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1．2.2　直线的两点式方程
一、 单项选择题
1 (2024东台中学月考)过点A(3，2)，B(4，3)的直线方程是(　　)
A. x＋y＋1＝0
B. x＋y－1＝0
C. x－y＋1＝0
D. x－y－1＝0
2 (2024中山期末)经过两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线方程都可以表示为(　　)
A. ＝
B. ＝
C. (y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)
D. ＝
3 (2024扬州大学附属中学期中)经过点A(－3，2)，B(4，4)的直线在x轴上的截距为(　　)
A. －10 B. 10 C. D. －
4 (2024南开大学附属中学月考)若直线＋＝1经过第一、三、四象限，则实数a，b满足(　　)
A. a<0，b<0 B. a<0，b>0
C. a>0，b>0 D. a>0，b<0
5 (2024烟台三校联考)过点A(1，2)的直线在两坐标轴上的截距之和为0，则该直线的方程为(　　)
A. x－y＋1＝0
B. x＋y－1＝0
C. 2x－y＝0或x－y＋1＝0
D. 2x＋y＝0或x＋y＋1＝0
6 (2024南通中学月考) 两条直线－＝1与－＝1在同一平面直角坐标系中的图象可能是下图中的(　　)
A B C D
二、 多项选择题
7 下列说法中，不正确的有(　　)
A. 直线的倾斜角越大，斜率越大
B. 不经过原点的直线都可以用方程＋＝1表示
C. 经过点(1，1)，且在x轴和y轴上截距相等的直线有2条
D. 直线－＝1在y轴上的截距是3
8 (2024启东中学月考)经过点(2，1)，且与两坐标轴围成等腰直角三角形的直线方程可以是(　　)
A. x＋y－3＝0
B. x＋y＋3＝0
C. x－y－1＝0
D. x－y＋1＝0
三、 填空题
9 经过M(3，2)与N(6，2)两点的直线的方程为________．
10 (2024如东中学月考)如果直线l过(－1，－1)，(2，5)两点，且点(1 011，b)在直线l上，那么b的值为________．
11 已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0，若直线l在两坐标轴上的截距相等，则实数k的值为________；若直线l不经过第三象限，则实数k的取值范围是________．
四、 解答题
12 (2024海门包场中学月考)求过下列两点的直线的两点式方程：
(1) A(2，5)，B(－3，－2)；
(2) C(0，3)，D(3，0).
13 求下列直线l的方程：
(1) 直线l的倾斜角是，直线l在x轴上的截距是－3；
(2) 直线l在x轴，y轴上的截距分别是－2，4；
(3) 直线l经过点A(2，1)，B(1，－2).
1．2.2　直线的两点式方程
1. D　由题意，得直线的两点式方程为＝，整理，得x－y－1＝0.
2. C　当x1≠x2，y1≠y2时，由两点式，得直线的方程为＝，可转化为(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)·(y2－y1)(*)，当x1＝x2或y1＝y2时，(*)式方程也成立，故选C.
3. A　由两点式，得直线方程为＝，即2x－7y＋20＝0，令y＝0，得x＝－10.
4. D　如图，直线＋＝1经过第一、三、四象限．由图知，a＞0，b＜0.
5. C　当直线过原点时，在两坐标轴上的截距都为0，满足题意，因为直线过点A(1，2)，所以直线的斜率为＝2，可得该直线的方程为y＝2x，即2x－y＝0；当直线不过原点时，设直线的方程为＋＝1，因为点A(1，2)在直线上，所以＋＝1，解得a＝－1，所以该直线的方程为x－y＋1＝0.综上，所求直线的方程为2x－y＝0或x－y＋1＝0.
6. B　因为直线－＝1与－＝1的斜率分别为，，所以两条直线的斜率的符号相同，即两条直线的倾斜角同为锐角或同为钝角，只有B符合．
7. ABD　对于A，当倾斜角为60°时，斜率为，当倾斜角为120°时，斜率为－，故A错误；对于B，不经过原点且不平行于坐标轴的直线都可以用方程＋＝1表示，故B错误；对于C，当直线过原点时，直线方程为y＝x；当直线不过原点时，设直线方程为＋＝1，则＋＝1，解得a＝2，所以直线方程为＋＝1.综上，经过点(1，1)，且在x轴和y轴上截距相等的直线有2条，故C正确；对于D，直线－＝1，即＋＝1，所以直线－＝1在y轴上的截距是－3，故D错误．故选ABD.
8. AC　由题意，得直线在x轴，y轴上的截距相等或互为相反数且不为0.设直线的方程为＋＝1或＋＝1.将点(2，1)代入，得＋＝1或＋＝1，解得a＝3或a＝1，故所求直线方程为＋＝1或＋＝1，即x＋y－3＝0或x－y－1＝0.故选AC.
9. y＝2　由M，N两点的坐标可知，直线MN与x轴平行，所以直线的方程为y＝2.
10. 2 023　直线l的方程为＝，即2x－y＋1＝0.因为点(1 011，b)在直线l上，所以2×1 011－b＋1＝0，解得b＝2 023.
11. －1或－　　当k＝0时，y＝1，不符合直线l在两坐标轴上的截距相等，舍去；当k≠0时，令x＝0，则y＝2k＋1，令y＝0，则x＝－2－.由题意，得－2－＝2k＋1，解得k＝－1或k＝－.因为直线l：kx－y＋1＋2k＝0，所以y＝kx＋1＋2k.因为直线l不经过第三象限，所以k≤0且1＋2k≥0，解得－≤k≤0，故实数k的取值范围是.
12. (1) 因为直线过点A(2，5)，B(－3，－2)，
所以该直线的两点式方程为＝.
(2) 因为直线过点C(0，3)，D(3，0)，
所以该直线的两点式方程为＝.
13. (1) 因为直线l在x轴上的截距是－3，
所以直线l经过点A(－3，0).
又直线l的斜率k＝tan ＝－，
所以由点斜式可得直线l的方程是y＝－(x＋3).
(2) 因为直线l在y轴上的截距为4，
所以可设直线l的方程为y＝kx＋4(k是常数).
又直线l在x轴上的截距为－2，
所以直线l经过点(－2，0)，
所以－2k＋4＝0，解得k＝2，
所以直线l的方程是y＝2x＋4.
(3) 将点A，B的坐标代入直线的两点式方程，
得＝，
即y＝3x－5.

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