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1.5.1　平面上两点间的距离
一、 单项选择题
1 (2025常熟中学月考)若点A(－1，0)，B(5，6)，C(3，4)，则等于(　　)
A. B. C. 3 D. 2
2 点M(1，2)关于y轴的对称点N到原点的距离为 (　　)
A. 2 B. 1 C. D. 5
3 已知点A(x，5)关于点(1，y)的对称点为 (－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是(　　)
A. 2 B. 4 C. 5 D.
4 (2024锡东高级中学月考)已知过A(m，2)，B(－m，m－1)两点的直线的倾斜角是45°，则A，B两点间的距离为(　　)
A. 2 B. C. 2 D. 3
5 (2024启东中学月考)直线x＋y－1＝0上与点P(－2，3)的距离等于的点的坐标是(　　)
A. (－4，5)
B. (－3，4)
C. (－3，4)或(－1，2)
D. (－4，5)或(0，1)
6 (2024徐州侯集高级中学开学考试)设m∈R，过定点A的直线x＋my－m＝0和过定点B 的直线mx－y－m＋3＝0交于点P，线段AB的中点为Q，则PQ的值为(　　)
A. B.
C. D. 与m的取值有关
二、 多项选择题
7 (2024南通中学月考)对于，下列说法中正确的是(　　)
A. 可看作点(x，0)与点(1，2)的距离
B. 可看作点(x，0)与点(－1，－2)的距离
C. 可看作点(x，0)与点(－1，2)的距离
D. 可看作点(x，－1)与点(－1，1)的距离
8 已知在以C(2，3)为直角顶点的等腰三角形ABC中，顶点A，B都在直线x－y＝1上，则下列结论中正确的是(　　)
A. 点A的坐标是(2，1)或(4，3)
B. △ABC的面积等于4
C. 斜边AB的中点坐标是(3，2)
D. 点C关于直线AB的对称点的坐标是(4，1)
三、 填空题
9 (2024白蒲中学月考)已知点A(－3，2)，B(3，－6)，则A，B两点间的距离为________．
10 (2024海安中学月考)已知过A(4，a)和B(5，b)两点的直线和直线y＝x＋m平行，则AB＝________．
11 已知A，B两点分别在两条互相垂直的直线2x－y＝0和x＋ay＝0上，且线段AB的中点为P(0，)，则线段AB的长为________．
四、 解答题
12 (2024南京一中月考)已知△ABC的三个顶点的坐标是A(－3，1)，B(3，－3)，C(1，7).
(1) 判断△ABC的形状；
(2) 求△ABC的面积．
13 (2024南昌三中期中)已知△ABC的顶点坐标为A(－1，5)，B(－2，－1)，C(4，3)，M是边BC上的中点．
(1) 求边AB所在直线的方程；
(2) 求中线AM的长；
(3) 求边AB的高所在直线的方程．
1.5.1　平面上两点间的距离
1. D　由题意，得AC＝＝4，CB＝＝2，故＝2.
2. C　由对称性，得N(－1，2)，所以点N到原点的距离 ON＝＝.
3. D　根据中点坐标公式，得＝1，且＝y，解得x＝4，y＝1，所以点P的坐标为(4，1)，则点P(x，y)到原点的距离d＝＝.
4. C　由题意，得＝tan 45°＝1，解得m＝1，所以A(1，2)，B(－1，0)，则A，B两点间的距离为＝2.
5. C　设所求点的坐标为(x0，y0)，则有x0＋y0－1＝0，且＝，两式联立，解得或
6. A　因为直线x＋my－m＝0经过定点(0，1)，所以A(0，1).因为直线mx－y－m＋3＝0，即m(x－1)－y＋3＝0经过定点(1，3)，所以B(1，3).易知这两条直线互相垂直，所以△ABP是以P为直角顶点的直角三角形，则PQ＝AB＝＝.
7. BCD　＝＝＝，可看作点(x，0)与点(－1，－2)的距离，可看作点(x，0)与点(－1，2)的距离，可看作点(x，－1)与点(－1，1)的距离，故A错误，B，C，D正确．故选BCD.
8. ACD　取AB的中点P(x，y).因为△ABC为等腰三角形，所以CP⊥AB，即CP垂直于直线x－y＝1，则kCP＝＝－1，且x－y＝1，解得x＝3，y＝2，则AB的中点P的坐标为(3，2)，故C正确；由C知＝3①，而3－yA＝3－(xA－1)＝4－xA，3－yB＝3－(xB－1)＝4－xB，且AC⊥BC，所以·＝(2－xA)(2－xB)＋(3－yA)(3－yB)＝20－6(xA＋xB)＋2xAxB＝0②，联立①②，解得或所以点A的坐标为(2，1)或(4，3)，故A正确；因为CP＝＝，AB＝2CP＝2，所以S△ABC＝AB·CP＝×2×＝2，故B错误；设点C关于直线AB的对称点为C1，则CC1的中点为P，所以xP＝＝3，所以xC1＝4.又因为＝－1，解得yC1＝1，即点C关于直线AB的对称点的坐标是(4，1)，故D正确．故选ACD.
9. 10　由题意，得A，B两点间的距离为＝10.
10. 　由题意，得kAB＝＝b－a＝1，所以AB＝＝.
11. 10　因为直线2x－y＝0和x＋ay＝0互相垂直，所以2×＝－1，解得a＝2，所以线段AB的中点为 P(0，5)，所以设A(m，2m)，B，则解得所以A(4，8)，B(－4，2)，故AB＝＝10.
12. (1) 因为A(－3，1)，B(3，－3)，C(1，7)，
所以AB＝＝，
AC＝＝，
BC＝＝，
所以AB＝AC，AB2＋AC2＝BC2，
所以△ABC是等腰直角三角形．
(2) 由(1)，得S△ABC＝AB·AC＝××＝26.
13. (1) 由题意，得kAB＝＝6，
故边AB所在的直线方程为y－5＝6(x＋1)，
即6x－y＋11＝0.
(2) 由中点坐标公式，得M(1，1)，
故AM＝＝2.
(3) 由(1)知，直线AB的斜率为6，
则边AB的高所在直线的斜率为－，
故边AB的高所在的直线方程为y－3＝－(x－4)，
即x＋6y－22＝0.

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