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广东省深圳市坪山区部分学校2024-2025学年九年级中考适应性考试数学试卷
1．（2024·坪山模拟）中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，如图四幅作品分别代表“立春”，“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024·坪山模拟）在中，最小的实数是（　　）
A． B．0 C． D．-3
3．（2024·坪山模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024·坪山模拟）全家观影已成为过年新民俗．据悉2025年春节档共有四部重磅影片上映，分别是《射雕英雄传：侠之大者》《封神第二部：战火西岐》《哪吒之魔童闹海》《：重启未来》．若小明从这四部影片中随机选择两部影片观看，则这两部影片中有《哪吒之魔童闹海》的概率是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024·坪山模拟）如图，，则为（　　）
A． B． C． D．
6．（2024·坪山模拟）下列选项的尺规作图，能推出的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2024·坪山模拟）某村的居民自来水管道需要改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成，若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.8倍，如果由甲，乙两队先合作18天，那么余下的工程由甲队单独完成还需8天．设这项工程的规定时间是天，则根据题意，下面所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2024·坪山模拟）我校某数学兴趣小组的同学准备利用所学的三角函数知识估测深圳市罗湖区小梧桐电视塔的高度，已知电视塔AB位于坡度的斜坡BC上，测量员从斜坡底端处往前沿水平方向走了120m达到地面处，此时测得电视塔AB顶端的仰角为，电视塔底端的仰角为，已知A，B，C，D在同一平面内，则该塔AB的高度为（　　）m，（结果保留整数，参考数据；）
A．31 B．24 C．60 D．136
9．（2024·坪山模拟）一元二次方程的一个解为，则　 　．
10．（2024·坪山模拟）如图，在矩形ABCD中，，．将矩形ABCD沿EF折叠，使点与点重合，则EB的长为　 　．
11．（2024·坪山模拟）如图，以正方形ABCD顶点为圆心，对角线AC为半径作弧交边AD延长线于点，若，则图中阴影部分的面积为　 　（结果保留）。
12．（2024·坪山模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知是等腰直角三角形，，点A，B分别在x轴、y轴上，点C在函数的图象上．若，，则　 　．
13．（2024·坪山模拟）如图，已知矩形ABCD中，，点E，F，P分别在线段AD，BC，CD上，BP交EF于点，过点作交AD于点，试求PC的长度　 　．
14．（2024·坪山模拟）计算：．
15．（2024·坪山模拟）先化简，再求值.，其中x＝2．
16．（2024·坪山模拟）在学校组织的跳绳比赛中，每班参加的人数相同，成绩分为四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分，9分，8分，7分，现将801班和802班的成绩整理并绘制成如图的统计图．
请根据以上提供的信息解答下列问题：
（1）此次比赛中，801班成绩在C级以上（包括C级）的人数为　 　．
（2）将下列表格补充完整．
平均分（分） 中位数（分） 众数（分）
801班 8.76 9 　 　
802班 8.76 　 　 10
（3）根据信息分析，你认为两个班哪个班成绩好一些，请说明理由．
17．（2024·坪山模拟）网络直播销售已经成为一种热门的销售方式，某生产商在一销售平台上进行直播销售板栗．已知板栗的成本价为6元kg，每日销售量与销售单价（元）满足一次函数关系，下表记录的是有关数据，经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于32元．设公司销售板栗的日获利为（元），
（元kg） 10 11 12
4000 3900 3800
（1）直接写出日销售量与销售单价之间的函数关系式为 ▲ ；（不用写自变量的取值范围）
（2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？
（3）当销售单价在什么范围内时，日获利不低于42000元？
18．（2024·坪山模拟）如图，在中，点O，D分别为AB，BC的中点，连接OD，作与AC相切于点，在AC边上取一点，使，连接DF．
（1）判断直线DF与的位置关系，并说明理由；
（2）当时，求的半径．
19．（2024·坪山模拟）
（1）问题初探
综合与实践数学活动课上，张老师给出了一个问题：已知二次函数，当时，的取值范围为 ▲ ；
①小伟同学经过分析后，将原二次函数配方成的形式，确定拋物线对称轴为直线，通过和2的大小关系，分别确定了最大值和最小值，进而求出的取值范围；
②小军同学画出如图的函数图象，通过观察图象确定了的取值范围；
请你很据上述两名同学的分析写出的取值范围是 ▲ ；
（2）类比分析
张老师发现两名同学分别从“数”和“形”的角度分析，解决何题，为了让同学们更好的感悟“数形结合”思想，张老师将前面问题变式为下面问题，请你解答；
已知二次函数当时，求的最大值．并写出的取值范围；
（3）学以致用
已知二次函数，当时，二次函数的最大值为，最小值为，若．求的值．
20．（2024·坪山模拟）通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整。
原题：如图1，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，，连接EF，则DF，试说明理由．
（1）思路梳理
，
把绕点逆时针旋转至，可使AB与AD重合．
点F，D，G共线．根据　 　（从“SSS，ASA，AAS，”中选择填写），易证　 　，得．
（2）类比引申
如图2，四边形ABCD中，，点E，F分别在边BC，CD上，．若都不是直角，则当与满足等量关系　 　时，仍有．
（3）联想拓展
如图3，在中，，点D，E均在边BC上，且．猜想BD，DE，EC应满足的等量关系，并写出推理过程．
（4）思维深化
如图4，在中，，点D，E均在直线BC上，点在点的左边，且，当时，直接写出CE的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意，
故答案为：D．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
2．【答案】C
【知识点】无理数的大小比较；有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：由题意得-π＜-3＜0＜
故答案为：C
【分析】根据题意直接比较实数的大小，进而即可求解。
3．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，不符合题意；
B、，符合题意；
C、，不符合题意；
D、，不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方对选项逐一运算，进而即可求解。
4．【答案】C
【知识点】等可能事件的概率；列出事件所有的可能性
【解析】【解答】解：一共有6种情况发生：
1、《射雕英雄传：侠之大者》《封神第二部：战火西岐》
2、《射雕英雄传：侠之大者》《哪吒之魔童闹海》
3、《射雕英雄传：侠之大者》《：重启未来》
4、《封神第二部：战火西岐》《哪吒之魔童闹海》
5、《封神第二部：战火西岐》《：重启未来》
6、《哪吒之魔童闹海》《：重启未来》
期中有共有《哪吒之魔童闹海》的情况有3种，所以两部影片中有《哪吒之魔童闹海》的概率是．
故答案为：C
【分析】根据题意列出所有可能发生的情况，进而根据等可能事件的概率即可求解。
5．【答案】A
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质；邻补角
【解析】【解答】解：如图所示：
∵a//b，
∴∠1+∠4=180°
又∵∠1=119°
∴∠4=180°-119°= 61°
∵∠2=99°
∴∠5=∠2-∠4 = 99°- 61° = 38°，
∴∠3=180°-∠5=180°- 38°=142°.
故答案为：A.
【分析】在图中标上∠4，∠5，由a//b，利用“两直线平行，同旁内角互补”，可求出∠4的度数，结合三角形的外角性质，可求出∠5的度数，再利用邻补角互补，即可求出∠3的度数。
6．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：A、由图可知点为过点作线段的垂线的交点，不能确定，不符合题意；
B、由图可知点在线段的垂直平分线上，不能确定，不符合题意；
C、由图可知点在的角平分线上，不能确定，不符合题意；
D、由图可知点在线段的垂直平分线上，能确定，符合题意；
故选：D．
【分析】根据垂直平分线性质逐项进行判断即可求出答案.
7．【答案】B
【知识点】分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【解答】解：设这项工程的规定时间是天，由题意得
故答案为：B
【分析】设这项工程的规定时间是天，根据“完成工程所需天数是规定天数的1.8倍，如果由甲，乙两队先合作18天，那么余下的工程由甲队单独完成还需8天”即可列出分式方程，进而即可求解。
8．【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：设于，如图所示：
设，则，
在中，∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
在中，（），
∴，
故答案为：A
【分析】设于，设，则，先结合题意解直角三角形表示出DE，再表示出DC，进而即可得到BE的长，再解直角三角形求出AE，从而根据线段的运算即可求解。
9．【答案】6
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
10．【答案】3
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：设，
∵矩形ABCD沿EF折叠，点与点重合，
∴，
则，
∵ABCD是矩形，
∴，
∴，
又，
∴，
解方程得，
即 EB的长为．
故答案为：3
【分析】设，根据折叠性质可得，则则，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
11．【答案】4π-8
【知识点】三角形的面积；正方形的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：四边形是正方形，，
，
，
故答案为：4π-8
【分析】先根据正方形的性质结合题意得到，再根据扇形的面积和三角形的面积即可求解。
12．【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；勾股定理；解直角三角形
13．【答案】4
【知识点】平行线的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：取中点R，连接，在上截取，使，连接，如图，
∵，
∴，
∵矩形
∴，，，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点R是的中点，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
设，则，，
∴
∴，即．
故答案为：4
【分析】取中点R，连接，在上截取，使，连接，先根据矩形的性质得到，，，再根据平行线的判定与性质结合题意得到，进而根据中点得到，从而根据勾股定理结合等腰三角形的性质得到，，再进行角的运算结合平行的性质等量代换得到，根据相似三角形的判定与性质证明得到，设，则，，代入求出x即可求解。
14．【答案】解：原式=
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；有理数的乘方法则
【解析】【分析】根据有理数的乘方，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，0指数幂化简，再计算加减即可求出答案.
15．【答案】解：原式
当x＝2时，
原式 ．
【知识点】完全平方公式及运用；分式的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算，结合完全平方公式化简，再将x=2代入即可求出答案.
16．【答案】（1）20
（2）9；8
（3）从众数上看，802班的成绩较好，从中位数上看，801班的成绩较好．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；中位数；众数
【解析】【解答】解：（1）6+12+4＝20（人），
故答案为：20；
（2）801班的成绩出现次数最多的是9分，因此众数是9，
802班的学生成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数均在C等，8分，因此中位数是8，
故答案为：9，8；
【分析】（1）根据题意求出801班C等（含C等）的频数之和即可求解；
（2）根据中位数、众数的定义即可求解；
（3）根据（2）的结果结合题意即可求解。
17．【答案】（1）
（2）解：由题意得：
∵，对称轴为直线．
∵，
∴当时，w有最大值为元
∴当销售单价定为元时，销售这种板栗日获利w最大，最大利润为元；
（3）解：当元时，
有：，
解得：或，
∵，
∴当时，，
又∵，
∴当时，日获利w不低于元
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
18．【答案】（1）解：直线与相切，理由如下：
如图，连接OE，过点O作于点P
相切于点
，OE为的半径
点，分别为，的中点
四边形ODCE是矩形
在和中，
，即OP为的半径
则直线与相切；
（2）解：设的半径为，则，
点，分别为，的中点
在中，
由（1）已证：
在中，，即
解得或（不符题意，舍去）
故的半径为1．
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；切线的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）连接OE，过点O作于点P，先根据切线的性质得到，OE为的半径，再根据三角形中位线定理结合平行线的性质即可求出∠ODC的度数，进而根据矩形的判定与性质得到，从而根据三角形全等的判定与性质证明得到，再根据切线的判定即可求解；
（2）设的半径为，则，根据中位线定理得到，再结合题意根据勾股定理即可得到，由（1）已证：，根据三角形全等的性质得到，进而根据勾股定理即可求解。
19．【答案】（1）
（2）解：，对称轴是．
①当，即时，
，y有最大值，；
②当，即时，
，y有最大值，；
③当，即时，
ⅰ．，即，
∴，当，y有最大值，，
ⅱ．，即，
∴．
∴，y有最大值，，
综上，；
（3）解：对称轴直线是，
①当时，
，；
，；
∵，
∴，
解得（舍）；
②当，即时，
，；
，；
∵，
∴，
解得（舍）；
③当，即时，
ⅰ．，即，
∴；
，；
，；
∵，
∴．
解得， （舍）．
ⅱ．，即，
∴；
，，
，，
∵，
∴．
解得，（舍）．
综上，或
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：（1），
，对称轴为直线，
当时，
时，，
时，，
故答案为：；
【分析】（1）先根据题意将二次函数的解析式化为顶点式，进而得到对称轴，再根据x的取值范围即可求解；
（2）根据二次函数的对称轴结合题意分类讨论：①当，即时，②当，即时，③当，即时，进而分别求出其最值即可求解；
（3）根据题意将二次函数的解析式化为顶点式，进而分类讨论：①当时，②当，即时，③当，即时，从而根据二次函数的图象与性质即可求解。
20．【答案】（1）；
（2）
（3）解：猜想：．理由如下：
如图：把绕点A顺时针旋转得到，连接，
，
，，，，
在中，，
，
，即，
，
又，
，
，即，
在和中，
，
，
，
；
（4）的长为或
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；相似三角形的判定；旋转的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：（1），
把绕点逆时针旋转至，可使与重合．
，
，，
，
，
，
，点、、共线，
在和中，
，
，
，即：．
故答案为：，；
（2）解：时，，理由如下：
，
如图：把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，
，
，，
，
，
，
，点、、共线，
在和中，
，
，
，即：．
故答案为：；
（4）解：点，均在直线上，点在点的左侧，，
分两种情况：点在边上或点在的延长线上，
①当点在边上时，如图，过点A作于点，过点作于点，
，，
，，，
，，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
②当点在的延长线上时，如图，过点作于点，过点作于点，
由①知，，，
，，
，，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
．
综上所述，的长为或．
【分析】（1）根据旋转的性质结合题意将绕点逆时针旋转至使与重合，再根据三角形全等的判定与性质证明得到，从而即可求解；
（2）根据（1）结合题意证明即可求解；
（3）把绕点A顺时针旋转得到，连接，根据旋转的性质得到，进而根据三角形全等的性质得到、、、，根据勾股定理得到，从而根据三角形全等的判定与性质证明，再根据等量代换即可得到；
（4）根据题意分类讨论：点D在边上或点D在的延长线上，①当点D在边上时，②当点D在的延长线上时，根据相似三角形的判定与性质结合题意解直角三角形即可求解。
1 / 1广东省深圳市坪山区部分学校2024-2025学年九年级中考适应性考试数学试卷
1．（2024·坪山模拟）中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，如图四幅作品分别代表“立春”，“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意，
故答案为：D．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
2．（2024·坪山模拟）在中，最小的实数是（　　）
A． B．0 C． D．-3
【答案】C
【知识点】无理数的大小比较；有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：由题意得-π＜-3＜0＜
故答案为：C
【分析】根据题意直接比较实数的大小，进而即可求解。
3．（2024·坪山模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，不符合题意；
B、，符合题意；
C、，不符合题意；
D、，不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方对选项逐一运算，进而即可求解。
4．（2024·坪山模拟）全家观影已成为过年新民俗．据悉2025年春节档共有四部重磅影片上映，分别是《射雕英雄传：侠之大者》《封神第二部：战火西岐》《哪吒之魔童闹海》《：重启未来》．若小明从这四部影片中随机选择两部影片观看，则这两部影片中有《哪吒之魔童闹海》的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等可能事件的概率；列出事件所有的可能性
【解析】【解答】解：一共有6种情况发生：
1、《射雕英雄传：侠之大者》《封神第二部：战火西岐》
2、《射雕英雄传：侠之大者》《哪吒之魔童闹海》
3、《射雕英雄传：侠之大者》《：重启未来》
4、《封神第二部：战火西岐》《哪吒之魔童闹海》
5、《封神第二部：战火西岐》《：重启未来》
6、《哪吒之魔童闹海》《：重启未来》
期中有共有《哪吒之魔童闹海》的情况有3种，所以两部影片中有《哪吒之魔童闹海》的概率是．
故答案为：C
【分析】根据题意列出所有可能发生的情况，进而根据等可能事件的概率即可求解。
5．（2024·坪山模拟）如图，，则为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质；邻补角
【解析】【解答】解：如图所示：
∵a//b，
∴∠1+∠4=180°
又∵∠1=119°
∴∠4=180°-119°= 61°
∵∠2=99°
∴∠5=∠2-∠4 = 99°- 61° = 38°，
∴∠3=180°-∠5=180°- 38°=142°.
故答案为：A.
【分析】在图中标上∠4，∠5，由a//b，利用“两直线平行，同旁内角互补”，可求出∠4的度数，结合三角形的外角性质，可求出∠5的度数，再利用邻补角互补，即可求出∠3的度数。
6．（2024·坪山模拟）下列选项的尺规作图，能推出的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：A、由图可知点为过点作线段的垂线的交点，不能确定，不符合题意；
B、由图可知点在线段的垂直平分线上，不能确定，不符合题意；
C、由图可知点在的角平分线上，不能确定，不符合题意；
D、由图可知点在线段的垂直平分线上，能确定，符合题意；
故选：D．
【分析】根据垂直平分线性质逐项进行判断即可求出答案.
7．（2024·坪山模拟）某村的居民自来水管道需要改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成，若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.8倍，如果由甲，乙两队先合作18天，那么余下的工程由甲队单独完成还需8天．设这项工程的规定时间是天，则根据题意，下面所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【解答】解：设这项工程的规定时间是天，由题意得
故答案为：B
【分析】设这项工程的规定时间是天，根据“完成工程所需天数是规定天数的1.8倍，如果由甲，乙两队先合作18天，那么余下的工程由甲队单独完成还需8天”即可列出分式方程，进而即可求解。
8．（2024·坪山模拟）我校某数学兴趣小组的同学准备利用所学的三角函数知识估测深圳市罗湖区小梧桐电视塔的高度，已知电视塔AB位于坡度的斜坡BC上，测量员从斜坡底端处往前沿水平方向走了120m达到地面处，此时测得电视塔AB顶端的仰角为，电视塔底端的仰角为，已知A，B，C，D在同一平面内，则该塔AB的高度为（　　）m，（结果保留整数，参考数据；）
A．31 B．24 C．60 D．136
【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：设于，如图所示：
设，则，
在中，∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
在中，（），
∴，
故答案为：A
【分析】设于，设，则，先结合题意解直角三角形表示出DE，再表示出DC，进而即可得到BE的长，再解直角三角形求出AE，从而根据线段的运算即可求解。
9．（2024·坪山模拟）一元二次方程的一个解为，则　 　．
【答案】6
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
10．（2024·坪山模拟）如图，在矩形ABCD中，，．将矩形ABCD沿EF折叠，使点与点重合，则EB的长为　 　．
【答案】3
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：设，
∵矩形ABCD沿EF折叠，点与点重合，
∴，
则，
∵ABCD是矩形，
∴，
∴，
又，
∴，
解方程得，
即 EB的长为．
故答案为：3
【分析】设，根据折叠性质可得，则则，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
11．（2024·坪山模拟）如图，以正方形ABCD顶点为圆心，对角线AC为半径作弧交边AD延长线于点，若，则图中阴影部分的面积为　 　（结果保留）。
【答案】4π-8
【知识点】三角形的面积；正方形的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：四边形是正方形，，
，
，
故答案为：4π-8
【分析】先根据正方形的性质结合题意得到，再根据扇形的面积和三角形的面积即可求解。
12．（2024·坪山模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知是等腰直角三角形，，点A，B分别在x轴、y轴上，点C在函数的图象上．若，，则　 　．
【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；勾股定理；解直角三角形
13．（2024·坪山模拟）如图，已知矩形ABCD中，，点E，F，P分别在线段AD，BC，CD上，BP交EF于点，过点作交AD于点，试求PC的长度　 　．
【答案】4
【知识点】平行线的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：取中点R，连接，在上截取，使，连接，如图，
∵，
∴，
∵矩形
∴，，，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点R是的中点，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
设，则，，
∴
∴，即．
故答案为：4
【分析】取中点R，连接，在上截取，使，连接，先根据矩形的性质得到，，，再根据平行线的判定与性质结合题意得到，进而根据中点得到，从而根据勾股定理结合等腰三角形的性质得到，，再进行角的运算结合平行的性质等量代换得到，根据相似三角形的判定与性质证明得到，设，则，，代入求出x即可求解。
14．（2024·坪山模拟）计算：．
【答案】解：原式=
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；有理数的乘方法则
【解析】【分析】根据有理数的乘方，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，0指数幂化简，再计算加减即可求出答案.
15．（2024·坪山模拟）先化简，再求值.，其中x＝2．
【答案】解：原式
当x＝2时，
原式 ．
【知识点】完全平方公式及运用；分式的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算，结合完全平方公式化简，再将x=2代入即可求出答案.
16．（2024·坪山模拟）在学校组织的跳绳比赛中，每班参加的人数相同，成绩分为四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分，9分，8分，7分，现将801班和802班的成绩整理并绘制成如图的统计图．
请根据以上提供的信息解答下列问题：
（1）此次比赛中，801班成绩在C级以上（包括C级）的人数为　 　．
（2）将下列表格补充完整．
平均分（分） 中位数（分） 众数（分）
801班 8.76 9 　 　
802班 8.76 　 　 10
（3）根据信息分析，你认为两个班哪个班成绩好一些，请说明理由．
【答案】（1）20
（2）9；8
（3）从众数上看，802班的成绩较好，从中位数上看，801班的成绩较好．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；中位数；众数
【解析】【解答】解：（1）6+12+4＝20（人），
故答案为：20；
（2）801班的成绩出现次数最多的是9分，因此众数是9，
802班的学生成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数均在C等，8分，因此中位数是8，
故答案为：9，8；
【分析】（1）根据题意求出801班C等（含C等）的频数之和即可求解；
（2）根据中位数、众数的定义即可求解；
（3）根据（2）的结果结合题意即可求解。
17．（2024·坪山模拟）网络直播销售已经成为一种热门的销售方式，某生产商在一销售平台上进行直播销售板栗．已知板栗的成本价为6元kg，每日销售量与销售单价（元）满足一次函数关系，下表记录的是有关数据，经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于32元．设公司销售板栗的日获利为（元），
（元kg） 10 11 12
4000 3900 3800
（1）直接写出日销售量与销售单价之间的函数关系式为 ▲ ；（不用写自变量的取值范围）
（2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？
（3）当销售单价在什么范围内时，日获利不低于42000元？
【答案】（1）
（2）解：由题意得：
∵，对称轴为直线．
∵，
∴当时，w有最大值为元
∴当销售单价定为元时，销售这种板栗日获利w最大，最大利润为元；
（3）解：当元时，
有：，
解得：或，
∵，
∴当时，，
又∵，
∴当时，日获利w不低于元
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
18．（2024·坪山模拟）如图，在中，点O，D分别为AB，BC的中点，连接OD，作与AC相切于点，在AC边上取一点，使，连接DF．
（1）判断直线DF与的位置关系，并说明理由；
（2）当时，求的半径．
【答案】（1）解：直线与相切，理由如下：
如图，连接OE，过点O作于点P
相切于点
，OE为的半径
点，分别为，的中点
四边形ODCE是矩形
在和中，
，即OP为的半径
则直线与相切；
（2）解：设的半径为，则，
点，分别为，的中点
在中，
由（1）已证：
在中，，即
解得或（不符题意，舍去）
故的半径为1．
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；切线的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）连接OE，过点O作于点P，先根据切线的性质得到，OE为的半径，再根据三角形中位线定理结合平行线的性质即可求出∠ODC的度数，进而根据矩形的判定与性质得到，从而根据三角形全等的判定与性质证明得到，再根据切线的判定即可求解；
（2）设的半径为，则，根据中位线定理得到，再结合题意根据勾股定理即可得到，由（1）已证：，根据三角形全等的性质得到，进而根据勾股定理即可求解。
19．（2024·坪山模拟）
（1）问题初探
综合与实践数学活动课上，张老师给出了一个问题：已知二次函数，当时，的取值范围为 ▲ ；
①小伟同学经过分析后，将原二次函数配方成的形式，确定拋物线对称轴为直线，通过和2的大小关系，分别确定了最大值和最小值，进而求出的取值范围；
②小军同学画出如图的函数图象，通过观察图象确定了的取值范围；
请你很据上述两名同学的分析写出的取值范围是 ▲ ；
（2）类比分析
张老师发现两名同学分别从“数”和“形”的角度分析，解决何题，为了让同学们更好的感悟“数形结合”思想，张老师将前面问题变式为下面问题，请你解答；
已知二次函数当时，求的最大值．并写出的取值范围；
（3）学以致用
已知二次函数，当时，二次函数的最大值为，最小值为，若．求的值．
【答案】（1）
（2）解：，对称轴是．
①当，即时，
，y有最大值，；
②当，即时，
，y有最大值，；
③当，即时，
ⅰ．，即，
∴，当，y有最大值，，
ⅱ．，即，
∴．
∴，y有最大值，，
综上，；
（3）解：对称轴直线是，
①当时，
，；
，；
∵，
∴，
解得（舍）；
②当，即时，
，；
，；
∵，
∴，
解得（舍）；
③当，即时，
ⅰ．，即，
∴；
，；
，；
∵，
∴．
解得， （舍）．
ⅱ．，即，
∴；
，，
，，
∵，
∴．
解得，（舍）．
综上，或
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：（1），
，对称轴为直线，
当时，
时，，
时，，
故答案为：；
【分析】（1）先根据题意将二次函数的解析式化为顶点式，进而得到对称轴，再根据x的取值范围即可求解；
（2）根据二次函数的对称轴结合题意分类讨论：①当，即时，②当，即时，③当，即时，进而分别求出其最值即可求解；
（3）根据题意将二次函数的解析式化为顶点式，进而分类讨论：①当时，②当，即时，③当，即时，从而根据二次函数的图象与性质即可求解。
20．（2024·坪山模拟）通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整。
原题：如图1，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，，连接EF，则DF，试说明理由．
（1）思路梳理
，
把绕点逆时针旋转至，可使AB与AD重合．
点F，D，G共线．根据　 　（从“SSS，ASA，AAS，”中选择填写），易证　 　，得．
（2）类比引申
如图2，四边形ABCD中，，点E，F分别在边BC，CD上，．若都不是直角，则当与满足等量关系　 　时，仍有．
（3）联想拓展
如图3，在中，，点D，E均在边BC上，且．猜想BD，DE，EC应满足的等量关系，并写出推理过程．
（4）思维深化
如图4，在中，，点D，E均在直线BC上，点在点的左边，且，当时，直接写出CE的长．
【答案】（1）；
（2）
（3）解：猜想：．理由如下：
如图：把绕点A顺时针旋转得到，连接，
，
，，，，
在中，，
，
，即，
，
又，
，
，即，
在和中，
，
，
，
；
（4）的长为或
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；相似三角形的判定；旋转的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：（1），
把绕点逆时针旋转至，可使与重合．
，
，，
，
，
，
，点、、共线，
在和中，
，
，
，即：．
故答案为：，；
（2）解：时，，理由如下：
，
如图：把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，
，
，，
，
，
，
，点、、共线，
在和中，
，
，
，即：．
故答案为：；
（4）解：点，均在直线上，点在点的左侧，，
分两种情况：点在边上或点在的延长线上，
①当点在边上时，如图，过点A作于点，过点作于点，
，，
，，，
，，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
②当点在的延长线上时，如图，过点作于点，过点作于点，
由①知，，，
，，
，，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
．
综上所述，的长为或．
【分析】（1）根据旋转的性质结合题意将绕点逆时针旋转至使与重合，再根据三角形全等的判定与性质证明得到，从而即可求解；
（2）根据（1）结合题意证明即可求解；
（3）把绕点A顺时针旋转得到，连接，根据旋转的性质得到，进而根据三角形全等的性质得到、、、，根据勾股定理得到，从而根据三角形全等的判定与性质证明，再根据等量代换即可得到；
（4）根据题意分类讨论：点D在边上或点D在的延长线上，①当点D在边上时，②当点D在的延长线上时，根据相似三角形的判定与性质结合题意解直角三角形即可求解。
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