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1．1　直线的斜率与倾斜角
1.1.1　直线的斜率与倾斜角(1)
一、 单项选择题
1 经过A(18，8)，B(4，－4)两点的直线的斜率k的值为(　　)
A. B. － C. D. －
2 (2024南通一中月考)若过点(－2，－m)和点(m，4)的直线的斜率等于－1，则实数m的值是(　　)
A. 1 B. －3 C. 3 D. －1
3 (2024启东中学月考)以下两点确定的直线的斜率不存在的是(　　)
A. (4，1)与(－4，－1)
B. (0，1)与(1，0)
C. (1，4)与(－1，4)
D. (－4，1)与(－4，－1)
4 (2025启东中学检测)若将直线l沿 x轴正方向平移3个单位长度，再沿y轴负方向平移2个单位长度，又回到了原来的位置，则直线l的斜率是(　　)
A. － B. C. － D.
5 设点P在y轴上，点N是点M关于y轴的对称点，若直线PM的斜率为k(k≠0)，则直线PN的斜率是(　　)
A. k B. －k C. D. －
6 (2024如东一中月考)若A(3，1)，B(－2，b)，C(8，11)三点在同一条直线上，则实数b的值为(　　)
A. 2 B. 3
C. 9 D. －9
二、 多项选择题
7 (2025杭州七中期中) 已知直线l过点P(1，3)，且斜率为k，若直线l与线段AB有公共点，点A(－1，－4)，B(2，－3)，则实数k的值可以取(　　)
A. －8 B. －5
C. 3 D. 4
8 (2024连云港华杰中学月考)已知点A的坐标为(3，4)，在坐标轴上有一点B，若直线AB的斜率kAB＝4，则点B的坐标可能为(　　)
A. (0，2) B. (2，0)
C. (－8，0) D. (0，－8)
三、 填空题
9 过点(－1，2)和点(1，－2)的直线的斜率为________．
10 (2024启东一中月考)已知A(－1，1)，B(x，2)，C(－2，y)是斜率为1的直线上的三点，则x＋y＝________．
11 (2024蒙城六中期中)已知过点A(a，0)，B(1，2)的直线的斜率大于2，则满足条件的a的一个值可以为________．
四、 解答题
12 根据下列条件，分别画出经过点P，且斜率为k的直线．
(1) P(1，2)，k＝3；
(2) P(2，4)，k＝－；
(3) P(－1，3)，k＝0；
(4) P(－2，0)，斜率不存在．
13 已知点A(－2，－1)，B(0，－3)，C(1，－4)，D(2，－6)，则点A，B，C共线吗？点A，B，D呢？
1．1.2　直线的斜率与倾斜角(2)
一、 单项选择题
1 (2024如东中学月考)若直线l过两点(0，0)和(1，－)，则直线l的倾斜角为(　　)
A. B. C. D.
2 若倾斜角为120°的直线经过点(a＋1，3)和(2a－2，3a)，则实数a的值为(　　)
A. － B. C. 3 D. －3
3 (2025武汉一中期末)若直线l的斜率为k，且k2＝3，则直线l的倾斜角为(　　)
A. 30°或150° B. 60°或120°
C. 45°或135° D. 90°或180°
4 若直线l的倾斜角的取值范围是(0°，90°)，则直线l斜率的取值范围是(　　)
A. (0，1) B. (0，＋∞)
C. (－∞，0) D. (1，＋∞)
5 若经过两点A(2，1)，B(1，m2)的直线l的倾斜角为锐角，则实数m的取值范围是(　　)
A. (－∞，1)
B. (－1，＋∞)
C. (－1，1)
D. (－∞，－1)∪(1，＋∞)
6 (2024石庄中学月考)已知点A(2，0)，B(2，3)，直线l过定点P(1，2)，且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是(　　)
A. [－2，1]
B.
C. (－∞，1)∪(1，＋∞)
D. (－∞，－2]∪[1，＋∞)
二、 多项选择题
7 (2024海安实验中学月考)下列命题中，正确的是(　　)
A. 任意一条直线都有唯一的倾斜角
B. 一条直线的倾斜角可以为－30°
C. 倾斜角为0°的直线有无数条
D. 若直线的倾斜角为α，则sin α∈(0，1)
8 (2024启东中学月考)若直线l的斜率为m2－2m，则直线l的倾斜角可能为(　　)
A. B.
C. D.
三、 填空题
9 已知a，b，c是两两不等的实数，则经过P(a，c－b)，Q(b，c－a)两点的直线的倾斜角为________．
10 (2024重庆荣昌中学月考)已知直线l的斜率k∈[－，1]，则直线l的倾斜角β的取值范围是____________．
11 (2024叶县高级中学月考)已知点A(－1，3)，B(3，2)，过点P的直线l与线段AB相交，则直线l的倾斜角的取值范围为________．
四、 解答题
12 求经过下列两点的直线的斜率和倾斜角：
(1) P(－2，2)，Q(2，－2)；
(2) P(5，)，Q(2，2).
13 (2024盐城一中月考)已知直线l经过A(－1，m)，B(m，1)两点．当m取何值时：
(1) 直线l与x轴平行？
(2) 直线l与y轴平行？
(3) 直线l的倾斜角为45°？
(4) 直线l的倾斜角为锐角？
1. 1　直线的斜率与倾斜角1.1.1　直线的斜率与倾斜角(1)
1. C　经过A(18，8)，B(4，－4)两点的直线的斜率k＝＝.
2. B　由题意，得＝－1，解得m＝－3.
3. D　根据斜率公式可知，当两点的横坐标相同时，直线的斜率不存在，结合选项可知D正确．
4. C　设A(a，b)为直线l上的任意一点，则平移后得到A′(a＋3，b－2)，所以kl＝kAA′＝＝－.
5. B　设点P的坐标为(0，y0)，M(x1，y1)，则N(－x1，y1).由题意知，k＝，则kPN＝＝－k.
6. D　显然该直线的斜率存在，则＝，解得b＝－9.
7. AD　因为过点P(1，3)且斜率为k的直线与线段AB有公共点，且kPA＝，kPB＝－6，所以由图可知k∈(－∞，－6]∪，结合选项可知A，D正确．故选AD.
8. BD　由于点A的坐标为(3，4)，且直线AB的斜率kAB＝4，故根据选项，得点B的坐标可能为(2，0)或(0，－8).故选BD.
9. －2　由题意，得斜率k＝＝－2.
10. 0　由题意，得＝＝1，解得x＝0，y＝0，所以x＋y＝0.
11. (答案不唯一，满足02，且a≠1，解得012. (1) 作图如下：
(2) 作图如下：
(3) 作图如下：
(4) 作图如下：
13. 因为kAB＝＝－1，kAC＝＝－1，kAD＝＝－，
所以kAB＝kAC≠kAD，
故点A，B，C共线，点A，B，D不共线．
1．1.2　直线的斜率与倾斜角(2)
1. B　由题意，得直线l不与x轴垂直，设直线l的倾斜角为θ，则斜率k＝tan θ＝－.又θ∈[0，π)，解得θ＝.
2. B　由题意，得tan 120°＝－＝，解得a＝.
3. B　设直线l的倾斜角为α，则0°≤α<180°.因为k2＝3，所以k＝±，当k＝，即tan α＝时，则α＝60°；当k＝－，即tan α＝－时，则α＝120°，所以直线l的倾斜角为60°或120°.
4. B　因为直线l的倾斜角的取值范围是(0°，90°)，所以直线l斜率的取值范围为(0，＋∞).
5. C　因为直线l的倾斜角为锐角，所以斜率k＝>0，所以－16. A　由题意，得kPA＝＝－2，kPB＝＝1.因为直线l与线段AB相交，所以－2≤k≤1.
7. AC　任意一条直线都有唯一的倾斜角，倾斜角不可能为负，倾斜角为0°的直线有无数条，它们都垂直于y轴，故A，C正确，B错误；对于D，当α＝0°时，sin α＝0；当α＝90°时，sin α＝1，故D错误．故选AC.
8. AD　记直线l的倾斜角为α，斜率为k，则k＝(m－1)2－1≥－1，即tan α≥－1.如图，由正切函数图象，得α∈∪.故选AD.
9. 　设经过P，Q两点的直线的倾斜角为θ，θ∈[0，π)，则tan θ＝＝1，故θ＝.
10. ∪　由题意，得k＝tan β∈[－，1].因为β∈[0，π)，所以β∈∪.
11. 　设直线PA，PB的斜率分别为kPA，kPB，倾斜角分别为α，β.由题意，得kPA＝＝－1，kPB＝＝1，则tan α＝－1，tan β＝1，解得α＝，β＝.因为直线l与线段AB相交，所以由图可知直线l的倾斜角的取值范围为.
12. (1) 因为点P(－2，2)，Q(2，－2)，
所以斜率k＝＝－1.
又倾斜角α∈[0，π)，tan α＝－1，
所以α＝.
(2) 因为点P(5，)，Q(2，2)，
所以斜率k＝＝－，
又倾斜角α∈[0，π)，tan α＝－，
所以α＝.
13. (1) 若直线l与x轴平行，
则直线l的斜率k＝0，
所以m＝1.
(2) 若直线l与y轴平行，
则直线l的斜率不存在，
所以m＝－1.
(3) 若直线l的倾斜角为45°，
则直线l的斜率k＝1，
即＝1，解得m＝0.
(4) 若直线l的倾斜角为锐角，
则直线l的斜率k>0，
即>0，解得－1

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