资源简介

机密★启封前
2024—2025学年（下）高三年级第一次模拟考试A
数 学
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题纸上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将本试卷与答题卡一并由监考人员收回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．化简得（ ）
A． B． C． D．
4．甲、乙两人玩迷宫游戏，已知迷宫的入口编号为1，出口编号分别为2，3，4，5，6，7，两人从入口进入后，他们离开的出口编号之和为8的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．已知双曲线的左焦点为，过原点的直线与的右支交于点，若为等腰三角形，则点到轴的距离为（ ）
A． B． C．3 D．5
6．已知正方体的棱长为1，若P点在正方体的内部且满足，则P点到直线AB的距离为（ ）
A． B． C． D．
7．下列说法不正确的是（ ）
A．已知数列满足，，其前项和为，若，则
B．等差数列中，已知公差，且，则
C．已知等差数列和的前项和分别为、，若，则
D．设数列的前项和为，若，且，则
8．已知函数，当时，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．定义：已知函数在其定义域上的最大值为，最小值为，若，则称是“间距函数”，则下列函数是“间距函数”的有（ ）
A．， B．，
C．， D．，
10．已知椭圆的右焦点为，左、右顶点分别为两点，直线与椭圆相交于两点，则（ ）
A．椭圆的短轴长为
B．为定值
C．当以四个点为顶点的四边形为平行四边形时，四边形的面积为
D．直线和的斜率的乘积为
11．在棱长为2的正方体中，是侧面上的一个动点（含边界），是的中点，则（ ）
A．当为的中点时，异面直线与所成的角为
B．存在点，使得平面
C．若，则点的轨迹长度为
D．当为的中点时，三棱锥的外接球表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知等比数列的各项均为正数，且，则 .
13．某学校统计了所有在职教师（只有一级教师和高级教师）的工资情况，其中一级教师80人，平均工资为4.5千元，方差为0.04，高级教师20人，平均工资为6.5千元，方差为0.44，则该校所有在职教师工资的方差为 .
14．定义：已知函数的导函数为，若是可导函数且其导函数记为，则曲线在点处的曲率．据此，曲线（其中）的曲率K的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
在△ABC中，内角、、所对的边分别为、、，且已知.
(1)证明：；
(2)若边上的中线长为，求的最大值．
16．（15分）
如图，在直四棱柱中，底面为矩形，且分别为的中点.
(1)证明：平面.
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
17．（15分）
某工厂引进两条智能化生产线，从这两条生产线生产的产品中各随机抽取100件进行检验，得到的数据如下表：
优质品 合格品 总计
A生产线 90 10 100
B生产线 80 20 100
总计 170 30 200
(1)依据小概率值的独立性检验，分析A，B两条智能化生产线的优质品率是否存在差异；
(2)用样本的频率估计概率，若B生产线的生产效率是A生产线的2倍，现从A，B两条生产线同一时间段内生产的均匀混合放置的产品里任取一件产品，求其是优质品的概率；
(3)用样本的频率估计概率，若从B生产线上随机抽取3件产品，记X为这3件产品中优质品的件数，求X的分布列和数学期望．
α 0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
附．
（17分）
已知函数，．
(1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求实数的值；
(2)若在上单调递减，求实数的取值范围；
(3)证明：，．
（17分）
设，是抛物线上除顶点以外的两点，过点，分别作的切线，两条切线相交于点.
(1)若且，求直线的方程；
(2)设，分别为直线，与轴的交点，证明：的外接圆过定点；
(3)若的焦点为，点，在的准线上的射影分别为点，，证明：点是的外心.
附：抛物线有如下光学性质：从焦点发出的光线，经抛物线反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴2024—2025学年（下）高三年级第一次模拟考试
A卷数学参考答案与评析
1．C
【分析】先求得集合 A = {x∣- 3 < x < 3}，再根据集合交集的概念及运算即可求解.
【详解】 A = {x∣x 2 < 3}= {x∣- 3 < x < 3},B = {-1,0,1,2,3 }， A B 1,0,1 .
故选：C.
2．D
3 i
【分析】先根据复数的四则运算化简得出 z ,再结合复数的几何意义得出复数对应的
5 5
点确定象限即可.
1 i 1 i 2 i 3 i【详解】 z ,2 i 2 i 2 i 5 5
z 3 1 在复平面内对应的点为 , ，
5 5
z在复平面内对应的点位于在第四象限.
故选:D．
3．D
【分析】利用向量的加减运算法则化简即可.

【详解】 AC BD CD AB AC CD BD AB AD AD 0 .
故选：D
4．B
【分析】利用古典概型的概率公式可求概率.
【详解】甲、乙两人分别从 6个出口中选择 1个出口有 6种不同的选法，
故共有6 6 36种不同的基本事件，
又他们离开的出口编号之和为 8的包含的基本事件有 (2,6), (6,2), (3,5), (5,3), (4,4)共 5个，
5
所以他们离开的出口编号之和为 8的概率为 .
36
故选：B.
5．A
【分析】由△OAF为等腰三角形，可得 OF OA ，证得 AF AF ，有
答案第 1页，共 16页
{#{QQABKYKEogiAAhAAABhCEQFYCkEQkBECCYoOgBAUMAABgRNABAA=}#}
AF 2 AF 2 FF 2 100，又 AF AF 8，得 AF AF 18，利用面积法求点A到 x轴
的距离.
【详解】设双曲线C的右焦点为 F ，由题意可得 a 4,b 3, c a2 b2 5，连接 AF ，
则有 F 5,0 ， F 5,0 ，
若△OAF为等腰三角形，则 OF OA （线段OF与 AF 显然不相等），
1
所以 OA FF ，又O为 FF 的中点，所以 AF AF ，2
则有 AF 2 AF 2 FF 2 100．
由双曲线的定义得 AF AF 8，
1 2 2
所以 AF AF AF AF AF AF
2
18 ，2
AF AF 18 9
设点A到 x轴的距离为 h，则h FF 10 5．
故选：A．
6．A
【分析】如图，分别以 AB、AD、AE为 x轴、y轴、z轴作出空间直角坐标系，由题可得点

P坐标， AP ,sin PAB，即可得答案.
【详解】分别以 AB、AD、AE为 x轴、y轴、z轴作出空间直角坐标系如图，

∵正方体 ABCD EFGH 的棱长为 1，∴ AB (1,0,0)，
3 1 2 3 2 2
∵ AP AB AD AE，∴ AP ,
1 , 2 3 1
4 2 3 ，可得 4 2 3
AP
4 2 2
2
181 .3 12
答案第 2页，共 16页
{#{QQABKYKEogiAAhAAABhCEQFYCkEQkBECCYoOgBAUMAABgRNABAA=}#}
3 1 2 3 ∵ AB AP 1 4 0 2 0 3 4 ， AB AP | AB | | AP |cos PAB ，
3
AB AP 4 9
∴ cos PAB ，
AB AP 1 181 18112
根据同角三角函数关系，得 sin PAB 1 cos
2 PAB 10
181 ，

P AB AP sin PAB 181 10 5∴ 点到直线 的距离为 12 181 6
，
故选：A.
7．D
【分析】构造数列后由等比数列的求和公式可得 A正确；由等差数列下标的性质可得 B正
确；由等差中项结合等差数列的求和公式可得 C正确；由递推公式得到 Sn 为等差数列，
再利用 an 和 Sn的关系求出等差数列的通项可得 D错误.
【详解】对于 A，由 an 1 2an 1可得 an 1 1 2an 1 1 an 1 1 2 an 1 ，
所以 an 1 是以 a1 1 2为首项，2为公比的等比数列，
2 1 2nn n
所以 an 1 2 an 2 1

，所以 S n 2n 1n n 2，1 2
Sm 2036 2
m 1 2 m，解得m 10，故 A正确；
1
对于 B，等差数列 an 中， a2 a4 a6 a100 60 50 85，2
所以 a1 a2 a3 a100 60 85 145，故 B正确；
a5 a7 2aC 6
a6
对于 ，由题意可得 b2 b10 2b6 b
，
6
答案第 3页，共 16页
{#{QQABKYKEogiAAhAAABhCEQFYCkEQkBECCYoOgBAUMAABgRNABAA=}#}
11 a1 a11
Sn 3n 4
又
S a 3 11 4 37
T n 2 ，即
11 2 6
n T11 11
，故 C正确；
b1 b11 b 6 11 2 13
2
对于 D， an 1 Sn 1 Sn 2 Sn 1 Sn 1 2 Sn 1 ，
因为 a1 1，所以 Sn 0，所以 Sn 1 Sn 1，
所以数列 Sn 是以 S1 1为首项，1为公差的等差数列，
所以 Sn n Sn n
2 2
，即 an S
2
n Sn 1 n n 1 2n 1，
所以 a5 9 5，故 D错误.
故选：D
8．C
【分析】分 a 0,a 0,a 0三种情况 f x 0恒成立化简，再结合参数分离应用基本不等式
计算求参.
2 2
【详解】函数 f x x ax x a，当 x 0时， f x 0，
a 0 f x x2 2当 时， x 0，符合题意；
当 a 0 2 2 2 2时，函数 f x x ax x a x ax x a ax a 0，不符合题意；
当 a 0时，函数 f x x2 ax x2 a 0恒成立，所以 x2 a x2 ax x2 a恒成立，
因为 ax 0 a，所以 x2 ax x2 a恒成立，
所以 x2 a x2 ax 2恒成立，即得 a x 1 ax a 2x ，
当 x 0,1 时， a x 1 ax a 2x2恒成立，
2
当 x 1, 2x时， a 恒成立，
x 1
2 t 2 1 t 2 2t 1 1
令 x 1 t 0， a 2
t t
2 t 2 t
恒成立，

因为 t 2 1 2 t 1 2 4，当且仅当 t 1时取最小值 4，
t t
a 2 1 所以 t 2 8，符合题意；
t min
则 a的取值范围是 0,8 .
答案第 4页，共 16页
{#{QQABKYKEogiAAhAAABhCEQFYCkEQkBECCYoOgBAUMAABgRNABAA=}#}
故选：C.
9．BCD
【分析】对于 A，利用 y sin x的性质，求出最大值和最小值，即可求解；对于 B，利用反
比例函数的性质，求出最大值和最小值，即可求解；对于 C，令u x 2 2 4， y u ，
利用复合函数的单调性，求出最大值和最小值，即可求解；对于 D，令 t 2x ，则 y t2 t，
求出 y t2 t在区间 1,2 上最值，即可求解.
【详解】对于选项 A，易知 f x 2sin x的最大值为m 2，最小值为 n 2，则m n 4，
所以选项 A错误，
f x x 1 1 1 2 对于选项 B，因为 在区间 , 2 上单调递减，x x 5
f x x + 1 5 7 3所以 ( )= 的最大值为m 1 ，最小值为 n ，则m n 2，所以选项 B正确，
x 2 2 2
C 2 2 u x 2 2对于选项 ， f x x 4x x 2 4 ，令 4， y u ，
x 0, 4 u 0, 4 u x 2 2当 时， ，又 4在区间 0,2 上单调递增，在区间 2,4 上单调
递减，
又 y u 在区间 0,4 上单调递增，所以 f x x2 4x 的最大值为m 2，最小值为 n 0，
则m n 2，所以选项 C正确，
对于选项 D，令 t 2x ，因为 x 0,1 x，则 y t2 t，且 t 2 1,2 ，
易知 y t2 t在区间 1,2 上单调递增，所以 y t2 t在区间 1,2 的最大值为m 2，最小值
为 n 0，
则m n 2，所以选项 D正确，
故选：BCD.
10．ABD
【分析】利用给定的椭圆基本量求出短轴长度判断 A，利用椭圆的对称性合理转化长度判断
B，利用平行四边形性质求出 P的坐标，再求解平行四边形面积判断 C，设出关键点的坐标，
利用点在椭圆上消去参数，判断斜率乘积为定值求解 D即可.
【详解】对于 A，由 a 2,b 3，得到 c a2 b2 4 3 1，
答案第 5页，共 16页
{#{QQABKYKEogiAAhAAABhCEQFYCkEQkBECCYoOgBAUMAABgRNABAA=}#}
可得椭圆 C的短轴长为 2 3，故 A正确；
对于 B，如图，设椭圆 C的左焦点为F1，连接 PF,QF,QF1
由椭圆的对称性有 PF QF QF1 QF 4，故 B正确；
对于 C，由题意得 BF 1，且 PQ//BF，
又因为四边形 PQFB为平行四边形，有 PQ BF 1，
1 1 2
可得点 P的坐标为 , y ，代入椭圆中，得到 y ，
2 4 14 3
1 3 5
解得 y 3 5 ，即 P的坐标为 ,2 4 ，4
3 5 3 5
则平行四边形的面积为1 ，故 C错误；
4 4
对于 D，由 A( 2,0)，设点 P,Q的坐标分别为 x0 ,m , x0 ,m ，
x2 m2 m m
代入椭圆中有 0 1．又由 kAP kAQ x 2 x 2 ，4 3 0 0
2 3

1
1 x2
m
4
0
3 ，故 D正确．
4 x2 4 x20 0 4
故选：ABD．
11．BC
【分析】根据线面垂直的判定定理与性质定理可得 BQ PC，即可判断 A；根据几何性质
可得 BQ//AP，结合线面平行判定定理可得 BQ//平面 ACP，即可判断 B；根据线性平行，
线面垂直，结合勾股定理可得点 P在侧面 ADD1A1内的运动轨迹是以 E为圆心，1为半径的
半圆，即可判断 C；当 P为 A1D1的中点时，取 B1C1的中点M ，三棱锥P ABD的外接球即为
三棱柱 PAD MBC的外接球，由几何计算结合正弦定理得外接圆半径，从而得外接球的半
径，即可判断 D.
答案第 6页，共 16页
{#{QQABKYKEogiAAhAAABhCEQFYCkEQkBECCYoOgBAUMAABgRNABAA=}#}
【详解】
对于 A，如图 1，取 B1C1的中点M ，连接PM ,MC，
因为C1M QC, MC1C C1CB 90 ,C1C BC，所以 MC1C≌ QCB，
所以 C1MC CQB，则 CQB MCC1 90 ,可得 BQ CM ，
又D1C1 //PM ,D1C1 平面 BCC1B1，所以 PM 平面 BCC1B1，
因为 BQ 平面 BCC1B1，所以 BQ PM ，
因为 PM CM M, PM, CM 平面 PCM，
所以 BQ 平面 PCM，又 PC 平面 PCM，所以 BQ PC，故 A错误；
对于 B，如图 2，当 P为DD1的中点时，易证得四边形 ABQP为平行四边形，所以 BQ//AP，
因为 BQ 平面 ACP, AP 平面 ACP，所以 BQ//平面 ACP，故 B正确；
答案第 7页，共 16页
{#{QQABKYKEogiAAhAAABhCEQFYCkEQkBECCYoOgBAUMAABgRNABAA=}#}
对于 C，如图 3，取DD1的中点 E，连接QE,PE，
在正方体 ABCD A1B1C1D1中，CD 平面 ADD1A1，且CD//QE，
所以QE 平面 ADD1A1，因为 PE 平面 ADD1A1，所以 PE QE，
则 PE PQ 2 QE 2 ( 5)2 22 1，
则点 P在侧面 ADD1A1内的运动轨迹是以 E为圆心，1为半径的半圆，
其轨迹长度为 πr π，故 C正确；
对于 D，如图 4，当 P为 A1D1的中点时，取 B1C1的中点M ，
三棱锥 P ABD的外接球即为三棱柱PAD MBC的外接球，
设△PAD与△MBC的外心分别为 E,F，则球心O为 EF的中点，
PA2 PD2 AD2 3
易求得 PA PD 5，由余弦定理， cos APD ，
2PA PD 5
4
所以 sin APD ，
5
AD 5
由正弦定理，EA ，
2sin APD 4
41
所以所求外接球O的半径 R EA2 EO 2 ，
4
S 41π其表面积为 4πR2 ，故 D错误.
4
故选：BC.
12． 2n 1
【分析】根据给定条件，求出数列 an 的公比及首项即得.
【详解】设等比数列 an 的公比为 q，由 an 0，知 q 0，
答案第 8页，共 16页
{#{QQABKYKEogiAAhAAABhCEQFYCkEQkBECCYoOgBAUMAABgRNABAA=}#}
a1(1 q
4 ) 17
依题意， 2 ，解得 q 2,a 1，
a1q (1 q
4 ) 68 1
a n 1所以 n a1q 2
n 1 .
故答案为： 2n 1
19
13．0.76/
25
【分析】利用分层抽样的平均数和方差公式即可.
2 2
【详解】设一级教师的平均工资和方差为 x1、 s1 ，高级教师的平均工资和方差为 x2、 s2 ，
因一级教师的占比
80 4 20 1
1 ，高级教师的占比 2 ，80 20 5 80 20 5
4 1
则全校教师的平均工资为 x 1 x1 2 x2 4.5 6.5 4.9 (千元)，5 5
2 2 2 2 2
则教师工资的方差为 S 1 S1 x1 x 2 S2 x2 x
4 1
0.04 4.5 4.9
2
0.44 6.5 4.9
2
0.76 .5 5
故答案为：0.76
14 4 3
4
． / 3
9 9
【分析】根据曲率的定义得到曲率 K，再应用导数求解曲率 K的最大值即可.
【详解】解：因为 y e2x，所以 y 2e2x ， y 4e2x，
所以曲线 y e2x（其中 x R ）的曲率
4e2x 2x
K 4e 3 3
，1 2e2x 2 2 (1 4e4x )2
3 3 18e2x (1 4e4x )2 4e2x (1 4e4x )2 16e4x
所以K 2
(1 4e4x )3
8e2x (1 8e4x )
5 ，
(1 4e4x )2
1 1
由K 0，可得 x ln ，
4 8
所以当 x ( ,
1 ln 1)时，K 0，K单调递增；
4 8
答案第 9页，共 16页
{#{QQABKYKEogiAAhAAABhCEQFYCkEQkBECCYoOgBAUMAABgRNABAA=}#}
x (1当 ln
1 , )时，K 0，K单调递减.
4 8
1 ln1
4e2 81 1 K 2 4 3所以当 x ln 时， max 1 3
4 8 ln 9(1 4e 8 )2 27
8
4 3
故答案为： .
9
15．(1)证明见解析
(2)4
2
【分析】（1 a）利用余弦定理结合基本不等式得到 1，再利用正弦定理边化角即可得证；
bc
（2）利用平面向量加法的平行四边形法则将中线转化为向量表示，再利用基本不等式即可
求解.
1 b2 c2 a2 2bc a2 a2
【详解】（1）由余弦定理，得 cosA 1 ，
2 2bc 2bc 2bc
1 21 a a
2
故 ，即 1，当且仅当b c时等号成立，
2 2bc bc
sin2A
由正弦定理可得 1，
sinBsinC
A π 3 1又 ，故 1，即 sinBsinC
3
.
3 4 sinBsinC 4
（2）
1
设D为 BC的中点，则有 AD AB AC2 ，
2 1 2 2两边平方得， AD AB 2 AB AC cosA AC ，4
2 1 2 2
即 AD b c bc 3，4
故12 b2 c2 bc 2bc bc 3bc，即bc 4，当且仅当b c 2时等号成立，
所以bc的最大值为 4.
16．(1)证明见解析
答案第 10页，共 16页
{#{QQABKYKEogiAAhAAABhCEQFYCkEQkBECCYoOgBAUMAABgRNABAA=}#}
(2) 3
3

【分析】（1）不妨设 AD 1，建立空间直角坐标系，求出平面 A1EB的法向量m，由 AF m 0，

得到 AF m，即可得证；
（2）求出平面 A1B1B的法向量，利用空间向量法计算可得.
【详解】（1）不妨设 AD 1，则 AA1 AB 2，如图建立空间直角坐标系，
则 A1 1,0,2 ，B 1,2,0 ， E 0,1,2 ， A 1,0,0 ，F 0,0,1 ，D 0,0,0 ，

所以 A1E 1,1,0 ， A1B 0,2, 2 ， AF 1,0,1 ，
m 设 x, y, z 是平面 A1EB的一个法向量，

m

A1E x y 0
则 ，取 x 1，则 y z 1，
m A1B 2 y 2 z 0

所以平面 A1EB的一个法向量m 1,1,1 ，

又 AF m 0，所以 AF m，因为 AF 平面 A1EB，所以 AF //平面 A1EB .

（2）因为DA 平面 AA1B1B，所以DA 1,0,0 是平面 A1B1B的一个法向量，

又因为 cos m
,DA m DA
1 3

m DA 3 3 ，
所以平面 A1B1B与平面 A1BE
3
夹角的余弦值为 .
3
17．(1)是
5
(2)
6
(3)分布列见解析， 2.4
答案第 11页，共 16页
{#{QQABKYKEogiAAhAAABhCEQFYCkEQkBECCYoOgBAUMAABgRNABAA=}#}
【分析】（1）计算出 2的观测值，结合临界值表可得出结论；
（2）根据全概率公式计算即可；
（3）由题意得 X B 3,0.8 ，即可列出分布列，进而得出数学期望．
【详解】（1）零假设：A，B两条智能化生产线的优质品率是不存在差异
2 200 (90 20 10 80)
2 200
3.9216 3.841 .
100 100 170 30 51
依据小概率值 0.05的 2独立性检验，可知零假设不成立，
可以认为 A,B两条智能化生产线的优质品率存在差异．
（2）设“A生产线生产的产品”为事件M ，“ B生产线生产的产品”为事件N，“任取一件产
品是优质品”为事件C，
P M 1 ,P N 2 ,P C |M 9由题可知， ( )= ( )= ( )= ,P C |N
4
( )= ，
3 3 10 5
则 P C P M P C |M P N P C |N 1 0.9 2 5 0.8 ，
3 3 6
5
所以任取一件产品是优质品的概率为 ．
6
（3） X 的所有可能取值为 0，1，2，3，由题意得 X B 3,0.8 ，
P X 0 C00.233 0.008,P X 1 C13 0.81 0.22 0.096，
P X 2 C2 2 1 3 33 0.8 0.2 0.384,P X 3 C3 0.8 0.512 .
所以 X 的分布列为：
X 0 1 2 3
P 0.008 0.096 0.384 0.512
所以 X 的数学期望 E X np 3 0.8 2.4．
18．(1)a 2
(2)
1
,


2
(3)证明见解析
【分析】（1）求出 f 1 ，根据曲线 y f x 在点 1, f 1 处的切线与直线 y x 6垂直，
结合斜率关系可得出关于 a的等式，解之即可；
1 lnx
（2）由题意可知 F x 0对任意的 x 0恒成立，参变分离得 2a 在 0, 上恒成
x
答案第 12页，共 16页
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1 lnx
立，利用导数求出函数 h x 的最大值，即可求得实数 a的取值范围；
x
n
（3）由（2）可知， x 1 lnx，当且仅当 x 1时取得等号，令 x 0,1 ，则
n 1
n
1 lnn ln n 1 ，然后利用不等式的基本性质可证得结论成立.n 1
【详解】（1）因为 f x lnx 2 1 2 ax ，所以 f x 2 a，则 f 1 3 a，x x x
因为曲线 y f x 在点 1, f 1 处的切线与直线 y x 6垂直，
所以 3 a 1，故 a 2．
（2） F x xf x xlnx ax2 2，则 F x 1 lnx 2ax，
所以1 lnx 2ax 0在 0, 上恒成立．
1 lnx
故 2a 在 0, 上恒成立，
x
令 h x 1 lnx ， x 0, ，则 h x lnx ，
x x2
当0 x 1时， h x 0， h x 在 0,1 单调递增；
当 x 1时， h x 0， h x 在 1, 上单调递减，
1 1
所以 h x h 1max 1，则 2a 1，所以 a ，故实数 a的取值范围为2 , ． 2
1
（3）由（2）可知，当 a 时， x 1 lnx，当且仅当 x 1时取得等号，
2
令 x
n
0,1 n n，则 1 ln 1 lnn ln n 1 ，
n 1 n 1 n 1
1
所以 1 ln1 ln2 ，
2
2 3
1 ln2 ln3 ， 1 ln3 ln4 ，…，
3 4
n
1 lnn ln n 1 ，n 1
n i
所以 n ln1 ln2 ln2 ln3 i 1 lnn ln n 1 i 1
n ln1 ln n 1 n ln n 1 ．
故原不等式得证.
19．(1) y 2
(2)证明见解析
答案第 13页，共 16页
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(3)证明见解析
【分析】（1）作图，由对称性得到两条切线斜率，然后由导数求得切点即M ,N坐标，然后
得到直线MN的方程；
（2）设直线MN方程和点M ,N坐标，由导数得出直线 PM 方程，然后得到点A坐标，同理
求出点 B坐标.联立直线MN方程和抛物线方程，得到一元二次方程，由韦达定理得到坐标
的参数的关系.联立直线 PM ,PN 的方程求得点 P坐标.由三点坐标求得三角形外接圆圆心和
半径，从而得到三角形外接圆的方程，然后得到定点；
（3）作图，由抛物线的光学性质得到角相等，再由抛物线的性质得到三角形全等，从而证
明点 P到三个点 F ,M ,N 距离相等，从而得证.
【详解】（1）根据对称性可知C在M ， N两点处的切线斜率为 1
1 1
由 x2 8y得 y x 2，从而 y x，
8 4
令 y 1
1
，得 x 4 2，所以 y x 2，
8
所以直线MN的方程为 y 2 .
（2）由题意可设直线MN : y kx b b 0 ，点M x1, y1 ，N x2 , y2 .
y 1 x PM : y y 1 x x x 2x x 8y x 2因为 ，所以直线 1 1 1 ，即 1 1 0 ，4 4
x x
令 y 0，得 x 1 ，所以 A 1 , 0 .
2 2
x
同理，直线 PN : 2x2x 8y
x
x22 0，令 y 0，得 x

2 ，所以 B 2 ,0
2 2
y kx b
联立直线MN与C的方程，得 2 ，消去 y整理得 x2x 8y 8kx 8b 0，
则 x1 x2 8k， x1x2 8b .
x1 x2
2x x 8y x2 0, x 4k ,1 1 2
由 解得 所以 P 4k, b
2x2x 8y x
2
2 0,

y x 1x2 b ,
8
答案第 14页，共 16页
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A x1 , 0 x因为 2

， B ,0 ，故 PAB的外接圆圆心 E落在直线 x
x x
1 2 2k上，
2 2 4
x1x2
由 P 4k, b x，A 1 , 0
x1 8kPA ,
b k b 8 x 知线段 的中点为 ， 1 ，
2 4 2 PA 4k x x x x 1 1 2 1 4
2 2 2
b 4 x1 8k
所以线段 PA的垂直平分线方程为 y x 2 x 4 ，1
2 b 2 b
令 x 2k ，得 y ，即圆心 E的坐标为 2k ,2 2
.

设 PAB的外接圆半径为 r，
2 b 2 b22 2
则 r 2 EP 4k 2k b 4k 2 b 1 ，
2 4
2 2
所以圆 E的方程为 x 2k 2 y 2 b 4k 2 b b 1 ，
2 4
2 2
即 x y 2y 4kx b y 2 0 .
x 0,
x 0,
令 y 2 0, 得 所以 的外接圆过定点 0,2 .
2 2 y 2,
PAB

x y 2y 0,
（3）如图所示，将 FM 和 FN 视为从焦点射出的光线，直线MG和 NH 分别为 FM ，FN 对
应的反射光线，则MM 与 NN 恰好是反射光线的反向延长线.
由抛物线的光学性质可得 FMP M MP，
而 FM MM ， PM PM ，故△MFP≌△MM P，
答案第 15页，共 16页
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故 FP M P ，
同理可得 FP N P ，即 FP MP N P ，即点 P是△FM N 的外心.
【点睛】方法点睛，本题考查了抛物线的综合运用.本题中的抛物线是函数关系，所以可以
利用导数和切点坐标来求抛物线的切线方程，从而得到三个点的坐标，然后利用直线与抛物
线方程得到这三个点坐标的关系，从而找到三个点外接圆的方程，即可求得圆的定点.
答案第 16页，共 16页
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