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广东省深圳市福田外国语集团2024-2025学年下学期九年级第二次联考数学试卷
1．（2025·福田模拟）2025年是春意盎然，生机勃勃的“双春年”，2025的相反数是（　　）
A． B． C．2025 D．
2．（2025·福田模拟）是一款基于混合专家架构的大语言模型，它的参数量巨大，截止2025年1月，的参数量已经高达6710亿，将6710亿用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·福田模拟）数形结合是我们解决数学问题常用的思想方法.如图，一次函数与 (m，n为常数，)的图象相交于点，则不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025·福田模拟）在学行线的性质与判定后，数学活动小组的同学们对小学学过的光线的折射现象做了如下实验：如图，光线从液体中射向空气时会发生折射，光线变成，点G在射线上，烧杯内液体表面与烧杯下底部平行，已知，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·福田模拟）一名射击运动员统计了45次射击成绩，并绘制了如图所示的折线统计图，关于这组数据下列说法不正确的是（　　）
A．中位数是8 B．众数是8 C．平均数是8 D．极差是14
6．（2025·福田模拟）实数a，b定义新运算“*”如下：，例如，则方程的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
7．（2025·福田模拟）如图，在平行四边形中，以A为圆心，长为半径画弧交于点F，分别以点B，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G，连接并延长交于点E，连接交于点O，过点A作于点H．若，，则（　　）
A．15 B． C． D．
8．（2025·福田模拟）如图，在等边中，过点C作射线，点M，N分别在边上，将沿折叠．使点B落在射线上的点处，连接．已知．给出下列四个结论：①为定值；②当时，四边形为菱形；③当点N与C重合时，；④当最短时，．其中正确的结论是（　　）
A．①②④ B．①②③④ C．①③④ D．①②
9．（2025·福田模拟）分解因式：2x2﹣8=　 　
10．（2025·福田模拟）已知关于的一元二次方程有一个根为1，则的值为　 　．
11．（2025·福田模拟）太阳能是清洁、安全和可靠的能源．如图是一个太阳能面板及其侧面示意图，点C是的中点，．当太阳光与地面的夹角为，已知太阳光与面板垂直时，太阳面板吸收光能的效率最高，则此时支架C端离地面的高度为　 　；（结果精确到；参考数据：，，）
12．（2025·福田模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知点、、（其中），点P在以为圆心，1为半径的上运动，且始终满足，则t的最小值是　 　
13．（2025·福田模拟）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形与y轴分别交于E、F两点，对角线在x轴上，反比例函数的图象过点A并交于点G，连接．若，，且的面积为，则k的值是　 　
14．（2025·福田模拟）计算：．
15．（2025·福田模拟）先化简代数式，再从，，，四个数中选择一个你喜欢的数代入求值．
16．（2025·福田模拟）在4月23日世界读书日来临之际，为了解某校向阳班同学们的阅读爱好，要求所有同学从4类书籍中（A：文学类；B：科幻类；C：军事类；D：其他类），选择一类自己最喜欢的书籍进行统计．根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息回答问题：
（1）向阳班的学生总数为______，并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，的扇形圆心角度数为______°，的值为______；
（3）如果选择类书籍的同学中有2名女生，其余为男生，现要在选择类书籍的同学中选取两名同学去参加读书交流活动，求恰好是一男一女去参加读书交流活动的概率．
17．（2025·福田模拟）金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．
燃油车油箱容积：40升，油价：9元/升，续航里程：a千米，每千米行使费用：元； 新能源车电池电量：100千瓦时，电价：0.6 元/干瓦时，续航里程：a千米，每千米行驶费用： 元．
（1）用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用．
（2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.5元．
①分别求出这两款车的每千米行驶费用．
②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元，问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用年行驶费用年其它费用）
18．（2025·福田模拟）如图，是直径，点C为劣弧中点，弦、相交于点E，点F在的延长线上，，垂足为G，且．
（1）求证：是的切线；
（2）当、时，求的长度；
（3）当时，求的值．
19．（2025·福田模拟）中国瓷器是世界上最早最精美的陶瓷之一，也是中国文化的重要组成部分，九（1）班同学在进行历史和数学跨学科项目式学习时，通过收集到的素材进行了方案探究和任务性学习：
【设计方案求碗里水面的宽度】
素材一： 图1是一个竖直放置在水平桌面MN上的瓷碗，图2是其截面图，瓷碗高度，碗口宽，，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），当碗中盛满水时的最大深度．
素材二： 如图3，把瓷碗绕点B缓缓倾斜，倒出碗中的部分水，当水面与碗口的夹角为时停止倾斜．
问题解决
问题1 如右图，以碗底的中点F为原点O，以为x轴，的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，求碗体的抛物线解析式；
问题2 根据图2位置，当把碗中的水喝掉一部分后，发现水面的最大深度为 ，求此时水面宽度的长；
问题3 如图3，当碗停止倾斜时，求此时碗里水面的宽度______．
20．（2025·福田模拟）【问题发现】
（1）如图1，将正方形和正方形按如图所示的位置摆放，连接和，则与的数量关系是______，请说明理由．
【类比探究】
（2）若将“正方形和正方形”改成“矩形和矩形，且矩形矩形，”，如图，点E、D、G三点共线，点G在线段上时，若，求的长．
【拓展延伸】
（3）若将“正方形和正方形改成“菱形和菱形，且菱形菱形，如图3，平分，点P在射线上，在射线上截取，使得，连接，当时，直接写出的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：2025的相反数是，
故选：A
【分析】根据相反数的定义即可求出答案.
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：依题意，6710亿，
故选：B
【分析】科学记数法一般形式为，其中，为正整数.
3．【答案】A
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：由一次函数的图象可知，当时，一次函数的图象在一次函数的图象的下方，
关于的不等式的解集是．
在数轴上表示的解集，只有选项A符合，
故答案为：A.
【分析】结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求出解集，再在数轴上表示出来即可.
4．【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：，，
，
，
，
故选：B．
【分析】根据直线平行性质可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
5．【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数；极差
【解析】【解答】解：由图可知，将45次射击成绩，从小到大依次排列，第23个数为8环，故中位数是8，故A选项正确，不符合题意；
8环出现次数最多，有18次，故众数为8，故B选项正确，不符合题意；
这组数据的平均数为：
，故C选项正确，不符合题意；
这组数据的极差为：，故D选项不正确，符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据中位数，众数，平均数，极差的定义即可求出答案.
6．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题可得：方程化为，
即，
∵，
∴方程没有实数根，
故选D．
【分析】根据运算“”的定义将方程转化为一般式，由根的判别式，即可得出该方程无实数根.
7．【答案】C
【知识点】平行线的性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：由尺规作图的过程可知，直线是线段的垂直平分线，，
，，
∵，
，
，
，
，
四边形是菱形，
，，，
，
，
四边形是菱形，
，，
，
故选：C
【分析】由尺规作图的过程可知，直线是线段的垂直平分线，，则，，根据直线平行性质可得，则，再根据等角对等边可得，根据菱形判定定理可得四边形是菱形，则，，，再根据勾股定理可得AO，根据菱形面积可得，，再根据三角形面积即可求出答案.
8．【答案】A
【知识点】平行线的判定与性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵将沿折叠．使点B落在射线上的点处，
∴，
∴，
∵是等边三角形，，
∴，
∴，故①正确；
∵，，
∴，
∴，
∵将沿折叠．使点B落在射线上的点处，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴四边形为菱形；故②正确；
当点N与C重合时，如图，
∵，
∴，
∵将沿折叠．使点B落在射线上的点处，
∴，
∴，
∴，故③错误；
当最短时，，过M作于T，交延长线于K，如图，
∵，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得
∴，
∵
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴
在中，，
∴
∴
在中，
，
故④正确，
∴正确的有①②④，
故选：A．
【分析】连接，根据折叠性质可得，再根据边之间的关系可得，再根据等边三角形性质可得，可判断①；根据三角形内角和定理可得，则，再根据折叠性质可得，再根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，再根据菱形判定定理可判断②；当点N与C重合时，当点N与C重合时，根据三角形内角和定理可得，再根据折叠性质可得，再根据等边对等角及三角形内角和定理可得，再根据角之间的关系可得判断③；当最短时，，过M作于T，交延长线于K，根据含30°角的直角三角形三角形性质可得AB'，再根据勾股定理可得B'C，设，则，再根据勾股定理建立方程，解方程可得，根据直线平行判定定理可得，则，再根据角之间的关系可得，再根据含30°角的直角三角形性质可得，设，则，，则，再根据勾股定理建立方程，解方程可得，则，根据含30°角的直角三角形性质可得，根据边之间的关系可得，再根据勾股定理可判断④.
9．【答案】2（x+2）（x﹣2）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：2x2﹣8=2（x+2）（x﹣2）．
【分析】观察原式，找到公因式2，提出即可得出答案．
10．【答案】
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
11．【答案】24
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：过点C作，如图所示：
∴太阳光与地面的夹角为，太阳光与面板垂直时，太阳面板吸收光能的效率最高
∴，
∵点C是的中点，，
∴
在中，，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】过点C作，根据补角可得∠CBH，再根据线段中点可得，解直角三角形即可求出答案.
12．【答案】
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵、、，
∴，
∴，
∵，
∴
要t最小，就是点A到上的一点的距离最小，
∴点P在上，
∵，
∴，
∴t的最小值是，
故答案为：．
【分析】连接，根据两点间距离可得，则，再根据直角三角形斜边上的中线性质可得，要t最小，就是点A到上的一点的距离最小，则点P在上，再根据勾股定理可得AD，再根据边之间的关系即可求出答案.
13．【答案】6
【知识点】反比例函数的性质；平行四边形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，过点A作轴于点M，轴于点N，
∴，轴，
设点，则
∴， ，
∴ ，
∵，，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵点A、G在反比例函数的图象上，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴ ，即，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ．
故答案为：6．
【分析】过点A作轴于点M，轴于点N，则设点 ，则，轴，设点，则，，根据相似三角形判定定理可得， ，则 ，再根据题意可得 ， ， ，则 ，根据反比例函数性质可得 ，则 ，根据边之间的关系可得MN，DN，BN，再根据平行四边形性质可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得 ，根据 ，结合三角形面积即可求出答案.
14．【答案】解：

【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值
15．【答案】解：原式
，
，
只能取，
当时，原式．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；分式有无意义的条件；分式的混合运算；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算，结合平方差公式及完全平方公式化简，然后根据分式有意义的条件取舍的值，代入化简结果进行计算即可求解．
16．【答案】（1）40，
C类的人数（人），
∴补全的条形统计图为：
（2）108，40
（3）解：画树状图：
共有12种等可能性结果，其中一男一女的机会有8种，
∴．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）解：向阳班人数：（人），
故答案为：40；
（2）的扇形圆心角度数为：，
，
∴，
故答案为：108，40；
【分析】（1）根据类的人数与占比即可求得总人数，进而即可求得类的人数，补全统计图；
（2）的扇形圆心角度数占的即可，根据的人数与总人数即可求解；
（3）画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出其中一男一女的结果，再根据概率公式即可求出答案.
（1）解：向阳班人数：（人），
∴C类的人数（人），
∴补全的条形统计图为：
故答案为：40；
（2）的扇形圆心角度数为：，
，
∴，
故答案为：108，40；
（3）画树状图：
共有12种等可能性结果，其中一男一女的机会有8种，
∴．
17．【答案】（1）解：由表格可得，
新能源车的每千米行驶费用为：（元），
即新能源车的每千米行驶费用为元；
（2）解：①∵燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元，
，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
，，
答：燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元；
设每年行驶里程为，
由题意得：，
解得，
答：当每年行驶里程大于时，买新能源车的年费用更低．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
18．【答案】（1）解：连接，如图1所示，
点为劣弧中点，
，
，
，，
平分，
，
，
，，
，，
；
，
，
，
，
是直径，
是的切线；
（2）解：连接，如图所示：
∵，，
则，
∵点C为劣弧中点，
∴，
∴，
即，
∵，
∴的长度；
（3）解：如图2，作于点，
则，
由（1）得，即，
在和中，
，
，
，
设，则，
，，
，
，，
，
，
，
，，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；弧长的计算；角平分线的概念；求正切值
【解析】【分析】（1）连接，根据圆周角定理可得，根据角平分线判定定理可得平分，则，再根据角之间的关系可得，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）连接，根据圆周角定理可得，，即，再根据弧长公式即可求出答案.
（3）作于点，根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，设，则，根据等角对等边可得，则，，，根据勾股定理可得FG，再根据正切定义即可求出答案.
（1）解：连接，如图1所示，
点为劣弧中点，
，
，
，，
平分，
，
，
，，
，，
；
，
，
，
，
是直径，
是的切线；
（2）解：连接，如图所示：
∵，，
则，
∵点C为劣弧中点，
∴，
∴，
即，
∵，
∴的长度；
（3）解：如图2，作于点，
则，
由（1）得，即，
在和中，
，
，
，
设，则，
，，
，
，，
，
，
，
，，
，
．
19．【答案】问题1：解：以碗底的中点F为原点O，以为x轴，的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示：
，
，，
，
，
，
设抛物线的解析式为，
将点代入解析式，有，解得，
抛物线解析式为．
问题2：解：碗中液面高度（离桌面距离）为，，
这时液面的纵坐标为，
当时，有，解得，，
则液面宽度为．
问题3：
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数的其他应用
20．【答案】解：（1）四边形和四边形是正方形，
，，，
，
，
故答案为：；
（2）如图2，作于，
四边形是矩形，
，
，，
，
由得，，
，
，
在中，，，
，
，
矩形矩形，
，，
，
，
，
；
（3）或．
【知识点】三角形全等及其性质；矩形的性质；解直角三角形；角平分线的概念；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（3）如图3，当在上时，连接，交于，作，交的延长线于，
四边形是菱形，
，，
菱形菱形，
，，，
，
，
平分，
，
；
，，
，
，
∵，
∴，
，，
，
，
，
，
，
设，，
如图4，过I作于M，
∵，，，
∴，
∵，，，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
，
，
，
，
，
∴；
如图5，当在的延长线上时，
由上可知：，
，
∴；
综上所述：或．
【分析】（1）根据正方形性质可得，，，则，再根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
（2）作于，根据矩形性质可得，再根据勾股定理可得EG，再根据三角形面积可得，再根据勾股定理可得GH，DH，再根据边之间的关系可得DG，再根据相似图形性质可得，，则，再根据相似三角形判定定理可得，则，化简即可求出答案.
（3）分情况讨论：当在上时，连接，交于，作，交的延长线于，再根据菱形性质可得，，再根据相似图象性质可得，，，则，再根据角平分线定义可得，则，再根据相似三角形判定定理可得，再根据勾股定理可得PQ，再根据正切定义可得，则，即，再根据正切定义可得，设，，过I作于M，根据勾股定理可得DT，再根据角平分线性质可得，再根据三角形面积可得，根据正切定义可得，则，根据勾股定理建立方程，解方程可得，再根据边之间的关系可得AQ，AP；当在的延长线上时，由上可知：，再根据边之间的关系即可求出答案.
1 / 1广东省深圳市福田外国语集团2024-2025学年下学期九年级第二次联考数学试卷
1．（2025·福田模拟）2025年是春意盎然，生机勃勃的“双春年”，2025的相反数是（　　）
A． B． C．2025 D．
【答案】A
【知识点】相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：2025的相反数是，
故选：A
【分析】根据相反数的定义即可求出答案.
2．（2025·福田模拟）是一款基于混合专家架构的大语言模型，它的参数量巨大，截止2025年1月，的参数量已经高达6710亿，将6710亿用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：依题意，6710亿，
故选：B
【分析】科学记数法一般形式为，其中，为正整数.
3．（2025·福田模拟）数形结合是我们解决数学问题常用的思想方法.如图，一次函数与 (m，n为常数，)的图象相交于点，则不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：由一次函数的图象可知，当时，一次函数的图象在一次函数的图象的下方，
关于的不等式的解集是．
在数轴上表示的解集，只有选项A符合，
故答案为：A.
【分析】结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求出解集，再在数轴上表示出来即可.
4．（2025·福田模拟）在学行线的性质与判定后，数学活动小组的同学们对小学学过的光线的折射现象做了如下实验：如图，光线从液体中射向空气时会发生折射，光线变成，点G在射线上，烧杯内液体表面与烧杯下底部平行，已知，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：，，
，
，
，
故选：B．
【分析】根据直线平行性质可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
5．（2025·福田模拟）一名射击运动员统计了45次射击成绩，并绘制了如图所示的折线统计图，关于这组数据下列说法不正确的是（　　）
A．中位数是8 B．众数是8 C．平均数是8 D．极差是14
【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数；极差
【解析】【解答】解：由图可知，将45次射击成绩，从小到大依次排列，第23个数为8环，故中位数是8，故A选项正确，不符合题意；
8环出现次数最多，有18次，故众数为8，故B选项正确，不符合题意；
这组数据的平均数为：
，故C选项正确，不符合题意；
这组数据的极差为：，故D选项不正确，符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据中位数，众数，平均数，极差的定义即可求出答案.
6．（2025·福田模拟）实数a，b定义新运算“*”如下：，例如，则方程的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题可得：方程化为，
即，
∵，
∴方程没有实数根，
故选D．
【分析】根据运算“”的定义将方程转化为一般式，由根的判别式，即可得出该方程无实数根.
7．（2025·福田模拟）如图，在平行四边形中，以A为圆心，长为半径画弧交于点F，分别以点B，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G，连接并延长交于点E，连接交于点O，过点A作于点H．若，，则（　　）
A．15 B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：由尺规作图的过程可知，直线是线段的垂直平分线，，
，，
∵，
，
，
，
，
四边形是菱形，
，，，
，
，
四边形是菱形，
，，
，
故选：C
【分析】由尺规作图的过程可知，直线是线段的垂直平分线，，则，，根据直线平行性质可得，则，再根据等角对等边可得，根据菱形判定定理可得四边形是菱形，则，，，再根据勾股定理可得AO，根据菱形面积可得，，再根据三角形面积即可求出答案.
8．（2025·福田模拟）如图，在等边中，过点C作射线，点M，N分别在边上，将沿折叠．使点B落在射线上的点处，连接．已知．给出下列四个结论：①为定值；②当时，四边形为菱形；③当点N与C重合时，；④当最短时，．其中正确的结论是（　　）
A．①②④ B．①②③④ C．①③④ D．①②
【答案】A
【知识点】平行线的判定与性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵将沿折叠．使点B落在射线上的点处，
∴，
∴，
∵是等边三角形，，
∴，
∴，故①正确；
∵，，
∴，
∴，
∵将沿折叠．使点B落在射线上的点处，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴四边形为菱形；故②正确；
当点N与C重合时，如图，
∵，
∴，
∵将沿折叠．使点B落在射线上的点处，
∴，
∴，
∴，故③错误；
当最短时，，过M作于T，交延长线于K，如图，
∵，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得
∴，
∵
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴
在中，，
∴
∴
在中，
，
故④正确，
∴正确的有①②④，
故选：A．
【分析】连接，根据折叠性质可得，再根据边之间的关系可得，再根据等边三角形性质可得，可判断①；根据三角形内角和定理可得，则，再根据折叠性质可得，再根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，再根据菱形判定定理可判断②；当点N与C重合时，当点N与C重合时，根据三角形内角和定理可得，再根据折叠性质可得，再根据等边对等角及三角形内角和定理可得，再根据角之间的关系可得判断③；当最短时，，过M作于T，交延长线于K，根据含30°角的直角三角形三角形性质可得AB'，再根据勾股定理可得B'C，设，则，再根据勾股定理建立方程，解方程可得，根据直线平行判定定理可得，则，再根据角之间的关系可得，再根据含30°角的直角三角形性质可得，设，则，，则，再根据勾股定理建立方程，解方程可得，则，根据含30°角的直角三角形性质可得，根据边之间的关系可得，再根据勾股定理可判断④.
9．（2025·福田模拟）分解因式：2x2﹣8=　 　
【答案】2（x+2）（x﹣2）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：2x2﹣8=2（x+2）（x﹣2）．
【分析】观察原式，找到公因式2，提出即可得出答案．
10．（2025·福田模拟）已知关于的一元二次方程有一个根为1，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
11．（2025·福田模拟）太阳能是清洁、安全和可靠的能源．如图是一个太阳能面板及其侧面示意图，点C是的中点，．当太阳光与地面的夹角为，已知太阳光与面板垂直时，太阳面板吸收光能的效率最高，则此时支架C端离地面的高度为　 　；（结果精确到；参考数据：，，）
【答案】24
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：过点C作，如图所示：
∴太阳光与地面的夹角为，太阳光与面板垂直时，太阳面板吸收光能的效率最高
∴，
∵点C是的中点，，
∴
在中，，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】过点C作，根据补角可得∠CBH，再根据线段中点可得，解直角三角形即可求出答案.
12．（2025·福田模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知点、、（其中），点P在以为圆心，1为半径的上运动，且始终满足，则t的最小值是　 　
【答案】
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵、、，
∴，
∴，
∵，
∴
要t最小，就是点A到上的一点的距离最小，
∴点P在上，
∵，
∴，
∴t的最小值是，
故答案为：．
【分析】连接，根据两点间距离可得，则，再根据直角三角形斜边上的中线性质可得，要t最小，就是点A到上的一点的距离最小，则点P在上，再根据勾股定理可得AD，再根据边之间的关系即可求出答案.
13．（2025·福田模拟）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形与y轴分别交于E、F两点，对角线在x轴上，反比例函数的图象过点A并交于点G，连接．若，，且的面积为，则k的值是　 　
【答案】6
【知识点】反比例函数的性质；平行四边形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，过点A作轴于点M，轴于点N，
∴，轴，
设点，则
∴， ，
∴ ，
∵，，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵点A、G在反比例函数的图象上，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴ ，即，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ．
故答案为：6．
【分析】过点A作轴于点M，轴于点N，则设点 ，则，轴，设点，则，，根据相似三角形判定定理可得， ，则 ，再根据题意可得 ， ， ，则 ，根据反比例函数性质可得 ，则 ，根据边之间的关系可得MN，DN，BN，再根据平行四边形性质可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得 ，根据 ，结合三角形面积即可求出答案.
14．（2025·福田模拟）计算：．
【答案】解：

【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值
15．（2025·福田模拟）先化简代数式，再从，，，四个数中选择一个你喜欢的数代入求值．
【答案】解：原式
，
，
只能取，
当时，原式．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；分式有无意义的条件；分式的混合运算；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算，结合平方差公式及完全平方公式化简，然后根据分式有意义的条件取舍的值，代入化简结果进行计算即可求解．
16．（2025·福田模拟）在4月23日世界读书日来临之际，为了解某校向阳班同学们的阅读爱好，要求所有同学从4类书籍中（A：文学类；B：科幻类；C：军事类；D：其他类），选择一类自己最喜欢的书籍进行统计．根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息回答问题：
（1）向阳班的学生总数为______，并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，的扇形圆心角度数为______°，的值为______；
（3）如果选择类书籍的同学中有2名女生，其余为男生，现要在选择类书籍的同学中选取两名同学去参加读书交流活动，求恰好是一男一女去参加读书交流活动的概率．
【答案】（1）40，
C类的人数（人），
∴补全的条形统计图为：
（2）108，40
（3）解：画树状图：
共有12种等可能性结果，其中一男一女的机会有8种，
∴．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）解：向阳班人数：（人），
故答案为：40；
（2）的扇形圆心角度数为：，
，
∴，
故答案为：108，40；
【分析】（1）根据类的人数与占比即可求得总人数，进而即可求得类的人数，补全统计图；
（2）的扇形圆心角度数占的即可，根据的人数与总人数即可求解；
（3）画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出其中一男一女的结果，再根据概率公式即可求出答案.
（1）解：向阳班人数：（人），
∴C类的人数（人），
∴补全的条形统计图为：
故答案为：40；
（2）的扇形圆心角度数为：，
，
∴，
故答案为：108，40；
（3）画树状图：
共有12种等可能性结果，其中一男一女的机会有8种，
∴．
17．（2025·福田模拟）金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．
燃油车油箱容积：40升，油价：9元/升，续航里程：a千米，每千米行使费用：元； 新能源车电池电量：100千瓦时，电价：0.6 元/干瓦时，续航里程：a千米，每千米行驶费用： 元．
（1）用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用．
（2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.5元．
①分别求出这两款车的每千米行驶费用．
②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元，问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用年行驶费用年其它费用）
【答案】（1）解：由表格可得，
新能源车的每千米行驶费用为：（元），
即新能源车的每千米行驶费用为元；
（2）解：①∵燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元，
，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
，，
答：燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元；
设每年行驶里程为，
由题意得：，
解得，
答：当每年行驶里程大于时，买新能源车的年费用更低．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
18．（2025·福田模拟）如图，是直径，点C为劣弧中点，弦、相交于点E，点F在的延长线上，，垂足为G，且．
（1）求证：是的切线；
（2）当、时，求的长度；
（3）当时，求的值．
【答案】（1）解：连接，如图1所示，
点为劣弧中点，
，
，
，，
平分，
，
，
，，
，，
；
，
，
，
，
是直径，
是的切线；
（2）解：连接，如图所示：
∵，，
则，
∵点C为劣弧中点，
∴，
∴，
即，
∵，
∴的长度；
（3）解：如图2，作于点，
则，
由（1）得，即，
在和中，
，
，
，
设，则，
，，
，
，，
，
，
，
，，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；弧长的计算；角平分线的概念；求正切值
【解析】【分析】（1）连接，根据圆周角定理可得，根据角平分线判定定理可得平分，则，再根据角之间的关系可得，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）连接，根据圆周角定理可得，，即，再根据弧长公式即可求出答案.
（3）作于点，根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，设，则，根据等角对等边可得，则，，，根据勾股定理可得FG，再根据正切定义即可求出答案.
（1）解：连接，如图1所示，
点为劣弧中点，
，
，
，，
平分，
，
，
，，
，，
；
，
，
，
，
是直径，
是的切线；
（2）解：连接，如图所示：
∵，，
则，
∵点C为劣弧中点，
∴，
∴，
即，
∵，
∴的长度；
（3）解：如图2，作于点，
则，
由（1）得，即，
在和中，
，
，
，
设，则，
，，
，
，，
，
，
，
，，
，
．
19．（2025·福田模拟）中国瓷器是世界上最早最精美的陶瓷之一，也是中国文化的重要组成部分，九（1）班同学在进行历史和数学跨学科项目式学习时，通过收集到的素材进行了方案探究和任务性学习：
【设计方案求碗里水面的宽度】
素材一： 图1是一个竖直放置在水平桌面MN上的瓷碗，图2是其截面图，瓷碗高度，碗口宽，，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），当碗中盛满水时的最大深度．
素材二： 如图3，把瓷碗绕点B缓缓倾斜，倒出碗中的部分水，当水面与碗口的夹角为时停止倾斜．
问题解决
问题1 如右图，以碗底的中点F为原点O，以为x轴，的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，求碗体的抛物线解析式；
问题2 根据图2位置，当把碗中的水喝掉一部分后，发现水面的最大深度为 ，求此时水面宽度的长；
问题3 如图3，当碗停止倾斜时，求此时碗里水面的宽度______．
【答案】问题1：解：以碗底的中点F为原点O，以为x轴，的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示：
，
，，
，
，
，
设抛物线的解析式为，
将点代入解析式，有，解得，
抛物线解析式为．
问题2：解：碗中液面高度（离桌面距离）为，，
这时液面的纵坐标为，
当时，有，解得，，
则液面宽度为．
问题3：
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数的其他应用
20．（2025·福田模拟）【问题发现】
（1）如图1，将正方形和正方形按如图所示的位置摆放，连接和，则与的数量关系是______，请说明理由．
【类比探究】
（2）若将“正方形和正方形”改成“矩形和矩形，且矩形矩形，”，如图，点E、D、G三点共线，点G在线段上时，若，求的长．
【拓展延伸】
（3）若将“正方形和正方形改成“菱形和菱形，且菱形菱形，如图3，平分，点P在射线上，在射线上截取，使得，连接，当时，直接写出的长．
【答案】解：（1）四边形和四边形是正方形，
，，，
，
，
故答案为：；
（2）如图2，作于，
四边形是矩形，
，
，，
，
由得，，
，
，
在中，，，
，
，
矩形矩形，
，，
，
，
，
；
（3）或．
【知识点】三角形全等及其性质；矩形的性质；解直角三角形；角平分线的概念；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（3）如图3，当在上时，连接，交于，作，交的延长线于，
四边形是菱形，
，，
菱形菱形，
，，，
，
，
平分，
，
；
，，
，
，
∵，
∴，
，，
，
，
，
，
，
设，，
如图4，过I作于M，
∵，，，
∴，
∵，，，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
，
，
，
，
，
∴；
如图5，当在的延长线上时，
由上可知：，
，
∴；
综上所述：或．
【分析】（1）根据正方形性质可得，，，则，再根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
（2）作于，根据矩形性质可得，再根据勾股定理可得EG，再根据三角形面积可得，再根据勾股定理可得GH，DH，再根据边之间的关系可得DG，再根据相似图形性质可得，，则，再根据相似三角形判定定理可得，则，化简即可求出答案.
（3）分情况讨论：当在上时，连接，交于，作，交的延长线于，再根据菱形性质可得，，再根据相似图象性质可得，，，则，再根据角平分线定义可得，则，再根据相似三角形判定定理可得，再根据勾股定理可得PQ，再根据正切定义可得，则，即，再根据正切定义可得，设，，过I作于M，根据勾股定理可得DT，再根据角平分线性质可得，再根据三角形面积可得，根据正切定义可得，则，根据勾股定理建立方程，解方程可得，再根据边之间的关系可得AQ，AP；当在的延长线上时，由上可知：，再根据边之间的关系即可求出答案.
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