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广东省深圳市罗湖区部分学校2025年中考数学二模试卷
1．（2025·罗湖模拟）下列互为倒数的是（　　）
A．3和 B．-2和2 C．3和 D．-2和
【答案】A
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：A．因为，所以3和是互为倒数，因此选项符合题意；
B．因为，所以-2与2不是互为倒数，因此选项不符合题意；
C．因为，所以3和不是互为倒数，因此选项不符合题意；
D．因为，所以-2和不是互为倒数，因此选项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据倒数的定义逐项判断即可。
2．（2025·罗湖模拟）下列图形中，主视图和左视图一样的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A．主视图和左视图不相同，故本选项不合题意；
B．主视图和左视图不相同，故本选项不合题意；
C．主视图和左视图不相同，故本选项不合题意；
D．主视图和左视图相同，故本选项符合题意；
故选：D．
【分析】根据几何体的三视图即可求出答案.
3．（2025·罗湖模拟）据悉，超级磁力风力发电机可以大幅度提升风力发电效率，但其造价高昂，每座磁力风力发电机，其建造花费估计要5 300万美元，“5 300万”用科学记数法可表示为（　　）
A．5.3×103 B．5.3×104 C．5.3×107 D．5.3×108
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】5300万=53000000= .
故答案为：C.
【分析】科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示成a ×10n，的形式，其中1 ≤∣a ∣＜10， n是原数的整数位数减一。
4．（2025·罗湖模拟）一元二次方程的根为（　　）
A． B．
C．， D．，
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
即，
解得：，，
故选：C．
【分析】移项，提公因式进行因式分解，再解方程即可求出答案.
5．（2025·罗湖模拟）新冠疫情防控形势下，学校要求学生每日测量体温．某同学连续一周的体温情况如表所示，则该同学这一周的体温数据的众数和中位数分别是（　　）
日期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期天
体温 36.3 36.7 36.2 36.3 36.2 36.4 36.3
A．36.3和36.2 B．36.2和36.3 C．36.3和36.3 D．36.2和36.1
【答案】C
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：由题意可得：
将数据按从小到大的顺序排列为：36.2、36.2、36.2、36.3、36.3、36.4、36.5、
∴中位数为36.3
36.3出现的次数最多则众数为36.3
故答案为：C
【分析】根据众数与中位数的定义即可求出答案.
6．（2025·罗湖模拟）我国古代数学经典著作《九章算术》中有这样一题，原文是：今有共买物，人出七，盈二；人出六，不足三．问人数、物价各几何？”意思是：今有人合伙购物，每人出七钱，会多二钱；每人出六钱，又差三钱，问人数、货物总价各多少？设人数为x人，货物总价为y钱，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据题意列方程组为 ，
故答案为：A．
【分析】由每人出七钱，会多二钱，由每人出六钱，又差三钱
7．（2025·罗湖模拟）为出行方便，越来越多的市民使用起了共享单车，图1为单车实物图，图2为单车示意图，AB与地面平行，坐垫可沿射线BE方向调节．已知，车轮半径为30cm，当时，小明体验后觉得骑着比较舒适，此时坐垫离地面高度约为（　　）（结果精确到1cm，参考数据：）
A．99cm B．90cm C．80cm D．69cm
【答案】A
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：作CH⊥AB于点H，作AP⊥地面于点P
由题意可得：AP=30，BC=70，
∴
∴坐垫离地面高度约为：AP+CH=30+68.6=98.6≈99
故答案为：A
【分析】作CH⊥AB于点H，作AP⊥地面于点P，解直角三角形即可求出答案.
8．（2025·罗湖模拟）如图，在边长为正方形中，点在以为圆心的弧上，射线交于，连接，若，则=（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的性质；圆周角定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图所示，设射线交于点，连接，
∵，
∴是的直径，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】设射线交于点，连接，根据圆周角定理可得是的直径，即得，由正方形的性质可得，利用勾股定理求出GD=4，根据余角的性质可得∠DCE=∠G，可得，据此即可求解.
9．（2025·罗湖模拟）分解因式：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：由题意可得：
故答案为：
【分析】提公因数，结合平方差公式进行因式分解即可求出答案.
10．（2025·罗湖模拟）已知方程的两根为，则　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】∵方程的两根为，
∴，
，
∴
故答案为：．
【分析】由根与系数的关系可得，，由于，然后整体代入计算即可.
11．（2025·罗湖模拟）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）AB经小孔在屏幕（竖直放置）上成像，设，，小孔到AB的距离为30cm，则小孔到的距离为　 　cm．
【答案】20
【知识点】相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：设小孔O到A'B'的距离为xcm
由题意可得：△ABO∽△A'B'O
∴
解得：x=20
故答案为：20
【分析】设小孔O到A'B'的距离为xcm，根据相似三角形性质可得，解方程即可求出答案.
12．（2025·罗湖模拟）如图，已知．现按如下步骤作图：①以为圆心，以任意长为半径画弧，分别交OA，OB于C，D；②分别以C，D为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，连接EO交于；③以为圆心，OD长为半径画弧，交OE于点；④以为圆心，DF长为半径画弧，交前弧于点；⑤作射线EH交OA于点．若测得，则点到OB的距离为　 　．
【答案】3
【知识点】平行线的判定；含30°角的直角三角形；尺规作图-直线、射线、线段；尺规作图-作角的平分线；补角
13．（2025·罗湖模拟）如图，A，C是反比例函数图象上的点，过点A，C分别作轴，轴，垂足分别是点B，D，连接、、，线段交于点E，且E恰好是的中点．当的面积为时，k的值是　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
14．（2025·罗湖模拟）
（1）计算：
（2）先化简，再求值，其中．
【答案】（1）解：原式
（2）解：
，
当时，原式．
【知识点】分式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值
【解析】【分析】（1）根据0指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值的性质，负整数指数幂化简，再计算加减即可求出答案.
（2）根据分式的混合运算，结合完全平方公式化简，再将x值代入即可求出答案.
15．（2025·罗湖模拟）某校九年级计划组织学生外出开展研学活动，在选择研学活动地点时，随机抽取了部分学生进行调查，要求被调查的学生从A，B，C，D四个研学活动地点中选择自己最喜欢的一个．根据调查结果，编制了如下两幅不完整的统计图，根据图中信息，解答下列问题：
（1）此次被调查的学生共有 ▲ 人，研学活动地点A所在扇形的圆心角的度数为 ▲ ；
（2）若该年级共有800名学生，请估计最喜欢去C地研学的学生人数；
（3）九（1）班研学归来，班主任组织学生进行研学收获及感悟交流分享会，A小组有两名男同学和两名女同学，从A小组中随机选取2人谈收获及感悟，请用列表法或画树状图法，求恰好抽中两名同学为一男一女的概率.
【答案】（1）100；；
（2）解：（人），
答：估计最喜欢去C地研学的学生人数大约有320人．
（3）解：列表如下：
男1 男2 女1 女2
男1 　 男1男2 男1女1 男1女2
男2 男2男1 　 男2女1 男2女2
女1 女1男1 女1男2 　 女1女2
女2 女2男1 女2男2 女2女1 　
由上表可知共有12种等可能的结果，其中刚好抽中一男一女的结果有8种，
刚好抽中两名同学为一男一女的概率为：（一男一女）
答：刚好抽中两名同学为一男一女的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）此次被调查的学生共有（人）；
研学活动地点A所在扇形的圆心角的度数为．
故答案为：100；；
【分析】（1）根据B地点的占比及人数可得总人数，再根据A地点的占比乘以360°即可求出答案.
（2）根据800乘以C地的占比即可求出答案.
（3）列出表格，求出所有等可能的结果，再求出刚好抽中两名同学为一男一女的结果，再根据概率公式即可求出答案.
16．（2025·罗湖模拟）钓鱼岛及其附属岛屿是中国的固有领土，神圣不可侵犯！自2021年2月1日起，旨在维护国家主权、更好履行海警机构职责的《中华人民共和国海警法》正式实施．中国海警在钓鱼岛海域开展巡航执法活动，是中方依法维护主权的正当举措．如图是钓鱼岛其中一个岛礁，若某测量船在海面上的点D处测得与斜坡AC坡脚点C的距离为140米，测得岛礁顶端A的仰角为30.96°，以及该斜坡AC的坡度i＝，求该岛礁的高（即点A到海平面的铅垂高度）．（结果保留整数）（参考数据：sin30.96°≈0.51，cos30.96°≈0.85，tan30.96°≈0.60）
【答案】解：如图
∵斜坡AC的坡度i＝，
∴AB：BC＝5：6，
故可设AB＝5x米，BC＝6x米，
在Rt△ADB中，∠D＝30.96°，BD＝（140+6x）米，
∴tan30.96°＝＝0.60，
解得：x＝60（米），
经检验，x＝60是方程的解，
∴5x＝300（米），
答：该岛礁的高AB为300米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】由坡度可得AB：BC＝5：6，可设AB＝5x米，BC＝6x米，则BD＝（140+6x）米 由tanD=可建立关于x方程并解之即可.
17．（2025·罗湖模拟）“双减政策”要求学校更注重“减负增效”，学校为了保证学生的视力，倡导学生购买护眼灯．某商场为了保证供应充足，购进两种不同类型的护眼灯，若用3120元和4200元购进型和型护眼灯的数量相同，其中每台型护眼灯比型护眼灯便宜9元．
（1）求该商场购进每台型和型护眼灯的成本价．
（2）该商场经过调查发现，型护眼灯售价为36元时，可以卖出100台．每涨价1元，则每天少售出2台．求每台型护眼灯升价多少元时，销售利润最大？
【答案】（1）解：设型护眼灯每台的成本价是元，则型护眼灯每台的成本价是元，由题意得，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：型护眼灯每台的成本价是26元，则型护眼灯每台的成本价是35元；
（2）解：设每台型护眼灯升价元，获得利润为元，
根据题意得：
，
，
，
当时，取最大值，最大值为1800，
答：每台型护眼灯升价20元时，销售利润最大．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设型护眼灯每台的成本价是元，则型护眼灯每台的成本价是元，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设每台型护眼灯升价元，获得利润为元，根据题意建立关系式，结合二次函数性质即可求出答案.
18．（2025·罗湖模拟）如图，在中，，以AB为直径的交边AC于点，连接BD，过点作．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作图：过点作的切线，交CE于点；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）
（2）在（1）的条件下，求证：；
（3）在（1）的条件下，，求的半径．
【答案】（1）解：方法不唯一，如图所示．
（2）证明：，
．
又，
，
．
点在以AB为直径的圆上，
，
．
又为的切线，
．
，
，
，
．
在和△BCF中，
．
．
（3）解：由（2）得：，
，
，
设，
，
，
，
解得：，
的半径为5．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；圆周角定理；切线的性质；尺规作图-过圆外一点作圆的切线
【解析】【分析】（1）根据切线性质作图即可求出答案.
（2）根据等边对等角可得，再根据直线平行性质可得，则，根据圆周角定理可得，则，再根据切线性质可得，根据直线平行性质可得，再根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
（3）根据全等三角形判定定理可得，则，设，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
19．（2025·罗湖模拟）【定义】在平面内，把一个图形上任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值，称为这两个图形之间的距离，即A、分别是图形和图形上任意一点，当AB的长最小时，称这个最小值为图形与图形之间的距离．
例如，如图1，，线段AB的长度称为点A与直线之间的距离．当时，线段AB的长度也是与之间的距离．
（1）如图2，在等腰直角三角形BAC中，，点为AB边上一点，过点作交AC于点．若，则DE与BC之间的距离是　 　；
（2）如图3，已知直线与双曲线交于与两点，点A与点之间的距离是　 　，点与双曲线之间的距离是　 　；
（3）【拓展】
按规定，住宅小区的外延到高架路的距离不超过80m时，需要在高架路旁修建与高架路相同走向的隔音屏障（如图4）．有一条“东南一西北”走向的笔直高架路，路旁某住宅小区建筑外延呈双曲线的形状，它们之间的距离小于80m.现以高架路上某一合适位置为坐标原点，建立如图5所示的平面直角坐标系，此时高架路所在直线的函数表达式为，小区外延所在双曲线的函数表达式为，那么需要在高架路旁修建隔音屏障的长度是多少？
【答案】（1）
（2）；
（3）解：如图，作直线，设AB的解析式为，与双曲线交于点，过点作于点，过点作轴于点，过点分别作直线的垂线AE、BF，垂足为E、F，
则，
直线平分第二、四象限角，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
代入，得，
解得：，
，
联立得：，
解得：或，
，
，
，
四边形ABFE是平行四边形，
，
四边形ABFE是矩形，
，
答：需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是40米．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；等腰直角三角形；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：（1）过点D作DH⊥BC于点H
∵∠A=90°，AB=AC
∴∠B=45°
∵DH⊥BC
∴△BDH是等腰直角三角形
∴
∵
∴BD=AB-AD=4
∴
故答案为：
（2）将代入，可得m=6
∴A(2，6)
将A(2，6)代入，可得k=2×6=12
∴双曲线
联立，整理得：
解得：x1=2，x2=6
∴B(6，2)
∴
作FC∥AB，且FG与双曲线只有一个交点
设直线FG的解析式为y=-x+b
则，整理得：
∴
解得；或(舍去)
∴直线FG的解析式为
由
解得：
∴
∴
故答案为：，
【分析】（1）过点D作DH⊥BC于点H，由题意可得∠B=45°，根据等腰直角三角形判定定理可得△BDH是等腰直角三角形，则，根据边之间的关系即可求出答案.
（2）将点A坐标代入直线解析式可得A(2，6)，再根据待定系数法将点A坐标代入双曲线解析式可得双曲线，联立直线解析式可得B(6，2)，根据两点间距离可得AB，作FC∥AB，且FG与双曲线只有一个交点，设直线FG的解析式为y=-x+b，联立双曲线解析式可得，根据判别式，解方程可得直线FG的解析式为，再联立双曲线解析式可得，再根据两点间距离即可求出答案.
（3）作直线，设AB的解析式为，与双曲线交于点，过点作于点，过点作轴于点，过点分别作直线的垂线AE、BF，垂足为E、F，则，根据直线性质可得，根据等腰直角三角形判定定理可得是等腰直角三角形，则，即，根据待定系数法将点代入直线解析式可得，联立双曲线，解方程可得，再根据两点间距离可得AB，根据矩形判定定理可得四边形ABFE是矩形，则，即可求出答案.
20．（2025·罗湖模拟）问题探究：如图1，在正方形ABCD，点E，Q分别在边BC，AB上，于点，点G，F分别在边CD、AB上，．
（1）①判断DQ与AE的数量关系：DQ　 　AE；
②推断：　 　（填数值）；
（2）类比探究：如图2，在矩形ABCD中，．将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点处，得到四边形FEPG，EP交CD于点，连接AE交GF于点．试探究GF与AE之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展应用1：如图3，四边形ABCD中，，，点M，N分别在边BC、AB上，求的值．
（4）拓展应用2：如图2，在（2）的条件下，连接CP，若，求CP的长．
【答案】（1）=；1
（2）解：结论：．
理由：如图2中，过点作于．
根据折叠的性质可得，，
，
，
，
，
，
，
四边形AMGD是矩形，
，
．
（3）解：如图3，过点作，交BC的延长线于点，过点A作，连接AC，
∵∠ABC=90°，，
∴四边形ABFE是矩形，
，
，
，
，
，且，
，且，
，
，
，
，
，
（不合题意，舍去），，
，
由（2）的结论可知：．
（4）解：如图2中，过点作交BC的延长线于．
∵，
设，
，
，
，
或-1（舍弃），
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）①∵四边形ABCD是正方形
∴AB=DA，∠ABE=90°=∠DAQ
∴∠QAO+∠OAD=90°
∵AE⊥DH
∴∠ADO+∠OAD=90°
∴∠QAO=∠ADO
在△ABE和△DAQ中
∴△ABE≌△DAQ
∴AE=DQ
故答案为：=
②
∵DQ⊥AE，FG⊥AE
∴DQ∥FG
∵FQ∥DG
∴四边形DQFG是平行四边形
∴FG=DQ
∵AE=DQ
∴FG=AE
∴
故答案为：1
【分析】（1）①根据正方形性质可得AB=DA，∠ABE=90°=∠DAQ，根据角之间的关系可得∠QAO=∠ADO，再根据全等三角形判定定理可得△ABE≌△DAQ，则AE=DQ，即可求出答案.
②根据直线平行判定定理可得DQ∥FG，再根据平行四边形判定定理可得四边形DQFG是平行四边形，则FG=DQ，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）过点作于，根据折叠性质可得，再根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，根据矩形判定定理可得四边形AMGD是矩形，则，即可求出答案.
（3）过点作，交BC的延长线于点，过点A作，连接AC，根据矩形判定定理可得四边形ABFE是矩形，则，根据全等三角形判定定理可得，则，根据相似三角形判定定理可得，则，即，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
（4）过点作交BC的延长线于，设，根据边之间的关系可得，根据勾股定理建立方程，解方程可得，再根据边之间的关系可得，根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得，根据边之间的关系可得CN，再根据勾股定理即可求出答案.
1 / 1广东省深圳市罗湖区部分学校2025年中考数学二模试卷
1．（2025·罗湖模拟）下列互为倒数的是（　　）
A．3和 B．-2和2 C．3和 D．-2和
2．（2025·罗湖模拟）下列图形中，主视图和左视图一样的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·罗湖模拟）据悉，超级磁力风力发电机可以大幅度提升风力发电效率，但其造价高昂，每座磁力风力发电机，其建造花费估计要5 300万美元，“5 300万”用科学记数法可表示为（　　）
A．5.3×103 B．5.3×104 C．5.3×107 D．5.3×108
4．（2025·罗湖模拟）一元二次方程的根为（　　）
A． B．
C．， D．，
5．（2025·罗湖模拟）新冠疫情防控形势下，学校要求学生每日测量体温．某同学连续一周的体温情况如表所示，则该同学这一周的体温数据的众数和中位数分别是（　　）
日期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期天
体温 36.3 36.7 36.2 36.3 36.2 36.4 36.3
A．36.3和36.2 B．36.2和36.3 C．36.3和36.3 D．36.2和36.1
6．（2025·罗湖模拟）我国古代数学经典著作《九章算术》中有这样一题，原文是：今有共买物，人出七，盈二；人出六，不足三．问人数、物价各几何？”意思是：今有人合伙购物，每人出七钱，会多二钱；每人出六钱，又差三钱，问人数、货物总价各多少？设人数为x人，货物总价为y钱，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
7．（2025·罗湖模拟）为出行方便，越来越多的市民使用起了共享单车，图1为单车实物图，图2为单车示意图，AB与地面平行，坐垫可沿射线BE方向调节．已知，车轮半径为30cm，当时，小明体验后觉得骑着比较舒适，此时坐垫离地面高度约为（　　）（结果精确到1cm，参考数据：）
A．99cm B．90cm C．80cm D．69cm
8．（2025·罗湖模拟）如图，在边长为正方形中，点在以为圆心的弧上，射线交于，连接，若，则=（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·罗湖模拟）分解因式：　 　．
10．（2025·罗湖模拟）已知方程的两根为，则　 　．
11．（2025·罗湖模拟）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）AB经小孔在屏幕（竖直放置）上成像，设，，小孔到AB的距离为30cm，则小孔到的距离为　 　cm．
12．（2025·罗湖模拟）如图，已知．现按如下步骤作图：①以为圆心，以任意长为半径画弧，分别交OA，OB于C，D；②分别以C，D为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，连接EO交于；③以为圆心，OD长为半径画弧，交OE于点；④以为圆心，DF长为半径画弧，交前弧于点；⑤作射线EH交OA于点．若测得，则点到OB的距离为　 　．
13．（2025·罗湖模拟）如图，A，C是反比例函数图象上的点，过点A，C分别作轴，轴，垂足分别是点B，D，连接、、，线段交于点E，且E恰好是的中点．当的面积为时，k的值是　 　．
14．（2025·罗湖模拟）
（1）计算：
（2）先化简，再求值，其中．
15．（2025·罗湖模拟）某校九年级计划组织学生外出开展研学活动，在选择研学活动地点时，随机抽取了部分学生进行调查，要求被调查的学生从A，B，C，D四个研学活动地点中选择自己最喜欢的一个．根据调查结果，编制了如下两幅不完整的统计图，根据图中信息，解答下列问题：
（1）此次被调查的学生共有 ▲ 人，研学活动地点A所在扇形的圆心角的度数为 ▲ ；
（2）若该年级共有800名学生，请估计最喜欢去C地研学的学生人数；
（3）九（1）班研学归来，班主任组织学生进行研学收获及感悟交流分享会，A小组有两名男同学和两名女同学，从A小组中随机选取2人谈收获及感悟，请用列表法或画树状图法，求恰好抽中两名同学为一男一女的概率.
16．（2025·罗湖模拟）钓鱼岛及其附属岛屿是中国的固有领土，神圣不可侵犯！自2021年2月1日起，旨在维护国家主权、更好履行海警机构职责的《中华人民共和国海警法》正式实施．中国海警在钓鱼岛海域开展巡航执法活动，是中方依法维护主权的正当举措．如图是钓鱼岛其中一个岛礁，若某测量船在海面上的点D处测得与斜坡AC坡脚点C的距离为140米，测得岛礁顶端A的仰角为30.96°，以及该斜坡AC的坡度i＝，求该岛礁的高（即点A到海平面的铅垂高度）．（结果保留整数）（参考数据：sin30.96°≈0.51，cos30.96°≈0.85，tan30.96°≈0.60）
17．（2025·罗湖模拟）“双减政策”要求学校更注重“减负增效”，学校为了保证学生的视力，倡导学生购买护眼灯．某商场为了保证供应充足，购进两种不同类型的护眼灯，若用3120元和4200元购进型和型护眼灯的数量相同，其中每台型护眼灯比型护眼灯便宜9元．
（1）求该商场购进每台型和型护眼灯的成本价．
（2）该商场经过调查发现，型护眼灯售价为36元时，可以卖出100台．每涨价1元，则每天少售出2台．求每台型护眼灯升价多少元时，销售利润最大？
18．（2025·罗湖模拟）如图，在中，，以AB为直径的交边AC于点，连接BD，过点作．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作图：过点作的切线，交CE于点；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）
（2）在（1）的条件下，求证：；
（3）在（1）的条件下，，求的半径．
19．（2025·罗湖模拟）【定义】在平面内，把一个图形上任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值，称为这两个图形之间的距离，即A、分别是图形和图形上任意一点，当AB的长最小时，称这个最小值为图形与图形之间的距离．
例如，如图1，，线段AB的长度称为点A与直线之间的距离．当时，线段AB的长度也是与之间的距离．
（1）如图2，在等腰直角三角形BAC中，，点为AB边上一点，过点作交AC于点．若，则DE与BC之间的距离是　 　；
（2）如图3，已知直线与双曲线交于与两点，点A与点之间的距离是　 　，点与双曲线之间的距离是　 　；
（3）【拓展】
按规定，住宅小区的外延到高架路的距离不超过80m时，需要在高架路旁修建与高架路相同走向的隔音屏障（如图4）．有一条“东南一西北”走向的笔直高架路，路旁某住宅小区建筑外延呈双曲线的形状，它们之间的距离小于80m.现以高架路上某一合适位置为坐标原点，建立如图5所示的平面直角坐标系，此时高架路所在直线的函数表达式为，小区外延所在双曲线的函数表达式为，那么需要在高架路旁修建隔音屏障的长度是多少？
20．（2025·罗湖模拟）问题探究：如图1，在正方形ABCD，点E，Q分别在边BC，AB上，于点，点G，F分别在边CD、AB上，．
（1）①判断DQ与AE的数量关系：DQ　 　AE；
②推断：　 　（填数值）；
（2）类比探究：如图2，在矩形ABCD中，．将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点处，得到四边形FEPG，EP交CD于点，连接AE交GF于点．试探究GF与AE之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展应用1：如图3，四边形ABCD中，，，点M，N分别在边BC、AB上，求的值．
（4）拓展应用2：如图2，在（2）的条件下，连接CP，若，求CP的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：A．因为，所以3和是互为倒数，因此选项符合题意；
B．因为，所以-2与2不是互为倒数，因此选项不符合题意；
C．因为，所以3和不是互为倒数，因此选项不符合题意；
D．因为，所以-2和不是互为倒数，因此选项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据倒数的定义逐项判断即可。
2．【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A．主视图和左视图不相同，故本选项不合题意；
B．主视图和左视图不相同，故本选项不合题意；
C．主视图和左视图不相同，故本选项不合题意；
D．主视图和左视图相同，故本选项符合题意；
故选：D．
【分析】根据几何体的三视图即可求出答案.
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】5300万=53000000= .
故答案为：C.
【分析】科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示成a ×10n，的形式，其中1 ≤∣a ∣＜10， n是原数的整数位数减一。
4．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
即，
解得：，，
故选：C．
【分析】移项，提公因式进行因式分解，再解方程即可求出答案.
5．【答案】C
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：由题意可得：
将数据按从小到大的顺序排列为：36.2、36.2、36.2、36.3、36.3、36.4、36.5、
∴中位数为36.3
36.3出现的次数最多则众数为36.3
故答案为：C
【分析】根据众数与中位数的定义即可求出答案.
6．【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据题意列方程组为 ，
故答案为：A．
【分析】由每人出七钱，会多二钱，由每人出六钱，又差三钱
7．【答案】A
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：作CH⊥AB于点H，作AP⊥地面于点P
由题意可得：AP=30，BC=70，
∴
∴坐垫离地面高度约为：AP+CH=30+68.6=98.6≈99
故答案为：A
【分析】作CH⊥AB于点H，作AP⊥地面于点P，解直角三角形即可求出答案.
8．【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的性质；圆周角定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图所示，设射线交于点，连接，
∵，
∴是的直径，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】设射线交于点，连接，根据圆周角定理可得是的直径，即得，由正方形的性质可得，利用勾股定理求出GD=4，根据余角的性质可得∠DCE=∠G，可得，据此即可求解.
9．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：由题意可得：
故答案为：
【分析】提公因数，结合平方差公式进行因式分解即可求出答案.
10．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】∵方程的两根为，
∴，
，
∴
故答案为：．
【分析】由根与系数的关系可得，，由于，然后整体代入计算即可.
11．【答案】20
【知识点】相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：设小孔O到A'B'的距离为xcm
由题意可得：△ABO∽△A'B'O
∴
解得：x=20
故答案为：20
【分析】设小孔O到A'B'的距离为xcm，根据相似三角形性质可得，解方程即可求出答案.
12．【答案】3
【知识点】平行线的判定；含30°角的直角三角形；尺规作图-直线、射线、线段；尺规作图-作角的平分线；补角
13．【答案】
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
14．【答案】（1）解：原式
（2）解：
，
当时，原式．
【知识点】分式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值
【解析】【分析】（1）根据0指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值的性质，负整数指数幂化简，再计算加减即可求出答案.
（2）根据分式的混合运算，结合完全平方公式化简，再将x值代入即可求出答案.
15．【答案】（1）100；；
（2）解：（人），
答：估计最喜欢去C地研学的学生人数大约有320人．
（3）解：列表如下：
男1 男2 女1 女2
男1 　 男1男2 男1女1 男1女2
男2 男2男1 　 男2女1 男2女2
女1 女1男1 女1男2 　 女1女2
女2 女2男1 女2男2 女2女1 　
由上表可知共有12种等可能的结果，其中刚好抽中一男一女的结果有8种，
刚好抽中两名同学为一男一女的概率为：（一男一女）
答：刚好抽中两名同学为一男一女的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）此次被调查的学生共有（人）；
研学活动地点A所在扇形的圆心角的度数为．
故答案为：100；；
【分析】（1）根据B地点的占比及人数可得总人数，再根据A地点的占比乘以360°即可求出答案.
（2）根据800乘以C地的占比即可求出答案.
（3）列出表格，求出所有等可能的结果，再求出刚好抽中两名同学为一男一女的结果，再根据概率公式即可求出答案.
16．【答案】解：如图
∵斜坡AC的坡度i＝，
∴AB：BC＝5：6，
故可设AB＝5x米，BC＝6x米，
在Rt△ADB中，∠D＝30.96°，BD＝（140+6x）米，
∴tan30.96°＝＝0.60，
解得：x＝60（米），
经检验，x＝60是方程的解，
∴5x＝300（米），
答：该岛礁的高AB为300米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】由坡度可得AB：BC＝5：6，可设AB＝5x米，BC＝6x米，则BD＝（140+6x）米 由tanD=可建立关于x方程并解之即可.
17．【答案】（1）解：设型护眼灯每台的成本价是元，则型护眼灯每台的成本价是元，由题意得，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：型护眼灯每台的成本价是26元，则型护眼灯每台的成本价是35元；
（2）解：设每台型护眼灯升价元，获得利润为元，
根据题意得：
，
，
，
当时，取最大值，最大值为1800，
答：每台型护眼灯升价20元时，销售利润最大．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设型护眼灯每台的成本价是元，则型护眼灯每台的成本价是元，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设每台型护眼灯升价元，获得利润为元，根据题意建立关系式，结合二次函数性质即可求出答案.
18．【答案】（1）解：方法不唯一，如图所示．
（2）证明：，
．
又，
，
．
点在以AB为直径的圆上，
，
．
又为的切线，
．
，
，
，
．
在和△BCF中，
．
．
（3）解：由（2）得：，
，
，
设，
，
，
，
解得：，
的半径为5．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；圆周角定理；切线的性质；尺规作图-过圆外一点作圆的切线
【解析】【分析】（1）根据切线性质作图即可求出答案.
（2）根据等边对等角可得，再根据直线平行性质可得，则，根据圆周角定理可得，则，再根据切线性质可得，根据直线平行性质可得，再根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
（3）根据全等三角形判定定理可得，则，设，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
19．【答案】（1）
（2）；
（3）解：如图，作直线，设AB的解析式为，与双曲线交于点，过点作于点，过点作轴于点，过点分别作直线的垂线AE、BF，垂足为E、F，
则，
直线平分第二、四象限角，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
代入，得，
解得：，
，
联立得：，
解得：或，
，
，
，
四边形ABFE是平行四边形，
，
四边形ABFE是矩形，
，
答：需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是40米．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；等腰直角三角形；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：（1）过点D作DH⊥BC于点H
∵∠A=90°，AB=AC
∴∠B=45°
∵DH⊥BC
∴△BDH是等腰直角三角形
∴
∵
∴BD=AB-AD=4
∴
故答案为：
（2）将代入，可得m=6
∴A(2，6)
将A(2，6)代入，可得k=2×6=12
∴双曲线
联立，整理得：
解得：x1=2，x2=6
∴B(6，2)
∴
作FC∥AB，且FG与双曲线只有一个交点
设直线FG的解析式为y=-x+b
则，整理得：
∴
解得；或(舍去)
∴直线FG的解析式为
由
解得：
∴
∴
故答案为：，
【分析】（1）过点D作DH⊥BC于点H，由题意可得∠B=45°，根据等腰直角三角形判定定理可得△BDH是等腰直角三角形，则，根据边之间的关系即可求出答案.
（2）将点A坐标代入直线解析式可得A(2，6)，再根据待定系数法将点A坐标代入双曲线解析式可得双曲线，联立直线解析式可得B(6，2)，根据两点间距离可得AB，作FC∥AB，且FG与双曲线只有一个交点，设直线FG的解析式为y=-x+b，联立双曲线解析式可得，根据判别式，解方程可得直线FG的解析式为，再联立双曲线解析式可得，再根据两点间距离即可求出答案.
（3）作直线，设AB的解析式为，与双曲线交于点，过点作于点，过点作轴于点，过点分别作直线的垂线AE、BF，垂足为E、F，则，根据直线性质可得，根据等腰直角三角形判定定理可得是等腰直角三角形，则，即，根据待定系数法将点代入直线解析式可得，联立双曲线，解方程可得，再根据两点间距离可得AB，根据矩形判定定理可得四边形ABFE是矩形，则，即可求出答案.
20．【答案】（1）=；1
（2）解：结论：．
理由：如图2中，过点作于．
根据折叠的性质可得，，
，
，
，
，
，
，
四边形AMGD是矩形，
，
．
（3）解：如图3，过点作，交BC的延长线于点，过点A作，连接AC，
∵∠ABC=90°，，
∴四边形ABFE是矩形，
，
，
，
，
，且，
，且，
，
，
，
，
，
（不合题意，舍去），，
，
由（2）的结论可知：．
（4）解：如图2中，过点作交BC的延长线于．
∵，
设，
，
，
，
或-1（舍弃），
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）①∵四边形ABCD是正方形
∴AB=DA，∠ABE=90°=∠DAQ
∴∠QAO+∠OAD=90°
∵AE⊥DH
∴∠ADO+∠OAD=90°
∴∠QAO=∠ADO
在△ABE和△DAQ中
∴△ABE≌△DAQ
∴AE=DQ
故答案为：=
②
∵DQ⊥AE，FG⊥AE
∴DQ∥FG
∵FQ∥DG
∴四边形DQFG是平行四边形
∴FG=DQ
∵AE=DQ
∴FG=AE
∴
故答案为：1
【分析】（1）①根据正方形性质可得AB=DA，∠ABE=90°=∠DAQ，根据角之间的关系可得∠QAO=∠ADO，再根据全等三角形判定定理可得△ABE≌△DAQ，则AE=DQ，即可求出答案.
②根据直线平行判定定理可得DQ∥FG，再根据平行四边形判定定理可得四边形DQFG是平行四边形，则FG=DQ，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）过点作于，根据折叠性质可得，再根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，根据矩形判定定理可得四边形AMGD是矩形，则，即可求出答案.
（3）过点作，交BC的延长线于点，过点A作，连接AC，根据矩形判定定理可得四边形ABFE是矩形，则，根据全等三角形判定定理可得，则，根据相似三角形判定定理可得，则，即，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
（4）过点作交BC的延长线于，设，根据边之间的关系可得，根据勾股定理建立方程，解方程可得，再根据边之间的关系可得，根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得，根据边之间的关系可得CN，再根据勾股定理即可求出答案.
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