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广东省深圳盐田区2025年九年级数学教学质检二模试题
一、选择题（每小题3分，共24分．每小题有四个选项，其中只有一个是正确的，请把答案按要求填涂到答题卡相应位置上）
1．（2025·盐田模拟）四川三星堆遗址被称为世纪人类最伟大的考古发现之一，让学术界开始重新审视人类文明的发展史．下图是年月首次亮相的青铜瓿，它有“圆口、深腹”等特征．有关其三视图（忽略表面凸起部分）说法正确的是（　　）
A．主视图和左视图完全相同 B．主视图和俯视图完全相同
C．左视图和俯视图完全相同 D．三视图各不相同
【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：由题意可得：
该几何体的主视图和左视图完全相同
故答案为：A
【分析】根据几何体的三视图即可求出答案.
2．（2025·盐田模拟）第六代战斗机是一种人工智能控制的吸气式超高音速战斗机，此类战机速度预计可以突破5马赫，飞行一小时的距离约为22100000米，将数据22100000用科学记数法表示时，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：由题意可得：
22100000用科学记数法表示为
故答案为：C
【分析】科学记数法是把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式.
3．（2025·盐田模拟）下列各式计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】单项式乘多项式；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A：，正确，符合题意；
B：，不能合并，不符合题意；
C：，错误，不符合题意；
D：，错误，不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据单项式乘以多项式，合并同类项法则，积的乘方，完全平方公式逐项进行判断即可求出答案.
4．（2025·盐田模拟）2025年是乙已年，其中“乙”是天干，“已”是地支．天干地支纪年法起源于古代中国的历法制定，用于记录年份、月份、日期等时间单位，由十个天干和十二个地支组成．天干包括甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸．地支包括子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉、戌、亥．从“天干”中抽一个，抽到“乙”的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：天干共有10个
则抽一个，抽到“乙”的概率为
故答案为：A
【分析】根据概率公式即可求出答案.
5．（2025·盐田模拟）如图，小茗同学在物理实验操作课中观察光的折射现象，发现水平放置的水杯底部有一束光线从水中射向空气时要发生折射．当入射光线和水杯的底面成，折射光线与水杯口平面成时，的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图
∵水面与地面平行
∴∠2=180°-∠4=105°
∵水面与水杯口的平面平行
∴∠3=65°
∴∠1=∠2+∠3=170°
故答案为：D
【分析】根据直线平行性质即可求出答案.
6．（2025·盐田模拟）1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？意思是：矩形面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步？设长为步，可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题
7．（2025·盐田模拟）数学活动课上，小茗同学利用尺规对矩形进行如图所示的操作，作出的两条线的交点恰好落在边上的点处，则的度数为（　　）
A． B．
C．条件不足，无法计算 D．
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
8．（2025·盐田模拟）为了准备参加深圳市马拉松比赛，茗茗和清清约定每周六同时从A地到相距6000米B地匀速往返跑（中途不休息），茗茗的速度大于清清的速度．图中的折线表示从开始到第二次相遇截止时，两人的距离y（米）与跑步时间x（分）之间的关系的图象，下列结论错误的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由图象可知，
A点表示茗茗到达B地的时间为40分钟，此时两人的距离为a米
∴茗茗的速度为米/分
C点表示在茗茗返回过程中，两人相遇的时间
由图象可知，CB段比BE段更陡，则CB段时相遇之后茗茗从A地返回，清清继续往B地去
∴B点表示清清到达B地的时间为50分钟，此时两人相距b米
∴清清的速度为米/分
E点表示茗茗返回A时间，D点第二次相遇时的时间
∴a=(150-120)×30=1200
故A选项正确
当清清到达B地时，茗茗距离B地(50-40)×150=1500米，即b=1500
故B选项正确
两人第一次相遇时：150(x-40)+120x=6000
解得：，即
故C选项错误
∴
故D选项正确
故答案为：C
【分析】根据图象所给信息逐项进行判断即可求出答案.
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．（2025·盐田模拟）因式分解：x2+x=　 　
【答案】x（x+1）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：x2+x=x（x+1）．
【分析】根据观察可知原式公因式为x，直接提取可得．　
10．（2025·盐田模拟）已知，则　 　．
【答案】-1
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵
∴a+2b=2
∴
故答案为：-1
【分析】由题意可得a+2b=2，化简代数式，再整体代入即可求出答案.
11．（2025·盐田模拟）如图，平地上一旗杆高为10米，两次观察地面上的影子，第一次太阳光线与地面成，第二次太阳光线与地面成，第二次观察到的影子比第一次长　 　米．（结果保留一位小数（参考数据：，，）
【答案】9.6
【知识点】解直角三角形；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，
∵第一次时当阳光OA与地面成45°
∴AC=OC=10
∵第二次时阳光与地面成27°
∴BC=10÷tan27°≈10÷0.51=19.6
∴第二次观察到的影子比第一次长：19.6-10=9.6
故答案为：9.6
【分析】根据等腰直角三角形性质可得AC=OC=10，再根据正切定义可得BC，再根据边之间的关系即可求出答案.
12．（2025·盐田模拟）如图，在平面直角坐标系中，四边形为平行四边形，点落在反比例函数图象上，点落在反比例函图象上，延长交轴于点，若四边形的面积为3，则的值为　 　．
【答案】6
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：作BE⊥x轴于点E
∵四边形ABCO是平行四边形
∴AO=BC
∵四边形BDOE是矩形
∴OD=BC
∴Rt△ADO≌Rt△CEB(HL)
∴
∵
∴
∴k=6
故答案为：6
【分析】作BE⊥x轴于点E，根据平行四边形性质可得AO=BC，再根据矩形性质可得OD=BC，根据全等三角形判定定理可得Rt△ADO≌Rt△CEB(HL)，则，即，再根据反比例函数k的几何意义即可求出答案.
13．（2025·盐田模拟）等边三角形中，为边上一点，且，将沿翻折，得到，与交于点，则　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵，BC=BD+CD
∴
∵△ABC是等边三角形
∴AB=AC=BC，∠B=∠C=60°
由折叠可知，∠B=∠B'=60°，AB=AB'，BD=B'D
∴∠C=∠B'，
∵∠AFB'=∠DFC
∴△AFB'∽△DFC
∴
设CD=3a，则B'D=BD=5a
∴AB'=8a
∴AB=AC=AB'=8a
设DF=x
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
故答案为：
【分析】根据边之间的关系可得，根据等边三角形性质可得AB=AC=BC，∠B=∠C=60°，由折叠可知，∠B=∠B'=60°，AB=AB'，BD=B'D，则∠C=∠B'，，再根据相似三角形判定定理可得△AFB'∽△DFC，则，设CD=3a，则B'D=BD=5a，AB'=8a，AB=AC=AB'=8a，设DF=x，则，根据边之间的关系可得，，根据题意建立方程，化简可得，即可求出答案.
三、解答题（本大题共7小题，共61分）
14．（2025·盐田模拟）计算：
【答案】解：原式=
=
【知识点】零指数幂；求特殊角的三角函数值；乘方的相关概念；实数的绝对值
【解析】【分析】根据乘方性质，0指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值的性质化简，再计算加减即可求出答案.
15．（2025·盐田模拟）以下是小茗同学化简分式的运算过程：
解：原式……①
……②
……③
（1）上面的运算过程中第　 　步开始出现了错误；
（2）请你写出完整的解答过程．
【答案】（1）①
（2）解：原式
【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据分式减法即可求出答案.
（2）根据分式的运算法则，结合平方差公式即可求出答案.
16．（2025·盐田模拟）随着科技的发展，人工智能渐渐走进了人们的生活，大大提高了工作效率．特别是“DeepSeek”的问世将人工智能技术运用推向高潮．某科技公司推出甲、乙两款人工智能学习辅导软件，相关人员在某学校开展对甲、乙两款人工智能学习辅导软件使用满意度评分调查．测试成绩分为A、、、四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分、9分、8分、7分．相关人员随机抽取甲、乙两款学习辅导软件各25份得分数据，并整理绘制成如下统计图表．
平均数 中位数 众数
甲软件测试得分 9 10
乙软件测试得分 9
根据以上信息，解答下列问题：
（1）将甲软件测试得分统计图补充完整；
（2）　 　，　 　，　 　；
（3）本次调查中，若有1200名学生对甲款人工智能学习辅导软件进行了评分，有1000名学生对乙款人工智能学习辅导软件进行了评分，估计其中对甲、乙两款人工智能学习辅导软件测试评分为等级的学生总人数．
【答案】（1）解：甲软件测试得分为C等级的人数为25-10-6-1=8(人)
补全图形如下
（2）32；9；9
（3）解：∵人
∴估计其中对甲、乙两款人工智能学习辅导软件测试评分为等级的学生总人数为800人
【知识点】扇形统计图；条形统计图；中位数；众数
【解析】【解答】解：（2）甲款人工智能学习辅导软件的评分的中位数为9分
即b=9
∵乙款人工智能学习辅导软件的所有评分数据中9出现的次数最多
∴众数为9，即c=9
∵乙款人工智能学习辅导软件中B组所占的百分比为
a%=1-40%-20%-8%=32%，即a=32
故答案为：32；9；9
【分析】（1）求出甲软件测试得分为C等级的人数，补全图形即可求出答案.
（2）根据中位数，众数的定义可得b，c，用1减去其他登记所占百分比即可求出答案.
（3）分别求出学生人数，再相加即可求出答案.
17．（2025·盐田模拟）血乳酸浓度是衡量运动强度的重要指标，最大血乳酸浓度指人体在极限运动时血液中乳酸含量的峰值．某校运动科学小组以“探究年龄与最大血乳酸浓度的关系”为主题开展实验研究．小组通过运动生理实验室测得不同年龄的最大血乳酸浓度数据如下，发现最大血乳酸浓度L（）与年龄（周岁）符合一次函数关系：
年龄x/周岁 15 20 25 30 35 40 45
最大血乳酸浓度/（） 12.0 11.5 11.0 10.5 10.0 9.5 9.0
（1）求关于的函数关系式；
（2）已知不同运动目标对应的血乳酸浓度范围如表所示，28岁的小刘计划进行提升无氧耐力的训练，他的运动血乳酸浓度应控制在什么范围？（结果保留一位小数）
运动目标 血乳酸浓度占最大浓度的百分比
有氧耐力训练
无氧耐力训练
【答案】（1）解：设L关于x的函数关系式为L=kx+b
将x=15，L=12和x=20，L=11.5代入解析式
，解得
∴L关于x的函数关系式为L=-0.1x+13.5
（2）解：当x=28时，L=-0.1×28+13.5=10.7
∴28岁的小刘最大血乳酸浓度为10.7
10.7×70%=7.49≈7.5，10.7×90%=9.63≈9.6
∴小刘的运动血乳酸浓度应控制在7.5-9.6范围内
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）设L关于x的函数关系式为L=kx+b，根据待定系数法将x=15，L=12和x=20，L=11.5代入解析式即可求出答案.
（2）将x=28代入解析式可得，L=10.7，再根据题意列式计算即可求出答案.
18．（2025·盐田模拟）如图，在中，点是边的中点，过点作直线，垂足为点，交的延长线于点．以为直径作，恰好经过点．
（1）求证：是的切线；
（2）若的半径为5，，求的面积．
【答案】（1）证明：连接OD，AD
∵AB为直径，过点
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC
∵D是BC的中点
∴AB=AC，且∠BAD=∠CAD
∵OA=OD
∴∠BAD=∠ODA
∴∠CAD=∠ODA
∴OD∥AC
∴∠ODE=∠DEC
∵DE⊥AC
∴∠ODE=90°
∴∠DEC=90°，即OD⊥DE
∵OD为的半径
∴是的切线
（2）解：∵OA=5
∴AB=AC=10
∵AD⊥BC，
在Rt△ADC中
∵DE⊥AC
在Rt△CDE中
∴
【知识点】三角形的面积；勾股定理；圆周角定理；切线的判定；解直角三角形
【解析】【分析】（1）连接OD，AD，根据圆周角定理可得∠ADB=90°，即AD⊥BC，再根据线段中点可得AB=AC，且∠BAD=∠CAD，根据等边对等角可得∠BAD=∠ODA，则∠CAD=∠ODA，根据直线平行性质可得∠ODE=∠DEC，则∠DEC=90°，即OD⊥DE，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）根据题意可得AB=AC=10，在Rt△ADC中，解直角三角形可得，再根据勾股定理可得CD，在Rt△CDE中，解直角三角形可得，再根据三角形面积即可求出答案.
19．（2025·盐田模拟）综合与实践
问题情境】
求方程的解，就是求二次函数的图象与x轴交点的横坐标．为了估计这个方程的解，小亮取了自变量x的4个值，再分别算出相应的y值，列表得：
x的值 0 1 2 3
的值 13 30
小亮通过分析得出结论：方程必有两个解，其中一个解大于1且小于2，设这个解为x，即．
进一步取值，得到下表：
x的值 1.0 1.1 1.2 1.3
的值 0.84 2.29
得出结论：．
【操作判断】
（1）若关于x的一元二次方程在实数范围内有两个解、（其中）．
根据下列表格
x的值 1 1.5 2 2.5
的值 4 10
你能得出　 　的大致范围（填“”或“”）；请你写出这个解的取值范围：　 　．
【实践探究】已知二次函数（n为常数）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧）．
（2）若仅有一个交点的横坐标x满足，求出n的取值范围．
（3）不论n为何值，二次函数必过定点E．
①求E点坐标；
②连结，若，请求出n的值．
【答案】（1）x1；1.5（2）解：当x=5时，y=-2n+14
当x=6时，y=-3n+22
∵仅有一个交点的横坐标x满足
∴①或②
解①得：
解②得：无解
综上，n的取值范围为
（3）解：①将函数变形为y=(x-3)n+x2-3x+4
由上式可知，当x=3时，不论n取何值，y恒等于4
故点E的坐标为(3，4)
②过点A作AD⊥AD交BE于点D，由∠AEB=45°可得△AED为等腰直角三角形
分别过点E，点D向x轴引垂线，垂足分别为点H，点F
∴∠EHA=∠DFA，∠AEH=∠DAF=90°-∠EAH，AE=AD
∴△EHA≌△AFD
设A(x1，0)，B(x2，0)
由题意可得，x1∵E(3，4)
∴EH=AF=4，HA=DF=x1-3，BF=x2-x1-4
∵∠DBF=∠EBH，∠DFB=∠EHB
∴△BDF∽△BEH
∴，即
整理得：①
对于函数
令y=0，得到方程
方程的判别式
根据题意可得
由求根公式得，，
代入①中，得
解得：，此时满足
【知识点】相似三角形的判定；等腰直角三角形；一元二次方程的求根公式及应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：（1）∵a<0
∴当时，y随x的增大而增大
由表格可知，表格给的数据是y随x的增大而增大
∴可得出x1的大致范围
∵
∴1.5故答案为：x1；1.5【分析】（1）根据二次函数的性质即可求出答案.
（2）根据题意建立不等式组，解不等式组即可求出答案.
（3）①①将函数变形为y=(x-3)n+x2-3x+4，根据二次函数的性质即可求出答案.
②过点A作AD⊥AD交BE于点D，由∠AEB=45°可得△AED为等腰直角三角形，分别过点E，点D向x轴引垂线，垂足分别为点H，点F，根据全等三角形判定定理可得△EHA≌△AFD，设A(x1，0)，B(x2，0)，由题意可得，x120．（2025·盐田模拟）定义：在中，如果有一条对角线的长等于其中一条边的长，则称这个平行四边形为“字平行四边形”．
（1）下面的图形中是“字平行四边形”的有：____；
A．正方形
B．矩形
C．有一个角是的菱形
D．有一个角是的平行四边形E．有一个角是的平行四边形
（2）在“字平行四边形”中，，，则　 　．
（3）如图，在“字平行四边形”中，，，点是边上一点，，与的延长线交于点，若为“字平行四边形”，求的值；
（4）如图，在矩形中，点、分别是边和边上的点，四边形为“字平行四边形”，若，求的值．
【答案】（1）C
（2）
（3）证明：连接AG，CF
∵在“字平行四边形”中，，
∴∠B=∠ACB=75°，∠BAC=30°
∵AB∥DG
∴∠B=∠BCG=75°
∴∠ACG=∠ACB+∠BCG=150°
由大角对大边可得AG>AC，AG>GC
①当CF=AF时，∠FCA=∠FAC=30°
过点F作FH⊥AC于点H
可得点H为AC的中点，AF=2HF，
∵AC=8
∴
∴
当CF=AC时，∠CAF=∠AFC=30°
此时，∠ACF=120°>∠ACB，矛盾
综上所述，若为字平行四边形，
（4）解：过点E作EM⊥BF于点M，过点F作FN⊥BE于点N
∵四边形ABCD为矩形
∴AD=BC，∠A=∠C=90°，AB=DC=FN
∵四边形BEDF为平行四边形
∴FD=BE，FB=DE
∴AF=AD-FD，CE=BC-BE，即AF=CE
∵四边形BEDF为N字平行四边形
∵BD>BE，BD>DE
①当FB=FE时
∵N为BE的中点
∴BN=NE
在矩形ABNF中，AF=BN
∵AF=CE
∴BN=NE=CE=AF
∴BC=BN+NE+CE=3AF
∵AB=2AF
∴
②当EB=EF时
∵EM⊥BF
∴M为BF的中点，
设AF=t
∴
∵EM⊥BF
∴∠EMB=90°
∵AD∥BC
∴∠AFB=∠MBE
∴Rt△BAF∽Rt△EMB
∴
由可得
∴
∴
综上，或
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；矩形的性质；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）A：正方形对角线不等于边长，不符合题意
B：长方形对角线不等于边长，不符合题意
C：有一个角是的菱形，边长相等，较短对角线长等于边长，符合题意
D：有一个角是的平行四边形，若邻边不相等，不符合题意
E：有一个角是的平行四边形，不符合题意
故答案为：C
（2）设平行四边形ABCD中，∠A=45°，AB=a，BC=b，且a>b
若对角线BD=BC=b，由余弦定义可得：
，即
化简得：
∴
故答案为：
【分析】（1）根据字平行四边形的定义逐项进行判断即可求出答案.
（2）设平行四边形ABCD中，∠A=45°，AB=a，BC=b，且a>b，若对角线BD=BC=b，由余弦定义即可求出答案.
（3）连接AG，CF，根据字平行四边形定义可得∠B=∠ACB=75°，∠BAC=30°，根据直线平行性质可得∠B=∠BCG=75°，根据角之间的关系可得∠ACG=∠ACB+∠BCG=150°，由大角对大边可得AG>AC，AG>GC，分情况讨论：①当CF=AF时，∠FCA=∠FAC=30°，过点F作FH⊥AC于点H，可得点H为AC的中点，AF=2HF，，再根据边之间的关系即可求出但；当CF=AC时，∠CAF=∠AFC=30°，此时，∠ACF=120°>∠ACB，矛盾，即可求出答案.
（4）过点E作EM⊥BF于点M，过点F作FN⊥BE于点N，根据矩形性质可得AD=BC，∠A=∠C=90°，AB=DC=FN，再根据平行四边形性质可得FD=BE，FB=DE，根据边之间的关系可得AF=CE，分情况讨论：①当FB=FE时，根据线段中点可得BN=NE，根据矩形性质可得BN=NE=CE=AF，再根据边之间的关系即可求出答案；②当EB=EF时，根据线段中点可得，设AF=t，根据勾股定理可得BF，BM，再根据直线平行性质可得∠AFB=∠MBE，再根据相似三角形判定定理可得Rt△BAF∽Rt△EMB，则，由可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
1 / 1广东省深圳盐田区2025年九年级数学教学质检二模试题
一、选择题（每小题3分，共24分．每小题有四个选项，其中只有一个是正确的，请把答案按要求填涂到答题卡相应位置上）
1．（2025·盐田模拟）四川三星堆遗址被称为世纪人类最伟大的考古发现之一，让学术界开始重新审视人类文明的发展史．下图是年月首次亮相的青铜瓿，它有“圆口、深腹”等特征．有关其三视图（忽略表面凸起部分）说法正确的是（　　）
A．主视图和左视图完全相同 B．主视图和俯视图完全相同
C．左视图和俯视图完全相同 D．三视图各不相同
2．（2025·盐田模拟）第六代战斗机是一种人工智能控制的吸气式超高音速战斗机，此类战机速度预计可以突破5马赫，飞行一小时的距离约为22100000米，将数据22100000用科学记数法表示时，正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·盐田模拟）下列各式计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025·盐田模拟）2025年是乙已年，其中“乙”是天干，“已”是地支．天干地支纪年法起源于古代中国的历法制定，用于记录年份、月份、日期等时间单位，由十个天干和十二个地支组成．天干包括甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸．地支包括子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉、戌、亥．从“天干”中抽一个，抽到“乙”的概率是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·盐田模拟）如图，小茗同学在物理实验操作课中观察光的折射现象，发现水平放置的水杯底部有一束光线从水中射向空气时要发生折射．当入射光线和水杯的底面成，折射光线与水杯口平面成时，的度数是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·盐田模拟）1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？意思是：矩形面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步？设长为步，可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
7．（2025·盐田模拟）数学活动课上，小茗同学利用尺规对矩形进行如图所示的操作，作出的两条线的交点恰好落在边上的点处，则的度数为（　　）
A． B．
C．条件不足，无法计算 D．
8．（2025·盐田模拟）为了准备参加深圳市马拉松比赛，茗茗和清清约定每周六同时从A地到相距6000米B地匀速往返跑（中途不休息），茗茗的速度大于清清的速度．图中的折线表示从开始到第二次相遇截止时，两人的距离y（米）与跑步时间x（分）之间的关系的图象，下列结论错误的是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．（2025·盐田模拟）因式分解：x2+x=　 　
10．（2025·盐田模拟）已知，则　 　．
11．（2025·盐田模拟）如图，平地上一旗杆高为10米，两次观察地面上的影子，第一次太阳光线与地面成，第二次太阳光线与地面成，第二次观察到的影子比第一次长　 　米．（结果保留一位小数（参考数据：，，）
12．（2025·盐田模拟）如图，在平面直角坐标系中，四边形为平行四边形，点落在反比例函数图象上，点落在反比例函图象上，延长交轴于点，若四边形的面积为3，则的值为　 　．
13．（2025·盐田模拟）等边三角形中，为边上一点，且，将沿翻折，得到，与交于点，则　 　．
三、解答题（本大题共7小题，共61分）
14．（2025·盐田模拟）计算：
15．（2025·盐田模拟）以下是小茗同学化简分式的运算过程：
解：原式……①
……②
……③
（1）上面的运算过程中第　 　步开始出现了错误；
（2）请你写出完整的解答过程．
16．（2025·盐田模拟）随着科技的发展，人工智能渐渐走进了人们的生活，大大提高了工作效率．特别是“DeepSeek”的问世将人工智能技术运用推向高潮．某科技公司推出甲、乙两款人工智能学习辅导软件，相关人员在某学校开展对甲、乙两款人工智能学习辅导软件使用满意度评分调查．测试成绩分为A、、、四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分、9分、8分、7分．相关人员随机抽取甲、乙两款学习辅导软件各25份得分数据，并整理绘制成如下统计图表．
平均数 中位数 众数
甲软件测试得分 9 10
乙软件测试得分 9
根据以上信息，解答下列问题：
（1）将甲软件测试得分统计图补充完整；
（2）　 　，　 　，　 　；
（3）本次调查中，若有1200名学生对甲款人工智能学习辅导软件进行了评分，有1000名学生对乙款人工智能学习辅导软件进行了评分，估计其中对甲、乙两款人工智能学习辅导软件测试评分为等级的学生总人数．
17．（2025·盐田模拟）血乳酸浓度是衡量运动强度的重要指标，最大血乳酸浓度指人体在极限运动时血液中乳酸含量的峰值．某校运动科学小组以“探究年龄与最大血乳酸浓度的关系”为主题开展实验研究．小组通过运动生理实验室测得不同年龄的最大血乳酸浓度数据如下，发现最大血乳酸浓度L（）与年龄（周岁）符合一次函数关系：
年龄x/周岁 15 20 25 30 35 40 45
最大血乳酸浓度/（） 12.0 11.5 11.0 10.5 10.0 9.5 9.0
（1）求关于的函数关系式；
（2）已知不同运动目标对应的血乳酸浓度范围如表所示，28岁的小刘计划进行提升无氧耐力的训练，他的运动血乳酸浓度应控制在什么范围？（结果保留一位小数）
运动目标 血乳酸浓度占最大浓度的百分比
有氧耐力训练
无氧耐力训练
18．（2025·盐田模拟）如图，在中，点是边的中点，过点作直线，垂足为点，交的延长线于点．以为直径作，恰好经过点．
（1）求证：是的切线；
（2）若的半径为5，，求的面积．
19．（2025·盐田模拟）综合与实践
问题情境】
求方程的解，就是求二次函数的图象与x轴交点的横坐标．为了估计这个方程的解，小亮取了自变量x的4个值，再分别算出相应的y值，列表得：
x的值 0 1 2 3
的值 13 30
小亮通过分析得出结论：方程必有两个解，其中一个解大于1且小于2，设这个解为x，即．
进一步取值，得到下表：
x的值 1.0 1.1 1.2 1.3
的值 0.84 2.29
得出结论：．
【操作判断】
（1）若关于x的一元二次方程在实数范围内有两个解、（其中）．
根据下列表格
x的值 1 1.5 2 2.5
的值 4 10
你能得出　 　的大致范围（填“”或“”）；请你写出这个解的取值范围：　 　．
【实践探究】已知二次函数（n为常数）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧）．
（2）若仅有一个交点的横坐标x满足，求出n的取值范围．
（3）不论n为何值，二次函数必过定点E．
①求E点坐标；
②连结，若，请求出n的值．
20．（2025·盐田模拟）定义：在中，如果有一条对角线的长等于其中一条边的长，则称这个平行四边形为“字平行四边形”．
（1）下面的图形中是“字平行四边形”的有：____；
A．正方形
B．矩形
C．有一个角是的菱形
D．有一个角是的平行四边形E．有一个角是的平行四边形
（2）在“字平行四边形”中，，，则　 　．
（3）如图，在“字平行四边形”中，，，点是边上一点，，与的延长线交于点，若为“字平行四边形”，求的值；
（4）如图，在矩形中，点、分别是边和边上的点，四边形为“字平行四边形”，若，求的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：由题意可得：
该几何体的主视图和左视图完全相同
故答案为：A
【分析】根据几何体的三视图即可求出答案.
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：由题意可得：
22100000用科学记数法表示为
故答案为：C
【分析】科学记数法是把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式.
3．【答案】A
【知识点】单项式乘多项式；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A：，正确，符合题意；
B：，不能合并，不符合题意；
C：，错误，不符合题意；
D：，错误，不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据单项式乘以多项式，合并同类项法则，积的乘方，完全平方公式逐项进行判断即可求出答案.
4．【答案】B
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：天干共有10个
则抽一个，抽到“乙”的概率为
故答案为：A
【分析】根据概率公式即可求出答案.
5．【答案】D
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图
∵水面与地面平行
∴∠2=180°-∠4=105°
∵水面与水杯口的平面平行
∴∠3=65°
∴∠1=∠2+∠3=170°
故答案为：D
【分析】根据直线平行性质即可求出答案.
6．【答案】B
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题
7．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
8．【答案】C
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由图象可知，
A点表示茗茗到达B地的时间为40分钟，此时两人的距离为a米
∴茗茗的速度为米/分
C点表示在茗茗返回过程中，两人相遇的时间
由图象可知，CB段比BE段更陡，则CB段时相遇之后茗茗从A地返回，清清继续往B地去
∴B点表示清清到达B地的时间为50分钟，此时两人相距b米
∴清清的速度为米/分
E点表示茗茗返回A时间，D点第二次相遇时的时间
∴a=(150-120)×30=1200
故A选项正确
当清清到达B地时，茗茗距离B地(50-40)×150=1500米，即b=1500
故B选项正确
两人第一次相遇时：150(x-40)+120x=6000
解得：，即
故C选项错误
∴
故D选项正确
故答案为：C
【分析】根据图象所给信息逐项进行判断即可求出答案.
9．【答案】x（x+1）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：x2+x=x（x+1）．
【分析】根据观察可知原式公因式为x，直接提取可得．　
10．【答案】-1
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵
∴a+2b=2
∴
故答案为：-1
【分析】由题意可得a+2b=2，化简代数式，再整体代入即可求出答案.
11．【答案】9.6
【知识点】解直角三角形；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，
∵第一次时当阳光OA与地面成45°
∴AC=OC=10
∵第二次时阳光与地面成27°
∴BC=10÷tan27°≈10÷0.51=19.6
∴第二次观察到的影子比第一次长：19.6-10=9.6
故答案为：9.6
【分析】根据等腰直角三角形性质可得AC=OC=10，再根据正切定义可得BC，再根据边之间的关系即可求出答案.
12．【答案】6
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：作BE⊥x轴于点E
∵四边形ABCO是平行四边形
∴AO=BC
∵四边形BDOE是矩形
∴OD=BC
∴Rt△ADO≌Rt△CEB(HL)
∴
∵
∴
∴k=6
故答案为：6
【分析】作BE⊥x轴于点E，根据平行四边形性质可得AO=BC，再根据矩形性质可得OD=BC，根据全等三角形判定定理可得Rt△ADO≌Rt△CEB(HL)，则，即，再根据反比例函数k的几何意义即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵，BC=BD+CD
∴
∵△ABC是等边三角形
∴AB=AC=BC，∠B=∠C=60°
由折叠可知，∠B=∠B'=60°，AB=AB'，BD=B'D
∴∠C=∠B'，
∵∠AFB'=∠DFC
∴△AFB'∽△DFC
∴
设CD=3a，则B'D=BD=5a
∴AB'=8a
∴AB=AC=AB'=8a
设DF=x
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
故答案为：
【分析】根据边之间的关系可得，根据等边三角形性质可得AB=AC=BC，∠B=∠C=60°，由折叠可知，∠B=∠B'=60°，AB=AB'，BD=B'D，则∠C=∠B'，，再根据相似三角形判定定理可得△AFB'∽△DFC，则，设CD=3a，则B'D=BD=5a，AB'=8a，AB=AC=AB'=8a，设DF=x，则，根据边之间的关系可得，，根据题意建立方程，化简可得，即可求出答案.
14．【答案】解：原式=
=
【知识点】零指数幂；求特殊角的三角函数值；乘方的相关概念；实数的绝对值
【解析】【分析】根据乘方性质，0指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值的性质化简，再计算加减即可求出答案.
15．【答案】（1）①
（2）解：原式
【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据分式减法即可求出答案.
（2）根据分式的运算法则，结合平方差公式即可求出答案.
16．【答案】（1）解：甲软件测试得分为C等级的人数为25-10-6-1=8(人)
补全图形如下
（2）32；9；9
（3）解：∵人
∴估计其中对甲、乙两款人工智能学习辅导软件测试评分为等级的学生总人数为800人
【知识点】扇形统计图；条形统计图；中位数；众数
【解析】【解答】解：（2）甲款人工智能学习辅导软件的评分的中位数为9分
即b=9
∵乙款人工智能学习辅导软件的所有评分数据中9出现的次数最多
∴众数为9，即c=9
∵乙款人工智能学习辅导软件中B组所占的百分比为
a%=1-40%-20%-8%=32%，即a=32
故答案为：32；9；9
【分析】（1）求出甲软件测试得分为C等级的人数，补全图形即可求出答案.
（2）根据中位数，众数的定义可得b，c，用1减去其他登记所占百分比即可求出答案.
（3）分别求出学生人数，再相加即可求出答案.
17．【答案】（1）解：设L关于x的函数关系式为L=kx+b
将x=15，L=12和x=20，L=11.5代入解析式
，解得
∴L关于x的函数关系式为L=-0.1x+13.5
（2）解：当x=28时，L=-0.1×28+13.5=10.7
∴28岁的小刘最大血乳酸浓度为10.7
10.7×70%=7.49≈7.5，10.7×90%=9.63≈9.6
∴小刘的运动血乳酸浓度应控制在7.5-9.6范围内
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）设L关于x的函数关系式为L=kx+b，根据待定系数法将x=15，L=12和x=20，L=11.5代入解析式即可求出答案.
（2）将x=28代入解析式可得，L=10.7，再根据题意列式计算即可求出答案.
18．【答案】（1）证明：连接OD，AD
∵AB为直径，过点
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC
∵D是BC的中点
∴AB=AC，且∠BAD=∠CAD
∵OA=OD
∴∠BAD=∠ODA
∴∠CAD=∠ODA
∴OD∥AC
∴∠ODE=∠DEC
∵DE⊥AC
∴∠ODE=90°
∴∠DEC=90°，即OD⊥DE
∵OD为的半径
∴是的切线
（2）解：∵OA=5
∴AB=AC=10
∵AD⊥BC，
在Rt△ADC中
∵DE⊥AC
在Rt△CDE中
∴
【知识点】三角形的面积；勾股定理；圆周角定理；切线的判定；解直角三角形
【解析】【分析】（1）连接OD，AD，根据圆周角定理可得∠ADB=90°，即AD⊥BC，再根据线段中点可得AB=AC，且∠BAD=∠CAD，根据等边对等角可得∠BAD=∠ODA，则∠CAD=∠ODA，根据直线平行性质可得∠ODE=∠DEC，则∠DEC=90°，即OD⊥DE，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）根据题意可得AB=AC=10，在Rt△ADC中，解直角三角形可得，再根据勾股定理可得CD，在Rt△CDE中，解直角三角形可得，再根据三角形面积即可求出答案.
19．【答案】（1）x1；1.5（2）解：当x=5时，y=-2n+14
当x=6时，y=-3n+22
∵仅有一个交点的横坐标x满足
∴①或②
解①得：
解②得：无解
综上，n的取值范围为
（3）解：①将函数变形为y=(x-3)n+x2-3x+4
由上式可知，当x=3时，不论n取何值，y恒等于4
故点E的坐标为(3，4)
②过点A作AD⊥AD交BE于点D，由∠AEB=45°可得△AED为等腰直角三角形
分别过点E，点D向x轴引垂线，垂足分别为点H，点F
∴∠EHA=∠DFA，∠AEH=∠DAF=90°-∠EAH，AE=AD
∴△EHA≌△AFD
设A(x1，0)，B(x2，0)
由题意可得，x1∵E(3，4)
∴EH=AF=4，HA=DF=x1-3，BF=x2-x1-4
∵∠DBF=∠EBH，∠DFB=∠EHB
∴△BDF∽△BEH
∴，即
整理得：①
对于函数
令y=0，得到方程
方程的判别式
根据题意可得
由求根公式得，，
代入①中，得
解得：，此时满足
【知识点】相似三角形的判定；等腰直角三角形；一元二次方程的求根公式及应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：（1）∵a<0
∴当时，y随x的增大而增大
由表格可知，表格给的数据是y随x的增大而增大
∴可得出x1的大致范围
∵
∴1.5故答案为：x1；1.5【分析】（1）根据二次函数的性质即可求出答案.
（2）根据题意建立不等式组，解不等式组即可求出答案.
（3）①①将函数变形为y=(x-3)n+x2-3x+4，根据二次函数的性质即可求出答案.
②过点A作AD⊥AD交BE于点D，由∠AEB=45°可得△AED为等腰直角三角形，分别过点E，点D向x轴引垂线，垂足分别为点H，点F，根据全等三角形判定定理可得△EHA≌△AFD，设A(x1，0)，B(x2，0)，由题意可得，x120．【答案】（1）C
（2）
（3）证明：连接AG，CF
∵在“字平行四边形”中，，
∴∠B=∠ACB=75°，∠BAC=30°
∵AB∥DG
∴∠B=∠BCG=75°
∴∠ACG=∠ACB+∠BCG=150°
由大角对大边可得AG>AC，AG>GC
①当CF=AF时，∠FCA=∠FAC=30°
过点F作FH⊥AC于点H
可得点H为AC的中点，AF=2HF，
∵AC=8
∴
∴
当CF=AC时，∠CAF=∠AFC=30°
此时，∠ACF=120°>∠ACB，矛盾
综上所述，若为字平行四边形，
（4）解：过点E作EM⊥BF于点M，过点F作FN⊥BE于点N
∵四边形ABCD为矩形
∴AD=BC，∠A=∠C=90°，AB=DC=FN
∵四边形BEDF为平行四边形
∴FD=BE，FB=DE
∴AF=AD-FD，CE=BC-BE，即AF=CE
∵四边形BEDF为N字平行四边形
∵BD>BE，BD>DE
①当FB=FE时
∵N为BE的中点
∴BN=NE
在矩形ABNF中，AF=BN
∵AF=CE
∴BN=NE=CE=AF
∴BC=BN+NE+CE=3AF
∵AB=2AF
∴
②当EB=EF时
∵EM⊥BF
∴M为BF的中点，
设AF=t
∴
∵EM⊥BF
∴∠EMB=90°
∵AD∥BC
∴∠AFB=∠MBE
∴Rt△BAF∽Rt△EMB
∴
由可得
∴
∴
综上，或
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；矩形的性质；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）A：正方形对角线不等于边长，不符合题意
B：长方形对角线不等于边长，不符合题意
C：有一个角是的菱形，边长相等，较短对角线长等于边长，符合题意
D：有一个角是的平行四边形，若邻边不相等，不符合题意
E：有一个角是的平行四边形，不符合题意
故答案为：C
（2）设平行四边形ABCD中，∠A=45°，AB=a，BC=b，且a>b
若对角线BD=BC=b，由余弦定义可得：
，即
化简得：
∴
故答案为：
【分析】（1）根据字平行四边形的定义逐项进行判断即可求出答案.
（2）设平行四边形ABCD中，∠A=45°，AB=a，BC=b，且a>b，若对角线BD=BC=b，由余弦定义即可求出答案.
（3）连接AG，CF，根据字平行四边形定义可得∠B=∠ACB=75°，∠BAC=30°，根据直线平行性质可得∠B=∠BCG=75°，根据角之间的关系可得∠ACG=∠ACB+∠BCG=150°，由大角对大边可得AG>AC，AG>GC，分情况讨论：①当CF=AF时，∠FCA=∠FAC=30°，过点F作FH⊥AC于点H，可得点H为AC的中点，AF=2HF，，再根据边之间的关系即可求出但；当CF=AC时，∠CAF=∠AFC=30°，此时，∠ACF=120°>∠ACB，矛盾，即可求出答案.
（4）过点E作EM⊥BF于点M，过点F作FN⊥BE于点N，根据矩形性质可得AD=BC，∠A=∠C=90°，AB=DC=FN，再根据平行四边形性质可得FD=BE，FB=DE，根据边之间的关系可得AF=CE，分情况讨论：①当FB=FE时，根据线段中点可得BN=NE，根据矩形性质可得BN=NE=CE=AF，再根据边之间的关系即可求出答案；②当EB=EF时，根据线段中点可得，设AF=t，根据勾股定理可得BF，BM，再根据直线平行性质可得∠AFB=∠MBE，再根据相似三角形判定定理可得Rt△BAF∽Rt△EMB，则，由可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
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