角形性质可得∠JCD=∠AEJ，∠ABC=∠ADE=60°，由相似三角形判定定理可得△AJE∽△DJC，则，即，再根据相似三角形判定定理可得△AJD∽△EJC，则∠ADJ=∠ACE=60°，即点E的运动轨迹为射线CE，当EF⊥CE时，EF的值最小，此时，即可求出答案.
10．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；扇形面积的计算；等腰直角三角形；几何图形的面积计算-割补法
11．【答案】或
【知识点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：若△CEF与△ABC相似，分两种情况：
①若CE：CF＝3：4，
∵CE：CF＝AC：BC，
∴EF∥AB．
由折叠性质可知，CD⊥EF，
∴CD⊥AB，即此时CD为AB边上的高．
在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
②若CF：CE＝3：4，
∵△CEF∽△CBA，
∴∠CEF＝∠B．
由折叠性质可知，∠CEF+∠ECD＝90°，
又∵∠A+∠B＝90°，
∴∠A＝∠ECD，
∴AD＝CD．
同理可得：∠B＝∠FCD，CD＝BD，
∴D点为AB的中点，
故答案为：或
【分析】分情况讨论：若CE：CF＝3：4，若CF：CE＝3：4，根据相似三角形性质及折叠性质即可求出答案.
12．【答案】或1
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：过点作AM⊥BF于点M
∵△PEF由△PEC翻折得到
∴△PEF≌△PEC
∴PF=PC，∠FPE=∠EPC
∵ ∠BPA+∠EPC=180°，∠APM+∠EPF=90°
∴∠APB=∠APM
∵∠B=∠AMP=90°，AP=AP
∴△ABP≌△AMP
∴AB=AM=1，BP=PM
设BP=x，则PC=PF=2-x，BP=PM=x
∴MF=2-x-x=2-2x
∵AD∥BC
∴∠APB=∠APF
∴△APE为等腰三角形
∴AF=PF=2-x
在△AMF中，
∴
解得：x=或1
故答案为：或1
【分析】过点作AM⊥BF于点M，根据折叠性质可得△PEF≌△PEC，则PF=PC，∠FPE=∠EPC，再根据角之间的关系可得∠APB=∠APM，由全等三角形判定定理可得△ABP≌△AMP，则AB=AM=1，BP=PM，设BP=x，则PC=PF=2-x，BP=PM=x，MF=2-2x，再根据直线平行性质可得∠APB=∠APF，则AF=PF=2-x，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】二次函数的最值；平行线的性质；解直角三角形
14．【答案】10 10
【知识点】等边三角形的性质；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵△ABD是等边三角形，
∴AB=AD，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴四边形ABCD为菱形，
如图，连接AC、BD交于点E，连接OE，则AC⊥BD，E为BD的中点
∵BD=20，
∴CD=20，DE=10，
∴CE=103，OE=BD=10，
∴CO≥CE OE=10 10，
∴当C、O、E三点在一条线上时，CO有最小值，最小值为10 10，
故答案为：10 10
【分析】根据等边三角形性质可得AB=AD，再根据菱形判定定理可得四边形ABCD为菱形，连接AC、BD交于点E，连接OE，则AC⊥BD，E为BD的中点，根据边之间的关系及三角形三边关系即可求出答案.
1 / 1【深圳市中考数学备考指南】专题18有关线段长度图形面积或者三角函数值的计算（易2）
1．如图，在⊙O中，OA=1，∠C=60°，则图中阴影部分的面积为　 　
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；圆周角定理；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：
过点O，作于点，
由题得
故答案为：
【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，过点O，作于点，根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据，结合扇形面积及三角形面积即可求出答案.
2．（2024八下·富锦期末）如图，将矩形折叠，使点和点重合，折痕为、与交于点．若，，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠的性质得：，，
四边形是矩形，
，
∵，
（），
，
，，
，
，
∴，
，
．
故答案为：．
【分析】根据折叠性质可得，，再根据矩形性质可得，则，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据勾股定理可得AB，再根据边之间的关系可得BC，再根据勾股定理可得AC，再根据矩形性质即可求出答案.
3．如图，正方形ABCD的边长为4，点E、F分别从点A、点D以相同速度同时出发，点E从点A向点D运动，点F从点D向点C运动，点E运动到D点时，E、F停止运动．连接BE、AF相交于点G，连接CG．当线段DG最小时，△BCG的面积S为　 　.
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；勾股定理；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，设AB的中点为点P，连接PD，
∵点G是以点P为圆心AB为直径的圆弧上一点，
∴当点G在PD上时，DG有最小值，
在Rt△ADP中，AP＝AB＝2，AD＝4，
根据勾股定理得，PD，
∴DG的最小值为-2
过点G作BC的垂线与AD相交于点M，与BC相交于N，
∴GM∥PA，
∴△DMG∽△DAP，
∴△BCG的高
故答案为：
【分析】设AB的中点为点P，连接PD，当点G在PD上时，DG有最小值，根据勾股定理可得PD，则DG的最小值为-2，过点G作BC的垂线与AD相交于点M，与BC相交于N，根据相似三角形判定定理可得△DMG∽△DAP，则，代值计算可得，再根据三角形面积即可求出答案.
4．如图，在边长为8的等边三角形ABC中，点E是中线AD的中点，点F在AB边上，点G在AC边上，则由线段DG、GE、EF、FD围成的图形周长最小值等于　 　.
【答案】12
【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，作点D关于直线AB、直线AC的对称点M、N，连接EM、EN交AB、AC于点F、点G，连接EK．
∵FE+FD＝FM+EF＝EM，
根据两点之间线段最短，可知此时FE+FD最短，同理GE+GD最短．即此时DG、GE、EF、FD围成的图形周长最小
∵△ABC是等边三角形，点E是中线AD的中点，
∴AD⊥BD，∠B＝60°，∠BDK＝∠BAD＝30°，∠ADK＝60°，
∴AD＝2DK，
∴DE＝DK，
∴△EDK是等边三角形，
∴∠EKD＝∠KED＝60°，
∵KM＝KD＝DE＝EK，
∴∠M＝∠KEM＝30°，
∴∠MED＝90°，同理∠NED＝90°，
∴M、E、N共线，MN∥BC，
∵AE＝ED，
∴AF＝FB，AG＝GC，
，
∴DG、GE、EF、FD围成的图形周长最小值为12．
故答案为：12
【分析】作点D关于直线AB、直线AC的对称点M、N，连接EM、EN交AB、AC于点F、点G，连接EK，根据两点之间线段最短，可知此时FE+FD最短，同理GE+GD最短．即此时DG、GE、EF、FD围成的图形周长最小，再根据等边三角形性质可得AD⊥BD，∠B＝60°，∠BDK＝∠BAD＝30°，∠ADK＝60°，则DE＝DK，再根据等边三角形判定定理可得△EDK是等边三角形，则∠EKD＝∠KED＝60°，再根据角之间的关系可得∠MED＝90°，同理∠NED＝90°，则M、E、N共线，MN∥BC，再根据边之间的关系即可求出答案.，
5．如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，CD为AB边上中线，BE⊥CD于点E，连接AE交BC于点F，若EF＝2，则CF＝　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形的中位线定理；已知正切值求边长
【解析】【解答】解：如图，取AF的中点G，连接DG，
∵CD为AB边上中线，
∴DG∥CB，DG＝BF，
∵BE⊥CD，
∴∠ABC＝∠BED＝90°，
∴∠BCD+∠BDE＝∠DBE+∠BDE＝90°，
∴∠DBE＝∠BCD，
∴tan∠DBE＝tan∠BCD，
，
∴CE＝2BE＝4DE，
∵DG∥BC，
，
∴CF＝4DG＝2BF，
，
∴AB＝3BF，
∵EF＝4EG，
∴在Rt△ABF中，根据勾股定理，得
BF2+AB2＝AF2，
解得BF（负值舍去），
故答案为：
【分析】取AF的中点G，连接DG，根据三角形中位线性质可得DG∥CB，DG＝BF，再根据角之间的关系可得∠DBE＝∠BCD，则tan∠DBE＝tan∠BCD，由正切定义可得，则CE＝2BE＝4DE，再根据平行线分线段成比例定理可得，则CF＝4DG＝2BF，即AB＝3BF，再根据边之间的关系可得，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
6．（2023·深圳模拟）如图，正方形的对角线上有一点，且，点在的延长线上，连接，过点作，交的延长线于点，连接并延长，交的延长线于点，若，，则线段的长是　 　．
【答案】
【知识点】正方形的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，作FH⊥PE于H．
∵四边形ABCD是正方形，AB=5，
∴AC=5，∠ACD=∠FCH=∠ECG=45°，
∵∠FHC=90°，CF=2，
∴CH=HF=，
∵CE=4AE，
∴CE=4，AE=，
∴EH=5，
在Rt△EFH中，，
∵∠GEF=∠GCF=90°，
∴E，G，F，C四点共圆，
∴∠EFG=∠ECG=45°，
∴∠ECF=∠EFP=135°，
∵∠CEF=∠FEP，
∴△CEF∽△FEP，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】作FH⊥PE于H．根据正方形性质可得AC=5，∠ACD=∠FCH=∠ECG=45°，再根据边之间的关系可得EH=5，根据勾股定理可得，根据圆内接四边形性质可得E，G，F，C四点共圆，由相似三角形判定定理可得△CEF∽△FEP，则，代值计算即可求出答案.
7．如图，正方形ABCD中，，点在BC上运动（不与B，~C重合），过点作，交CD于点，则CQ的最大值为　 　．
【答案】4
【知识点】相似三角形的判定；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵∠BEP+∠BPE=90°，∠QPC+∠BPE=90°，
∴∠BEP=∠CPQ．
又∠B=∠C=90°，
∴△BPE∽△CQP，
，
设CQ=y，BP=x，则CP=12 x，
，化简得，整理得，
所以当x=6时，y有最大值为4．
故答案为：4
【分析】根据角之间的关系可得∠BEP=∠CPQ，再根据相似三角形判定定理可得△BPE∽△CQP，则，设CQ=y，BP=x，则CP=12 x，代入等式，化简可得，结合二次函数性质即可求出答案.
8．如图，已知是面积为的等边三角形，与DE相交于点F，则的面积等于　 　（结果保留号）．
【答案】
【知识点】三角形的面积；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：设△ABC的边长为a，则
∴，解得：a=AB=2
∵，
∴AD=1
在△AEF中，∠E=60°，∠EAF=∠DAB=45°，AD=AE=1，
过点F作FH⊥AE于点H，设FH=x，则AH=x，
∴，解得：
∴
故答案为：
【分析】设△ABC的边长为a，则，根据三角形面积建立方程，解方程可得a=AB=2，再根据相似三角形性质可得AD=1，过点F作FH⊥AE于点H，设FH=x，则AH=x，，根据题意建立方程，解方程可得，再根据三角形面积即可求出答案.
9．如图，△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，点D在直线BC上运动，连接AD，在AD的右侧作△ADE∽△ABC，点F为AC中点，连接EF，则EF的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定；解直角三角形；三角形-动点问题；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：作射线CE，设AC交DE于点J，过点A作AH⊥BC于点H．
在Rt△ABH中，
∵∠ACB＝45°
∴
∴
∵△ADE∽△ABC
∴∠JCD=∠AEJ，∠ABC=∠ADE=60°
∵∠AJD=∠DJC
∴△AJE∽△DJC
∴
∴
∵∠AJD=∠EJC
∴△AJD∽△EJC
∴∠ADJ=∠ACE=60°
∴点E的运动轨迹为射线CE
∴当EF⊥CE时，EF的值最小，此时
故答案为：
【分析】作射线CE，设AC交DE于点J，过点A作AH⊥BC于点H，解直角三角形可得，则，再根据相似三角形性质可得∠JCD=∠AEJ，∠ABC=∠ADE=60°，由相似三角形判定定理可得△AJE∽△DJC，则，即，再根据相似三角形判定定理可得△AJD∽△EJC，则∠ADJ=∠ACE=60°，即点E的运动轨迹为射线CE，当EF⊥CE时，EF的值最小，此时，即可求出答案.
10．（2024·五莲模拟）如图，在扇形AOB中，正方形CDEF的顶点C是的中点，点D在OB上，点E在OB的延长线上，当正方形CDEF的边长为时，则阴影部分的面积为　 　．
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；扇形面积的计算；等腰直角三角形；几何图形的面积计算-割补法
11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．翻折∠C，使点C落在斜边上某一点D处，折痕为EF（点E、F分别在边AC、BC上）．若△CEF与△ABC相似，则AD的长为　 　．
【答案】或
【知识点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：若△CEF与△ABC相似，分两种情况：
①若CE：CF＝3：4，
∵CE：CF＝AC：BC，
∴EF∥AB．
由折叠性质可知，CD⊥EF，
∴CD⊥AB，即此时CD为AB边上的高．
在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
②若CF：CE＝3：4，
∵△CEF∽△CBA，
∴∠CEF＝∠B．
由折叠性质可知，∠CEF+∠ECD＝90°，
又∵∠A+∠B＝90°，
∴∠A＝∠ECD，
∴AD＝CD．
同理可得：∠B＝∠FCD，CD＝BD，
∴D点为AB的中点，
故答案为：或
【分析】分情况讨论：若CE：CF＝3：4，若CF：CE＝3：4，根据相似三角形性质及折叠性质即可求出答案.
12．如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，P为线段BC上的一动点，且和B，C不重合，连接PA，过点P作PE⊥PA交CD于E，将△PEC沿PE翻折到平面内，使点C恰好落在AD边上的点F，则BP长为　 　.
【答案】或1
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：过点作AM⊥BF于点M
∵△PEF由△PEC翻折得到
∴△PEF≌△PEC
∴PF=PC，∠FPE=∠EPC
∵ ∠BPA+∠EPC=180°，∠APM+∠EPF=90°
∴∠APB=∠APM
∵∠B=∠AMP=90°，AP=AP
∴△ABP≌△AMP
∴AB=AM=1，BP=PM
设BP=x，则PC=PF=2-x，BP=PM=x
∴MF=2-x-x=2-2x
∵AD∥BC
∴∠APB=∠APF
∴△APE为等腰三角形
∴AF=PF=2-x
在△AMF中，
∴
解得：x=或1
故答案为：或1
【分析】过点作AM⊥BF于点M，根据折叠性质可得△PEF≌△PEC，则PF=PC，∠FPE=∠EPC，再根据角之间的关系可得∠APB=∠APM，由全等三角形判定定理可得△ABP≌△AMP，则AB=AM=1，BP=PM，设BP=x，则PC=PF=2-x，BP=PM=x，MF=2-2x，再根据直线平行性质可得∠APB=∠APF，则AF=PF=2-x，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
13．（2024九下·渠县期中）如图，已知点，点B为直线上的一动点，点，于点C，连接．若直线与x轴正半轴所夹的锐角为α，那么当的值最大时，n的值为　 　．
【答案】
【知识点】二次函数的最值；平行线的性质；解直角三角形
14．如图，在平行四边形ABCD中，△ABD是等边三角形，BD=20，且两个顶点B、D分别在x轴，y轴上滑动，连接OC，则OC的最小值是__.
【答案】10 10
【知识点】等边三角形的性质；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵△ABD是等边三角形，
∴AB=AD，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴四边形ABCD为菱形，
如图，连接AC、BD交于点E，连接OE，则AC⊥BD，E为BD的中点
∵BD=20，
∴CD=20，DE=10，
∴CE=103，OE=BD=10，
∴CO≥CE OE=10 10，
∴当C、O、E三点在一条线上时，CO有最小值，最小值为10 10，
故答案为：10 10
【分析】根据等边三角形性质可得AB=AD，再根据菱形判定定理可得四边形ABCD为菱形，连接AC、BD交于点E，连接OE，则AC⊥BD，E为BD的中点，根据边之间的关系及三角形三边关系即可求出答案.
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