资源简介

3.1.1　椭圆的标准方程(1)
一、 单项选择题
1 椭圆＋＝1的焦点坐标是(　　)
A. (±5，0) B. (0，±5)
C. (0，±12) D. (±12，0)
2 (2024白蒲中学月考)若方程＋＝1表示椭圆，则实数m的取值范围是(　　)
A. (－9，25) B. (－9，8)∪(8，25)
C. (8，25) D. (8，＋∞)
3 (2024南通中学月考)已知椭圆的焦点为(0，－2)，(0，2)，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为6，则椭圆的标准方程是(　　)
A. ＋＝1 B. ＋＝1
C. ＋＝1 D. ＋＝1
4 若椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)过点M(1，)，N，则椭圆C的标准方程为(　　)
A. ＋y2＝1 B. ＋＝1
C. ＋y2＝1 D. x2＋＝1
5 (2024南京一中月考)已知P为椭圆C：＋＝1上的动点，A(－1，0)，B(1，0)，且 PA＋PB＝4，则 b2的值为(　　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6 设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，AF1＝3BF1.若AB＝4，△ABF2的周长为16，则AF2的长为(　　)
A. 7 B. 5 C. 3 D. 1
二、 多项选择题
7 (2024西安第八十五中学期中)下列说法中，正确的是(　　)
A. 已知F1(－4，0)，F2(4，0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段
B. 已知F1(－4，0)，F2(4，0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆
C. 平面内到F1(－4，0)，F2(4，0)两点的距离之和等于点M(5，3)到F1，F2两点的距离之和的点的轨迹是椭圆
D. 平面内到点F1(－4，0)，F2(4，0)距离相等的点的轨迹是椭圆
8 已知曲线C：＋＝1(λ>0)，则下列说法中正确的是(　　)
A. 当λ＝3时，曲线C是圆
B. 当λ＝2时，曲线C是椭圆，且一焦点的坐标为(2，0)
C. 当λ＝4时，曲线C是椭圆，且焦距为2
D. 当0<λ<3时，曲线C是焦点在y轴上的椭圆
三、 填空题
9 (2024宿迁中学期中)已知方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是________．
10 (2024浙江强基联盟月考)已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆上一点P 满足PF2⊥F1F2，则线段PF2 的长为________．
11 (2024邢台精英中学期中)已知平面内动点P(x，y)满足方程＋＝2，则动点 P的轨迹方程为________．
四、 解答题
12 设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，设椭圆C上的一点(，)到两焦点F1，F2的距离和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标．
13 (2024昆山中学月考)求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1) 两个焦点的坐标分别是(－3，0)，(3，0)，椭圆经过点(5，0)；
(2) 焦点在y轴上，焦距为4，且经过点(1，).
3．1.1　椭圆的标准方程(2)
一、 单项选择题
1 (2024连云港高级中学期中)已知动点M到两个定点A(－2，0)，B(2，0)的距离之和为6，则动点M的轨迹方程为(　　)
A. ＋y2＝1 B. ＋＝1
C. ＋x2＝1 D. ＋＝1
2 (2024南通中学期中)已知椭圆C：＋＝1的焦点在y轴上，则实数k的取值范围是(　　)
A. (－1，3) B. (－5，－1)
C. (－5，3) D. (－5，－1)∪(－1，3)
3 (2024白蒲中学月考)已知F1，F2是椭圆＋＝1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点，若AB＝5，则AF1＋BF1等于(　　)
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
4 (2024泰州昭阳中学月考)已知曲线C：x2＋y2＝16，从 曲线C上任意一点P向x轴作垂线段PP′， 垂足为P′(若 点P在x轴上，点P′即为点 P)，则线段PP′的中点 M的轨迹方程为(　　)
A. ＋＝1 B. ＋＝1
C. ＋＝1 D. ＋＝1
5 (2024南通中学期中)已知P为椭圆＋y2＝1上的一个动点，F1，F2分别为该椭圆的左、右焦点，当∠F1PF2＝时，则△F1F2P的面积为(　　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6 (2024南通一中月考)已知在椭圆＋＝1上的点M到焦点F1的距离为2，N为MF1的中点，则ON(O为坐标原点)的值为(　　)
A. 8 B. 2 C. 4 D.
二、 多项选择题
7 (2024南城二中月考)已知椭圆的标准方程为＋＝1(m>0)，并且焦距为6，则实数m的值可以为(　　)
A. 4 B. C. 6 D.
8 (2024锡山高级中学月考)设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上一点，且PF1－PF2＝2，则下列说法中正确的是(　　)
A. PF1＝5，PF2＝3
B. △PF1F2为直角三角形
C. △PF1F2的面积为6
D. △PF1F2的面积为12
三、 填空题
9 (2024徐州三中期初)已知F1，F2是椭圆C: ＋＝1的两个焦点，点M 在椭圆C上，则 MF1·MF2的最大值为________．
10 如图，椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上．若PF1＝4，∠F1PF2＝120°，则实数a的值为________．
11 (2025海安中学月考)在平面直角坐标系xOy中，动圆P与圆C1：x2＋y2＋2x－＝0内切，且与圆C2：x2＋y2－2x＋＝0外切，记动圆P的圆心的轨迹为E，则轨迹E的方程为________．
四、 解答题
12 (2024通州中学月考)求下列椭圆的方程．
(1) 过点(－3，2)且与＋＝1有相同的焦点；
(2) 经过点P，Q.
13 设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P为椭圆上的一点，P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，且PF1≠PF2，求的值．
3.1.1　椭圆的标准方程(1)
1. C　因为椭圆的焦点在y轴上，且a2＝169，b2＝25，所以c2＝a2－b2＝144，所以c＝12，故焦点坐标为(0，±12).
2. B　由方程表示椭圆知解得－93. D　由题意可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，则c＝2，2a＝6，解得a＝3，b2＝a2－c2＝5.故椭圆的标准方程为＋＝1.
4. A　由椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点M，N，得＋＝1，＋＝1，解得a2＝3，b2＝1，故椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
5. C　由A(－1，0)，B(1，0)，得AB＝2，则 PA＋PB＝4>AB＝2，由椭圆的定义，得点P的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，其中2a＝4，c＝1.又点P在椭圆C：＋＝1上，符合2a＝4，故b2＝a2－c2＝4－1＝3.
6. B　由AF1＝3BF1，AB＝4，得AF1＝3.因为△ABF2的周长为16，所以AF1＋AF2＋BF1＋BF2＝4a＝16，解得a＝4，所以AF1＋AF2＝2a＝8，所以AF2＝2a－AF1＝8－3＝5.
7. AC　对于A，因为F1F2＝8，所以平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段，故A正确；对于B，到F1，F2两点的距离之和等于6，小于F1F2，这样的轨迹不存在，故B错误；对于C，点M(5，3)到F1，F2两点的距离之和为＋＝4＞F1F2＝8，其轨迹为椭圆，故C正确；对于D，其轨迹为线段F1F2的垂直平分线，故D错误．故选AC.
8. AC　对于A，当λ＝3时，曲线C：x2＋y2＝6是圆，故A正确；对于B，当λ＝2时，曲线C：＋x2＝1是焦点在y轴上的椭圆，故B错误；对于C，当λ＝4时，曲线C：＋＝1是椭圆，且c2＝13－7＝6，所以 2c＝2，故C正确；对于D，当λ＝1时，曲线C不是椭圆，故D错误．故选AC.
9. (2，4)　由已知，得解得210. 　由椭圆＋＝1，得a＝2，b＝，c＝1，则F1(－1，0)，F2 (1，0).因为PF2⊥F1F2，所以点P的横坐标为1，代入椭圆方程，得其纵坐标为±，故线段PF2 的长为.
11. ＋＝1　由题意，得点P到两定点(－1，0)，(1，0)的距离之和等于常数2>2，根据椭圆的定义可知，点P的轨迹是焦点在x轴上的椭圆，且a＝，c＝1，则b2＝a2－c2＝2，故点 P的轨迹方程为＋＝1.
12. 因为椭圆上的一点到两焦点的距离之和为4，
所以2a＝4，解得a＝2，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
因为点在椭圆上，
所以＋＝1，
解得b2＝3，则c2＝a2－b2＝1，
所以椭圆C的方程为＋＝1，焦点坐标分别为(－1，0)，(1，0).
13. (1) 因为椭圆的焦点在x轴上，
所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0).
由题意可知a＝5，c＝3，
所以b2＝a2－c2＝52－32＝16，
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2) 因为椭圆的焦点在y轴上，
所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0).
因为焦距为4，即2c＝4，所以c＝2.
又椭圆经过点(1，)，
所以
解得
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
3．1.1　椭圆的标准方程(2)
1. D　根据椭圆的定义知动点M的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，则2a＝6，a＝3，c＝2，b2＝a2－c2＝5，即动点M的轨迹方程为＋＝1.
2. A　因为椭圆的焦点在y轴上，所以5＋k>3－k>0，解得－13. C　根据椭圆的定义，得AF1＋AF2＝2a＝8，BF1＋BF2＝2a＝8，所以△AF1B的周长为AF1＋BF1＋AB＝16，所以AF1＋BF1＝16－AB＝11.
4. A　设M(x，y)，则P(x，2y).因为点P在曲线C上，所以x2＋4y2＝16，即＋＝1.
5. A　由题意，得a＝2，b＝1，c＝.设PF1＝m，PF2＝n，则所以(m＋n)2－2mn＝12，解得mn＝2，所以S△F1F2P＝mn＝1.
6. C　由椭圆的定义知MF1＋MF2＝2a＝10.又MF1＝2，所以MF2＝8.因为N为MF1的中点，所以ON为△F1MF2的中位线，所以ON＝MF2＝4.
7. AB　由题意，得2c＝6，则c＝3，当焦点在x轴上时，有a2＝25，b2＝m2，则25－m2＝9.又m>0，解得m＝4；当焦点在y轴上时，有a2＝m2，b2＝25，则m2－25＝9.又m>0，解得m＝.综上，实数m的值为4或.故选AB.
8. ABC　由＋＝1，得a2＝16，b2＝12，则a＝4，b＝2，c＝＝2.因为P是椭圆上一点，所以PF1＋PF2＝2a＝8.因为PF1－PF2＝2，所以PF1＝5，PF2＝3，故A正确；因为F1F2＝2c＝4，所以PF＋F1F＝PF，所以△PF1F2为直角三角形，故B正确；因为△PF1F2为直角三角形，PF2⊥F1F2，所以S△PF1F2＝×3×4＝6，故C正确，D错误．故选ABC.
9. 25　由题意，得MF1＋MF2＝2a＝10.又10＝MF1＋MF2≥2，所以MF1·MF2≤25，当且仅当MF1＝MF2＝5时取等号，故MF1·MF2的最大值为25.
10. 3　由题意，得PF1＋PF2＝2a，则PF2＝2a－4.又c2＝a2－2，由余弦定理，得cos ∠F1PF2＝＝－，即＝－，整理，得＝－，解得a＝3.
11. ＋＝1　设动圆的半径为R，圆C1可化为标准方程(x＋1)2＋y2＝，即圆心C1(－1，0)，半径r1＝，圆C2可化为标准方程(x－1)2＋y2＝，即圆心C2(1，0)，半径r2＝，C1C2＝2.由题意，得两式相加，得PC1＋PC2＝4>C1C2＝2，所以点P的轨迹为以C1，C2为焦点的椭圆，可设方程为＋＝1(a>b>0)，则2a＝4，a＝2，2c＝2，c＝1，b2＝a2－c2＝3，所以轨迹E的方程为＋＝1.
12. (1) 由方程＋＝1可知，其焦点的坐标为(±，0)，即c＝.
则b2＝a2－5, 设所求椭圆的方程＋＝1(a2>5).
因为椭圆过点(－3，2)，代入方程，得＋＝1(a>b>0)，
解得a2＝15(a2＝3舍去)，b2＝10，
故椭圆的标准方程为＋＝1.
(2) 方法一：当椭圆的焦点在x轴上时，
设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
由题意，得解得
因为a>b>0，所以方程组无解．
当椭圆的焦点在y轴上时，
设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
由题意，得解得
所以所求椭圆的方程为＋＝1.
方法二：设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n).
由题意，得解得
故所求椭圆的方程为5x2＋4y2＝1，
即＋＝1.
13. 由已知，得PF1＋PF2＝6，F1F2＝2.
①若∠PF1F2为直角，则PF＋F1F＝PF，
即PF＋20＝(6－PF1)2，
解得PF1＝，PF2＝，
所以＝；
②若∠F1PF2为直角，则F1F＝PF＋PF，
即PF＋(6－PF1)2＝20，
解得或
所以＝或＝2；
③若∠PF2F1为直角，则PF＋F1F＝PF，
即(6－PF1)2＋20＝PF，
解得PF1＝，PF2＝，
所以＝.
综上所述，的值为或或或2.

展开更多......

收起↑