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2．3　圆与圆的位置关系
一、 单项选择题
1 (2024盐城中学期中)圆x2＋y2＝1和x2＋y2－8x＋6y＋9＝0的位置关系是(　　)
A. 外离 B. 相交
C. 内切 D. 外切
2 (2024海安实验中学月考)若圆C1：(x－a)2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2＝25相交，则实数a的取值范围是(　　)
A. (4，6)
B. [4，6]
C. (－6，－4)∪(4，6)
D. [－6，－4]∪[4，6]
3 (2024白蒲中学月考)圆(x－1)2＋(y＋1)2＝8与圆(x＋1)2＋(y－1)2＝2的公切线共有(　　)
A. 1条 B. 2条
C. 3条 D. 4条
4 (2025锡山高级中学期末)已知圆C1：x2＋y2＝4，圆C2：x2＋y2－4x－4y＋4＝0，两圆的公共弦所在直线方程是(　　)
A. x＋y＋2＝0
B. x＋y－2＝0
C. x＋y－1＝0
D. x＋y＋1＝0
5 若圆C：(x－a)2＋(y－1)2＝1上总存在两个点到原点的距离都为2，则实数a的取值范围是(　　)
A. (－2，0)∪(0，2)
B. (－2，2)
C. (－1，0)∪(0，1)
D. (－1，1)
6 (2024泰州中学期中)已知圆C1：x2＋y2－2x－6y＝0，圆C2：x2＋y2＋mx＋ny＝0，若圆C2平分圆C1的周长，则m＋3n的值为(　　)
A. 20 B. －20 C. 10 D. －10
二、 多项选择题
7 (2024灌南期中)若O为坐标原点，且圆O与圆C：x2＋y2－6x＋8y＋16＝0没有公共点，则圆O的半径可以是(　　)
A. 1 B. 3
C. 8 D. 9
8 (2024通州平潮中学月考)已知圆x2＋y2－2x＋2y－2＝0与圆x2＋y2－2ax－2ay＋2a2－9＝0的公共弦的长为，则实数a的值可以为(　　)
A. ±2 B. ±
C. ±1 D. ±
三、 填空题
9 若单位圆x2＋y2＝1与圆(x＋m)2＋y2＝4相切，则实数m＝________．
10 (2024连云港高级中学期中)圆x2＋y2－6x＝0与圆x2＋y2＝4的位置关系是________．
11 (2024天一中学月考)已知圆O1：x2＋y2＝1，圆O2：(x＋3)2＋(y－a)2＝16，若这两个圆有公共点，则实数a的取值范围是________．
四、 解答题
12 (2024扬州中学期中)已知圆C1：x2＋y2＝10与圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－14＝0.
(1) 求证：圆C1与圆C2相交；
(2) 求经过两圆交点，且圆心在直线x＋y－6＝0上的圆的方程．
13 圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心为O2(2，1).
(1) 若圆O2与圆O1外切，求圆O2的方程，并求内公切线的方程；
(2) 若圆O2与圆O1交于A，B两点，且AB＝2，求圆O2的方程．
2．3　圆与圆的位置关系
1. D　圆x2＋y2＝1的圆心为(0，0)，半径为1，圆x2＋y2－8x＋6y＋9＝0可化为(x－4)2＋(y＋3)2＝16，圆心为(4，－3)，半径为4，又两圆心的距离为＝1＋4，故两圆外切．
2. C　由圆的方程可知C1C2＝|a|，r1＋r2＝1＋5＝6，r2－r1＝5－1＝4，所以根据两圆相交可得4<|a|<6，解得43. B　圆(x－1)2＋(y＋1)2＝8的圆心为C1(1，－1)，半径r1＝2，圆(x＋1)2＋(y－1)2＝2的圆心为C2(－1，1)，半径r2＝.C1C2＝＝2，所以r1－r24. B　两圆作差，得4x＋4y－4＝4，即x＋y－2＝0，故两圆的公共弦所在直线方程是x＋y－2＝0.
5. A　由题意，得圆O：x2＋y2＝4与圆C：(x－a)2＋(y－1)2＝1相交．因为OC＝，所以 1＜＜3，解得－2＜a＜0或0＜a＜2.
6. B　由圆C1：x2＋y2－2x－6y＝0，得(x－1)2＋(y－3)2＝10，所以圆心为(1，3)，半径为.若圆C2平分圆C1的周长，则圆C1的圆心(1，3)在圆C2与圆C1的公共弦上，将圆C2：x2＋y2＋mx＋ny＝0与圆C1：x2＋y2－2x－6y＝0作差，得两圆公共弦所在直线方程(m＋2)x＋(n＋6)y＝0，将点(1，3)代入，得(m＋2)×1＋(n＋6)×3＝0，所以m＋3n＝－20.
7. AD　由圆C：x2＋y2－6x＋8y＋16＝0，得(x－3)2＋(y＋4)2＝9的圆心C(3，－4)，半径r＝3.又OC＝5，显然点O在圆C外，由于圆O与圆C无公共点，则圆O与圆C可以外离，也可以内含，且圆C在圆O内．设圆O的半径为R，于是R＋rOC，即R＋3<5或R－3>5，解得08，所以圆O的半径可以是1或9.故选AD.
8. CD　两圆方程相减，得两圆公共弦所在直线的方程为(2a－2)x＋(2a＋2)y＋7－2a2＝0.因为两圆的公共弦的长为，圆x2＋y2－2x＋2y－2＝0的圆心为(1，－1)，半径为2，且点(1，－1)到直线(2a－2)x＋(2a＋2)y＋7－2a2＝0的距离d＝＝，所以d＝＝，解得a＝±1或a＝±.故选CD.
9. ±3或±1　若两圆外切，则圆心距|m|等于两圆半径之和3，即m＝±3；若两圆内切，则圆心距|m|等于两圆半径之差的绝对值1，即m＝±1.故m＝±3或m＝±1.
10. 相交　圆x2＋y2－6x＝0可化为(x－3)2＋y2＝9，圆心为(3，0)，半径r1＝3；圆x2＋y2＝4，圆心为(0，0)，半径r2＝2，所以圆心距d＝3，r1＋r2＝5，|r2－r1|＝1，易得|r2－r1|11. [－4，4]　由题意，得O1(0，0)，r1＝1，O2(－3，a)，r2＝4，则O1O2＝＝，因为圆O1与圆O2有公共点，所以r2－r1≤O1O2≤r2＋r1，即3≤≤5，解得－4≤a≤4，所以实数a取值范围是[－4，4].
12. (1) 圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－14＝0化为标准方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝16，
所以圆心C2(－1，－1)，半径为r＝4.
因为圆C1：x2＋y2＝10的圆心坐标为C1(0，0)，半径为 R＝，
所以C1C2＝.
因为4－<<4＋，
所以两圆相交．
(2) 由解得或
则交点为A(3，－1)，B(－1，3).
因为圆心在直线x＋y－6＝0上，设圆心为P(6－n，n)，则AP＝BP，即＝，
解得n＝3，
故圆心P(3，3)，半径为AP＝4，故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－3)2＝16.
13. (1) 由圆O1的方程，得圆心为O1(0，－1)，半径r1＝2，设圆O2的半径为r2，
由题意，得圆心距O1O2＝＝2，
由两圆外切可得r1＋r2＝O1O2，
即2＋r2＝2，可得r2＝2－2，
所以圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝(2－2)2.
联立
作差，得x＋y＋1－2＝0.
故内公切线的方程为x＋y＋1－2＝0.
(2) 设圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r，圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，
两圆的方程相减，可得两圆公共弦AB所在的直线方程，即4x＋4y＋r－8＝0，
可得圆心O1到直线AB的距离为
d＝＝.
由弦长AB＝2＝2，可得d2＝2，
即＝2，可得r＝4或r＝20，
所以圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20.

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