资源简介

1．5.2　点到直线的距离(1)
一、 单项选择题
1 (2024江安中学月考)原点到直线x＋2y－5＝0的距离为(　　)
A. 1 B. C. 2 D.
2 设直线l1：x＋3y－7＝0与直线l2：x－y＋1＝0的交点为P，则点P到直线l：2x－y＝1的距离为(　　)
A. B.
C. D.
3 已知直线3x＋y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，则两直线之间的距离是(　　)
A. 4 B.
C. D.
4 (2024海门包场中学月考)若点P在直线x＋y－4＝0上，O为坐标原点，则OP的最小值为(　　)
A. 4 B. 2
C. D. 2
5 若点A(4，3)，B(3，5)到直线l：2x＋ay＋1＝0的距离相等，则实数a的值为(　　)
A. 1 B. －1
C. 1或－2 D. －1或2
6 (2024启东汇龙中学月考)已知点P(2，3)到直线l：ax＋y－2a＝0的距离为d，则d的最大值为(　　)
A. 3 B. 4
C. 5 D. 7
二、 多项选择题
7 下列直线中与直线l：y＝2x－1平行，且与它的距离为2 的是(　　)
A. 2x－y＋9＝0
B. 2x－y－11＝0
C. 2x－y－12＝0
D. 2x－y＋10＝0
8 (2024南通一中月考)已知点P在直线3x＋y－5＝0上，且点P到直线x－y－1＝0的距离为，则点P的坐标为(　　)
A. (1，2)
B. (3，－4)
C. (2，－1)
D. (4，－3)
三、 填空题
9 (2024太仓中学月考)倾斜角为60°，且与原点的距离是5的直线方程为________________．
10 (2024海门证大中学月考)已知x＋y－3＝0，则的最小值为________．
11 (2024南通中学月考)若点(4，a)到直线4x－3y＝0的距离不大于3，则实数a的取值范围是________．
四、 解答题
12 (2024如东中学月考)已知A，B为直线l1上两点，且A(1，0)，B(－3，3)，直线l2：6x＋my＋14＝0.
(1) 求直线l1的方程；
(2) 若l1∥l2，求l1，l2之间的距离．
13 (2024天星湖中学月考)已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(－1，3)，B(－3，0)，C(1，2)，求△ABC的面积S.
1．5.2　点到直线的距离(2)
一、 单项选择题
1 (2024滨海新区期末)已知点A(3，0)，直线l：3x－4y＋1＝0，则点A到直线l的距离为(　　)
A. 3 B. 2 C. 1 D.
2 已知点P(－2，3)，Q是直线l：3x＋4y＋3＝0上的动点，则PQ的最小值为(　　)
A. 1 B. C. D.
3 直线x＋2y＋3＝0关于y轴对称的直线的方程是(　　)
A. x＋2y－3＝0 B. x－2y＋3＝0
C. x－2y－3＝0 D. 3x＋2y－1＝0
4 若直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为(　　)
A. 2x＋3y－12＝0 B. 2x－3y－12＝0
C. 2x－3y＋12＝0 D. 2x＋3y＋12＝0
5 已知正方形的一组对边所在的直线方程分别为3x＋2y＋1＝0和3x＋2y＋4＝0，另一组对边所在的直线方程分别为4x－6y＋c1＝0和4x－6y＋c2＝0，则|c1－c2|等于(　　)
A. B.
C. D. 6
6 (2024常州中学期末)点(3，2)到直线λx＋y－2λ＋1＝0的距离的最大值为(　　)
A. 10 B.
C. 4 D.
二、 多项选择题
7 (2024启东中学月考)下列结论中，正确的是(　　)
A. 直线x－y－1＝0与两坐标轴交于A，B两点，则AB＝
B. 直线2x－y＝0与直线2x－y－＝0之间的距离为
C. 直线x＋y－2＝0上的点到原点的距离的最小值为1
D. 点A(－1，1)与点B(2，0)到直线x－y＝0的距离相等
8 (2024茂名一中期中)已知直线x－2y＋3＝0和直线x＋y－3＝0的交点为P，则过点P且与点A(2，3)和B(4，－5)距离相等的直线方程为(　　)
A. 4x－y＋6＝0
B. 4x＋y－6＝0
C. 3x＋2y＋6＝0
D. 3x＋2y－7＝0
三、 填空题
9 (2025常州金坛区期中)已知点M(－3，4)与点N(1，0)关于直线l：ax－by＋3＝0对称，则a＋b的值为________．
10 已知直线l1过点A(3，0)，直线l2过点B(0，4)，且l1∥l2，用d表示l1与l2间的距离，则d的取值范围是________．
11 已知直线l：y＝x，P为直线l上的任意一点，则＋的最小值为________．
四、 解答题
12 (2024济宁一中期末)求点P(3，－2)到下列直线的距离：
(1) 3x－4y＋1＝0；
(2) y＝6；
(3) x＝4.
13 (2024南京、镇江、徐州等十校联盟月考)已知直线l1：x－y＋3＝0和直线l2：2x－y＋1＝0交于点C，求满足下列条件的一般式直线方程．
(1) 过点C且到原点的距离等于2；
(2) 直线l1关于直线l2对称的直线．
1．5.2　点到直线的距离(1)
1. D　由题意，得所求距离为＝.
2. D　联立解得可得点P(1，2).又直线l：2x－y＝1的一般式为2x－y－1＝0，所以点P到直线l：2x－y＝1的距离d＝＝.
3. D　因为3x＋y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，所以m＝2.直线6x＋2y＋1＝0可以化为3x＋y＋＝0.由两条平行直线间的距离公式，得d＝＝.
4. D　由题意，得点O到直线x＋y－4＝0的距离d＝＝2.又OP的最小值就是点O到直线x＋y－4＝0的距离，所以OP的最小值为2.
5. C　若点A，B在直线l的同侧，则＝－，解得 a＝1；若点A，B分别在直线l的两侧，则直线l经过AB的中点，所以7＋4a＋1＝0，解得a＝－2.综上，实数a的值为1或－2.
6. A　直线l的方程可变形为y＝－a(x－2)，所以直线l恒过定点M(2，0)，当直线l⊥PM时，d有最大值，结合两点间的距离公式，得d的最大值为＝3.
7. AB　设与直线l：y＝2x－1平行的直线方程为2x－y＋a＝0，由题意，得＝2，解得a＝9或a＝－11，故所求直线的方程为2x－y＋9＝0或2x－y－11＝0.故选AB.
8. AC　设点P的坐标为(a，5－3a).由题意，得＝，解得a＝1或a＝2，所以点P的坐标为(1，2)或(2，－1).故选AC.
9. x－y＋10＝0或x－y－10＝0　因为直线的斜率为tan 60°＝，所以可设直线方程为y＝x＋b，化为一般式，得x－y＋b＝0.由直线与原点的距离为5，得＝5，即|b|＝10，所以b＝±10，所以直线的方程为x－y＋10＝0或x－y－10＝0.
10. 　设点P(x，y)，A(2，－1)，则点P在直线x＋y－3＝0上，且＝PA，所以PA的最小值为点A(2，－1)到直线x＋y－3＝0的距离d＝＝.
11. 　由题意，得≤3，解得≤a≤ ，所以实数a的取值范围是.
12. (1) 因为A，B为直线l1上两点，且A(1，0)，B(－3，3)，
所以kAB＝－，
所以直线l1的方程为y＝－(x－1)，即3x＋4y－3＝0.
(2) 因为l1∥l2，所以＝≠.所以m＝8，
故直线l2的方程为3x＋4y＋7＝0，
所以两平行线之间的距离d＝＝2.
13. 由直线方程的两点式，得直线BC的方程为＝，即x－2y＋3＝0.
设点A到直线BC的距离为d，即为边BC上的高，
则d＝＝.
由两点间的距离公式，得BC＝＝2，
所以S＝BC·d＝×2×＝4，
即△ABC的面积为4.
1．5.2　点到直线的距离(2)
1. B　由点到直线的距离公式，得d＝＝2.
2. B　由题意，得PQ的最小值为点P到直线l的距离，所以PQmin＝＝.
3. C　设P(x，y)是所求直线上的任意一点，则点P关于y轴对称的点为P′(－x，y)，且在直线x＋2y＋3＝0上，代入可得－x＋2y＋3＝0，即x－2y－3＝0.
4. D　由ax＋y＋3a－1＝0，得a(x＋3)＋(y－1)＝0，令得点M(－3，1).因为点M不在直线2x＋3y－6＝0上，所以设直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线的方程为2x＋3y＋c＝0(c≠－6)，则＝，解得c＝12或c＝－6(舍去)，所以所求直线的方程为2x＋3y＋12＝0.
5. D　3x＋2y＋1＝0与3x＋2y＋4＝0间的距离 d1＝＝，4x－6y＋c1＝0与4x－6y＋c2＝0间的距离d2＝＝|c1－c2|.由正方形可知d1＝d2，即＝|c1－c2|，解得|c1－c2|＝6.
6. D　由直线λx＋y－2λ＋1＝0，得λ(x－2)＋y＋1＝0，所以直线过定点(2，－1)，则点(3，2)到直线λx＋y－2λ＋1＝0的距离的最大值为＝.
7. ACD　对于A，直线x－y－1＝0与两坐标轴的交点分别为A(0，－1)，B(1，0)，则AB＝，故A正确；对于B，直线2x－y＝0与直线2x－y－＝0之间的距离为d＝＝1，故B错误；对于C，直线x＋y－2＝0上的点到原点的距离的最小值，即为原点到直线x＋y－2＝0的距离，即d1＝＝1，故C正确；对于D，点A(－1，1)到直线x－y＝0的距离为＝，点B(2，0)到直线x－y＝0的距离为＝，所以点A(－1，1)与点B(2，0)到直线x－y＝0的距离相等，故D正确．故选ACD.
8. BD　联立解得即P(1，2)，直线AB的斜率为kAB＝＝－4，线段AB的中点坐标为(3，－1).若所求直线与直线AB平行，则所求直线的方程为y－2＝－4(x－1)，即4x＋y－6＝0；若所求直线过AB的中点，则所求直线的斜率为＝－，故所求直线的方程为y－2＝－(x－1)，即3x＋2y－7＝0.综上，过点P且与点A(2，3)和B(4，－5)距离相等的直线方程为4x＋y－6＝0或3x＋2y－7＝0.故选BD.
9. 2　因为kMN＝＝－1，所以＝1.又MN的中点为(－1，2)，则－a－2b＋3＝0，所以a＝b＝1，故a＋b＝2.
10. (0，5]　由题意可知AB＝＝5，又d表示l1与l2间的距离，则011. 　＋表示直线l：y＝x上的点P到点A(0，1)和点B(0，2)的距离之和，故＋＝AP＋PB.设点A(0，1)关于直线l的对称点为A′，则A′(1，0)，故＋＝AP＋PB＝A′P＋BP≥A′B，当A′，P，B三点共线时，等号成立，故＋的最小值为A′B＝.
12. (1) 点P(3，－2)到直线3x－4y＋1＝0的距离d＝＝.
(2) 点P(3，－2)到直线y－6＝0的距离d＝|－2－6|＝8.
(3) 点P(3，－2)到直线x＝4的距离d＝|3－4|＝1.
13. (1) 联立解得
所以点C的坐标为(2，5).
当所求直线的斜率不存在时，直线的方程为x＝2，满足到原点的距离为2;
当所求直线的斜率存在时，设直线的方程为y－5＝k(x－2)，即kx－y－2k＋5＝0，
所以原点到该直线的距离为＝2, 解得k＝，
所以直线的方程为21x－20y＋58＝0.
综上，所求直线的方程为x－2＝0或21x－20y＋58＝0.
(2) 在直线l1上取一点M(0，3)，设点M关于直线l2的对称点为N(x0，y0)，
则解得
所以点N的坐标为.
又C(2，5)，所以直线CN的方程即所求直线的方程，为＝，
化简，得7x－y－9＝0，
故所求直线的方程为7x－y－9＝0.

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